复合材料力学第2章

2.3

单层板的强度2.3.1正交各向异性单层板的基本强度强度：在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力称为强度。强度是衡量构件本身承载能力（即抵抗失效能力）的重要指标。平面应力状态下，单层板的基本强度指标有：Xt—纵向拉伸强度；

Xc—横向压缩强度；

Yt—横向拉伸强度；

Yc—横向压缩强度；

Ｓ—面内剪切强度。2.3.1正交各向异性单层板的基本强度测定单层板五个基本强度的方法与测定工程弹性常数的方法一样，只不过需要测得相应于发生失效的极限载荷，然和求其极限应力即得基本强度。区别于各向同性材料：强度具有方向性。单向玻璃纤维增强树脂基复合材料：纵向拉压强度可高达

1000MPa以上，而横向拉伸强度则只有50MPa左右，横向压缩强度在100MPa左右。面内剪切强度也是由基体性能控制。与材料性质无关的主应力不能用来判断正交各向异性材料的强度2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则强度准则：各向同性：旨在用单向应力状态下的实测强度指标来预测复杂应力状态下的材料的强度。正交各向异性单层板：利用基本强度建立判别正交各向异性单层在各种平面应力状态下是否失效的准则。1.最大应力强度准则复合材料在复杂应力状态下进入破坏是由于其中某个应力分量达到了材料相应的基本强度值。即，若要材料不发生破坏，其正轴各应力分量必须小于相应方向上的基本强度。2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则式中，工作应力为代数值，基本强度为绝对值。只要式中任何一个不等式不满足，意味着单层材料已失效。应用最大应力强度准则时，当作用应力在偏轴向，必须将应力分量转换到正轴向，然后由正轴向的应力分量利用判据式（2.3.1）判别失效与否。c12最大应力强度准则的判据式为-

X

c

<

s1

<

Xt

-Y

<

s

<

Y

2

tt

<

S（2.3.1）2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则2.最大应变强度准则复合材料在复杂应力状态下进入破坏状态的主要原因，是材料正轴方向的应变值达到了各基本强度所对应的应变值。最大应变强度准则的判据式为c-eX

<

e1

<

eX

-eY

<

e2

<

eYc

tg12

<

gSt

（2.3.2）2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则由于式（2.3.2）中极限应变是与单轴应力或纯剪应力状态下基本强度相对应的，而材料失效前是线弹性的，故12212tcXtYYEEESe=

Xc

Xc

E

1

=

Yt=

YcgS

=

Ge

=

Xt

，e，e（2.3.3）2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则如图2.1.1所示的复杂平面应力状态，c

212-

X

c

<

s1

-u1s

2

<

Xt-Y

<

s

-u

s

<

Y

2

1

tt

<

S（2.3.4）1

1111222

2221121g12

=

G

t12EEEe

=

e

+

e=

se

=

e+

e

=

sE2

ss

1

（

2.1.4）（

1） （

2）（

2

） （

1）1

—

u

2

1

—

u1u2

=

u1E2

E1（2.1.17）利用式（2.3.3）及单层正轴应变—应力关系式（2.1.4），（2.1.17），可将式（2.3.2）改写成用应力来表达的形式，即2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则2.3.2最大应力强度准则和最大应变强度准则只要式（2.3.2）或式（2.3.4）中的任何一个不等式不满足，就意味着单层板破坏。与最大应力强度准则一样，最大应变强度准则也是讲复合材料的各应力分量与基本强度相比较，区别只是最大应变准则考虑了另外一个弹性主方向应力的影响，即泊松耦合效应。2.3.3蔡-希尔（Tsai-Hill）强度准则蔡-希尔强度准则是各向同性材料的vonMises屈服准则在正交各向异性材料中的推广。各向同性von

Mises屈服准则为式中，σS为单轴拉伸的屈服应力。在平面应力状态下为222z

x

x

ySs

y

-sz+

(s

-s

)

+

s-s

+

6

t2

+t2

+t2yz

zx

xy<

2s

2s

2

+s

2

-s

s

+

3t2

<

s

2x

y

x

y

xy

S（2.3.5）材料受纯剪应力作用发生屈服破坏也应满足式（2.3.5），由此得纯剪屈服应力tS

=s

S，/代3入式（2.3.5）得ySSSSs

ss

2

t2s

2s

2

s

2s

2

t2

x

+-x y

+xy<1

（2.3.6）2.3.3蔡-希尔（Tsai-Hill）强度准则蔡-希尔准则认为：参照上式形式，可假设正交各向异性复合材料单层的强度条件式（2.3.7）称为蔡-希尔准则。当不满足（2.3.7）式时，材料失效。蔡-希尔准则原则上只能用于在弹性主方向材料的拉伸强度和压缩强度强度相同（即Xc=Xt=X，Yc=Yt=Y）的复合材料单层。若材料拉、压强度不同，则对应于拉应力σ1时用拉伸强度Xt、拉应力σ2时用拉伸强度Yt；对应于压应力σ1时用压缩强度Xc、压应力σ2时用压缩强度Yc。X

2

X

2

Y

2

S

2s

ss

2

s

2

t2 1

-

1 2

+

2

+

12<1

（2.3.7）2.3.4霍夫曼（Hoffman）强度准则蔡-希尔准则没有考虑单层拉压强度不同对材料破坏的影响。霍夫曼对蔡-希尔准则作了修正，增加了σ1和σ2的奇函数项，提出了霍夫曼强度准则式中，σ1和σ2的一次项体现了单层拉压强度不相等对材料破坏的影响。显然，当Xc=Xt、Yc=Yt时，上式就成为蔡-希尔准则了。1

2t

c

t

c

t

c

t

cX

X

YY

X

XYYS

2s

2

t2X

-

X

Y

-Ys

2

-s

s

1

1 2

+

2

+

c

t

s

+

c

t

s+

12

<1

（2.3.8）2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则StephenW.Tsai(蔡为伦)和EdwardM.Wu综合了多个强度准则的特征，以张量形式提出新的强度准则。他们假定在应力空间中的破坏表面存在下列形式Fisi

+

Fijsis

j

<1（2.3.9）对于平面应力状态，式中i,j=1，2，6。在工程设计中，通常仅取张量多项式的前两项。故对于平面应力状态，在材料的正轴方向展开式（2.3.9）得F

s

2

+2F

s

s

+F

s

2

+F

s

2

+2F

s

s

+2F

s

s

+F

s

+F

s

+F

s

<111

1

12

1

2

22

2

66

6

16

1

6

26

2

6

1

1

2

2

6

6（2.3.10）式中，系数Fi和Fij称为应力空间的强度系数。2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则式（2.3.10）与蔡-希尔准则方程不同，式中有应力分量的一次项，这对拉压强度不同的材料是有用的。式（2.3.10）的应用前提，是要确定出各个强度参数。由于在单层板的正轴方向上，材料的剪切强度不受剪应力方向的影响，如果改变剪应力的方向，材料的力学状态不会发生变化，如图

2.3.1所示。2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则故式（2.3.10）中包含σ6（σ6为剪应力τ12的张量符号的缩写）一次方的三项应该去掉。方程（2.3.10）简写为F

s

2

+

2F

s

s

+

F

s

2

+

F

t2

+

Fs

+

F

s11

1

12

1

2

22

2 66

12

1

1

2

2写成矩阵的形式缩写为[12F

Fs1

0

s1

0

]s

2

+[s1

s

2F11

F12t12

]F12

F220t

0F

t

12

66

12

0

s

2

<1

（2.3.12）<1

（2.3.11）{

}

{}

{

}{

}111TTiijFF

s

+

s

s

<1

（i，j=1，2，6）2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则除F12外的其他五个强度参数可以从正轴向单轴试验中得到。因为正轴向单轴受力也应满足失效判据式（2.3.11），即112222661211

t

1

t

1

111

c1

c22

t2

t22

c2

cF

X

2

-

F

XF

X

2

+F

X

=1，仅s

„0,且s

>0=1，仅s

„0,且s

<0（2.3.13）F

Y

2

+F

Y

=1，仅s

„0,且s

>0

F

Y

2

-F

Y

=1，仅s

„0,且s

<0

F

S

2

=1，仅t

„01

11266

661tc

t

ct

cX

XX

XYYS2Y Y

t c

F

=

1

-

1

，F

=，F

=

1

-

1

（2.3.14）F

=

1

，F

=

1从上述方程组解得2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则联系两个正应力的强度系数Ｆ12，由几何分析方法确定，结果为有时为简化计算，可取Ｆ12=0，其误差在工程上可以接受。表2.3.1给出几种典型复合材料在应力空间中的强度参数值。表中参数值是按式（2.3.14）和式（2.3.15）计算出来的。1

11F11F222

2

Xt

XcYtYcF12

=-=-

（2.3.15）2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则由于复合材料直到失效前应力与应变一直保持线性关系。因而可以将式（2.1.12）﹛σ1﹜＝[Q]﹛ε1﹜代入式（2.3.11）得{

}

{

}

{

}{

}{

}111TTiijGGe

+

ee

<（1

i，j=1，2，6）（2.3.18）{

}{

}

{

}{

}1

11TTTiijFQ

Q

e

+

eF

Q

e

<

（1

i，j=1，2，6）（2.3.16）{

}TTiiijijF

Q

G

=

Q

F

，

G

=

Q（2.3.17）则可得到用应变表示的张量多项式正轴准则方程令2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则12121212G

e1

G11

G122200

e1

e g

]G[G

G

0]

e

+[e

2

2

g

0

g

12

66

12

G

0

e

<1

（2.3.19）G

e2

+

2G

ee

+

G

e2

+

G

g2

+G

e

+G

e

<111

1

12

1

2

22

2

66

12

1

1

2

2（2.3.20）写成全式为展开后式中，六个系数G称为应变空间的强度参数。2.3.5蔡-吴（Tsai-Wu）张量准则由式（2.3.17）可知266

66

66+F

Q

QG

=F

Q2G

=F

Q2

+

2F

Q

Q

+

F

Q211

11

11

12

11

12

22

12G

=F

Q2

+

2F

Q

Q

+

F

Q222

22

22

12

11

12

11

12G1

=

F1Q11

+F2Q12G2

=

F1Q12

+F2Q2212

11

11

12

12

11

22

12

22

22 12

G

=

F

Q

Q

+

F（Q

Q

+Q

）（2.3.21）应变空间中的强度参数是无量纲的。[例2.3.1]

T300/5208复合材料单向板的应力状态如图

2.3.2所示。已知σx=500MPa，σy=40MPa,Τxy=60MPa，θ=15°。试分别用最大应力强度准则、最大应变强度准则、蔡-希尔强度准则和蔡-吴张量准则校核其强度。[解]由表2.1.1可知T300/5208复合材料单向板的基本强度为Xt=1500MPa，Xc=1500MPa，Yt=40MPa，Yc=246MPa，S=68MPa（1）首先求出单向板的正轴应力将m=cos15°=0.996，n=sin15°=0.259代入式（2.2.1）得20.96620.2592-0.966

·0.259ys

=

n

m22mn

s

s

x

1

-2mn

s

t

-mnn22

m2mn m2

-

n2

t

12

xy

2

·0.966

·0.259

500=

60

0.25920.9662

-2·0.966

·0.259

40

0.966

·0.2590.9662

-

0.2592

499

-63.1

=

40.8

（MPa）

（2）按最大应力强度准则校核σ2=40.8MPa>Yt=40MPa,不安全。（3）按最大应变准则校核由表2.1.1可查得Ｅ1=181GPa，E2=10.3GPa，υ1=0.28，G12=7.17GPa。由式（2.1.17）求得488MPa<Xt因为

32.8MPa<Yt63.1MPa<

S所以式（2.3.4）的三个表达式都可满足，因而按最大应变准则校核是安全的。2