高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件

第九章专题A、充分但不必要条件B、充分必要条件C、必要但不充分条件D、既非充分也非必要条件1.函数在点

沿任意方向导数存在，是函数在点可微的：选择题2.函数在点的偏导数连续，是函数在点A、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既非充分也非必要条件可微的：3.函数在点可微，则函数在点A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、有定义处结论不一定成立的是：A、无定义B、无极限C、有极限但不连续D、连续1.曲线

在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角=

填空题–1/6–58.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向

.9.曲面xy+yz+xz=1在点(3,-1,2)处的法线方程为

.(3,1,2)解:解:解:

x.练习.已知f(s,t)具有连续的偏导数，且,方程

确定z是x,y的函数，试求。z解:方程组两边对x求导,得(2)式–xy(1)式,得即(2)式–xz(1)式,得即9.写出椭球面在椭球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。10.写出球面

在球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。第十章专题3.交换积分次序，24解:区域D可表示为:y/2xy,0y2.则解:积分区域D(见图):1x2,所以,解:所求立体的体积V为:其中D为由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的平面区域.解:由极坐标得,则F(t)=2ecostt所以,10.计算解:用柱坐标,则为:02,0r1,rz1.所以

解:两曲面的交线为x2+y2=4,故空间区域在柱面坐标系中表示为:02,0r2,rz解:用球坐标计算.积分区域V:所以,解:用球坐标.:02,0

,

r

4.=42=8.第十一章专题1.设L为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分002V7.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线积分解:由于P=exsiny–my,Q=excosy–m,则(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(a,0)一段,与曲线L一起构成封闭曲线L+L0,所围成区域D为半径为a/2的半圆,其由格林公式得:面积为a2/8.而所以A(a,0)O2、

解:由于P

=

ax+by,Q

=

mx+ny在xoy平面内的一阶偏导数连续,且则由格林公式得:=(m–b)t2.(其中D为圆周x2+y2=t2

围成的区域)从而,所证极限式成立.A(2,0)O-L解:由于P=x–3y+4,Q=3y+x–5,则=1–(–3)=4(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(2,0)一段,与曲线–L一起构成封闭曲线–L+L0,所围成区域D为半径为1的半圆,其面积由格林公式得:为/2.而所以证明:由于简单闭曲线L不通过y轴,则

此式就是由逆时针方向的简单闭曲线L围成的区域的面积.因此结论得证.解:曲线L的参数方程为:所以解:x

=

a(–sint

+

sint

+

t

cost)=at

cost,y

=

a(cost

–

cost

+

t

sint)=at

sint,x2+y2=a2(1

+

t2).所以,

证明:由条件知P=xf(x2+y2),Q=yf(x2+y2)的一阶偏导连续,且=yf(x2+y2)2x–xf(x2+y2)2y=0.此曲线积分与路径无关,因此11、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此(x)满足一阶线性微分方程,=12、设f(1)=0,确定f(x),使为某二元函数u(x,y)的全微分。13、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此f(x)满足一阶线性微分方程,=17、

证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲线积分的性质,得而|(P,Q)||(cos,cos)|=1,所以解:把分成上半1和下半2两部分,即则1,2在xoy面上的投影区域Dxy:x2+y21,x0,y0.令1–r2=u,则1–u=r2,

–du=2rdr.r=0时,u=1,

r=1时,u=0.

解:曲面在xoy面上的投影区域D为:x2+y2R2.由于曲面取下侧,所以解:设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得:用球坐标.:02,0

,0

r

R.所以22.(理工做)计算曲面积分

，其中为下半球面的上侧。第十二章专题5.设a为常数，则级数A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、收敛性与a的取值有关6.设幂级数的收敛半径（A）2（B）1/3（C）1/2（D）14.设幂级数

的和函数为

。21/25.设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅立叶级数在x=处收敛于

.1/21、解:由则该幂级数的收敛半径为2.当x=2时,发散;当x=–2时,收敛.则该幂级数的收敛域为[–2,2).设注意到s(0)=0,所以x[–2,2).2、解:|

3x

|<1.故该幂级数收敛域为:其和函数为:3、4、5.设幂级数的收敛半径、收敛域及和函数8、第七章专题1.微分方程2.微分方程

y=c1x2+c2ex+36.已知y=C1e2x+C2e-x是某个微分方程的通解，则该微分方程为

。y=c1e2x+c2e3xy=C1e2x+C2e-x2、求微分方程y+4y=cos2x的通解.解:

特征方程为:r2+

4

=

0,特征根为r1,2=

2i,所以,对应齐次方程的通解为:Y

=

c1cos

2x

+

c2sin

2x,

由f(x)=cos2x,得=0,=2,即+i

=

2i是单特征根,Pl(x)

=

1,Pn(x)

=

0,所以原方程有特解:y*=

x[Acos

2x

+

Bsin

2x]而y*=

[Acos

2x

+

Bsin

2x]

+

x[–2Asin

2x

+

2Bcos

2x],y*=

4[–Asin

2x

+

Bcos

2x]

+

4x[–Acos

2x

–

Bsin

2x]代入原方程得:所以,比较得–4A

=

0,4B

=

1,从而,原方程的特解为:y*=

xsin2x,原非齐次方程通解为:

y

=

c1cos

2x

+

c2sin

2x+

xsin2x

.3、解:

特征方程为:r2+

9

=

0,特征根为r1,2=

3i,所以,对应齐次方程的通解为:Y

=

c1cos

3x

+

c2sin

3x,

由f(x)=18cos3x–30sin3x,得=0,=3,即+i

=

3i是单特征根,Pl(x)

=

18,Pn(x)

=

–30,所以原方程有特解:y*=

x[Acos

3x

+

Bsin

3x]而y*=

[Acos

3x

+

Bsin

3x]

+

x[–3Asin

3x

+

3Bcos

3x],