2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县灵官中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县灵官中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（

）

的共轭复数为

的虚部为

A．

B．

C．

D．参考答案：C，所以，的虚部为，所以错误，正确。，所以正确。的共轭复数为，所以错误。所以选C.2.已知集合，则A∪B=（

）A.(1,+∞) B.[－1,+∞) C.[－1,1] D.[－1,2]参考答案：B【分析】解出集合中的一次不等式即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.3.已知命题p：任意，都有；命题q：，则有．则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则不成立.则，，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.4.若集合，集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC，AD=kAC（k为常数，且0＜k＜1），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：判断出AB=AC，以B为原点、BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，根据题意得到AD=kAC，利用两点间的距离公式列出关系式，化简后表示出y2，利用二次函数的性质求出y的最大值，求出△ABD面积的最大值，由AD=kAC得出△ABC面积的最大值．解答：解：由题意得AB=AC，如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0），由AD=kAC=kAB得，AD2=k2AB2，∴（x﹣l）2+y2=k2（x2+y2），整理得：y2=，当x=﹣=时，y2=取到最大值是：，∴y的最大值是，∵BD=l，∴（S△ABD）max==，∵AD=kAC，∴（S△ABC）max=（S△ABD）max=，所以△ABC的面积最大值为，故选：C．点评：本题考查坐标法解决平面几何问题，两点间的距离公式，及二次函数的性质，建立适当的坐标系是解本题的关键．6.已知函数的零点为

A．

B．—2，0

C．

D．0参考答案：D略7.在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B．或 C． D．或参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac?cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8.已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(

)A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．9.已知复数，则的虚部为（

）A、1

B、

C、

D、参考答案：A由得，设，则，所以，解得，所以虚部为1，选A.10.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},则=

A．

{0,3,4}

B．{3,4}

C．

{1,2}

D．

{0,1}参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知正数满足：则的取值范围是

▲

．参考答案：。【考点】可行域。条件可化为：。

设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围。

作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为，

则，要使它最小，须。

∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。

当（）对应点时，，

∴的最大值在处，为7。

∴的取值范围为，即的取值范围是。12.设随机变量服从正态分布，若，则的值为

.参考答案：略13.若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A的一种拆分。已知：

①当∪=时，A有种拆分；

②当∪∪=时，A有种拆分；③当∪∪∪=时，A有种拆分；

……由以上结论，推测出一般结论；当∪∪…∪=，A有

种拆分。参考答案：略14.把抛物线绕焦点按顺时针方向旋转，设此时抛物线上的最高点为，则

.参考答案：略15.在平行四边形ABCD中，已知，点E是BC的中点，则=﹣3参考答案：考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量的运算法则将用已知向量表示，利用向量的运算律将用已知的向量表示出，求出的值解答：解：∵∴===﹣3故答案为﹣3点评：本题考查利用向量的运算法则将未知向量用已知的向量表示；从而将未知向量的数量积用已知向量的数量积表示．16.（几何证明选做题）如图所示，、是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，，，则

.参考答案：略17.若函数定义域为R，则的取值范围是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）函数（为常数）的图象过点，（Ⅰ）求的值并判断的奇偶性；（Ⅱ）函数在区间上有意义，求实数的取值范围；参考答案：解：（Ⅰ）依题意有，此时，其定义域为，由即为奇函数；（Ⅱ）函数在区间上有意义，即

对恒成立，得令，先证其单调递增：任取，则

因为，则，故在递增，则，得ks5u略19.已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），求出切线斜率，即可求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于（1﹣x）ex﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）ex﹣，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）ex﹣＜0．∴?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线方程、函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC=2，AA1=3，点M是B1C1的中点．（1）求证：AB1∥平面A1MC；（2）求点B到平面A1MC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）建立如图所示的坐标系，求出平面A1MC的法向量，，证明=0，可得AB1∥平面A1MC；（2）求出=（（﹣2，﹣3，0），利用向量的方法求出点B到平面A1MC的距离．【解答】（1）证明：由题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0，0），B1（﹣1，3，0），A1（1，3，0），M（﹣，3，），C（0，0，）设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则∵=（﹣，0，），=（﹣1，﹣3，），∴，取=（1，，），∵=（﹣2，3，0），∴=0，∴AB1∥平面A1MC；（2）解：∵=（（﹣2，﹣3，0）∴点B到平面A1MC的距离=．【点评】本题考查线面平行的判定定理和点B到平面A1MC的距离，体现了转化的思想．属于中档题．21.函数f（x）=（x2+ax+1）ex．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（2，3）上递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=l，求证：对任意x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|＜2．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意知f′（x）=x2+（a+2）x+a+1≥0对x∈（2，3）恒成立，计算即可；（Ⅱ）通过曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=1，可得a=﹣1，从而函数f（x）在[0，1]上递增，故fmax（x）=f（1）=e，fmin（x）=f（0）=1，即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=ex[x2+（a+2）x+a+1]，因为f（x）在（2，3）上递增，所以f′（x）≥0对x∈（2，3）恒成立，即：x2+（a+2）x+a+1≥0对x∈（2，3）恒成立，所以f′（2）≥0，所以a≥﹣3；（Ⅱ）因为曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=1，所以f′（0）=0，所以a=﹣1，从而f（x）=（x2﹣x+1）ex，f′（x）=ex（x2+x），显然函数f（x）在[0，1]上递增，故f（x）在[0，1]在最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1，从而对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2．点评：本题考查函数的单调性，在闭区间上的最值，注意解题方法的积累，属于中档题．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点E、M分别在线段AB、PC上，且，其中，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求值．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，