轴对称专题-婆罗摩笈多模型 中考数学复习

2/2轴对称专题—婆罗摩笈多模型中考数学复习1．向外作正方形与，过作的垂线，为垂足，与交于点．求证：．2．如图：分别以的边、为边，向三角形的外侧作正方形和正方形，为上的高，延长交于点，求证：为的中点．

3．【感知】如图1，在四边形中，，点在边上，且满足是等腰直角三角形，．求证：．【探究】如图2，在四边形中，，点在边上，且满足是等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接，以为直角边作等腰，过点作，垂足为，连接交于点．求证：．【拓展】如图3，点在四边形内，，且，，过点作交于点，使，延长交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由．

4．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点、．证明：①；②．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

5．以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．（1）如图①，若，，易证：；（2）如图②，；如图③，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

6．我们定义：如图1、图2、图3，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△均是的“旋补三角形”．（1）①如图2，当为等边三角形时，“旋补中线”与的数量关系为：；②如图3，当，时，则“旋补中线”长为．（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想“旋补中线”与的数量关系，并给予证明．

7．我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称△是的“旋补三角形”，△边上的中线叫做的“旋补中线”．特例感知（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．①如图2，当为等边三角形，且时，则长为．②如图3，当，且时，则长为．猜想论证（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长，拓展应用（3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长．

8．已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接．（1）如图1所示，易证：且（2）将绕点旋转到图2，图3所示位置时，线段与又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

9．小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问△边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为；②如图3，当，时，则长为．猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由．

10．我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转并缩短一半得到，把绕点逆时针旋转并缩短一半得到，连接．当时，我们称△是的“旋半三角形”，△边上的中线叫做的“旋半中线”，点叫做“旋半中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△是的“旋半三角形”，是的“旋半中线”．①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为；②如图3，当，时，则长为．猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在平面直角坐标系中，的坐标分别是，，，△是的“旋半三角形”，是的“旋半中线”，连接，求的最大值是多少？并请直接写出当最大时点的坐标．答案版：1．【解答】证明：作交延长线于，连接，，，，，，，，在和中，，，，，，，，是平行四边形，，．2．【解答】解：过点作的延长线于，过点作于，如图所示：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，，为的中点．3．【解答】【感知】证明：是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；【探究】证明：由感知可知，，，，，，，，在和中，，，；【拓展】解：，理由如下：在的延长线上取点，使，在上取点，使，连接、，，，，，在和中，，，，，同理可得，，，，，，，，在和中，，，，．4．【解答】（1）证明：①直线，直线，，，，，；②在和中，，，，，；（2）解：成立：．证明如下：，，，在和中，，，，，；（3）解：如图，过作于，的延长线于，，由（1）和（2）的结论可知，，在和中，，，，是的中点．5．【解答】解：（1）证明：，，，，，，同理，，四边形和四边形为正方形，，．（2）如图1，时，（1）中结论成立．理由：过点作交的延长线于，过点作于，四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，．如图2，时，（1）中结论成立．理由：过点作交的延长线于，过点作于，四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，．6．【解答】解：（1）①如图2中，是等边三角形，，，，，，，，，故答案为．②如图3中，，，，，，△，，，，故答案为4．（2）结论：．理由：如图1中，延长到，使得，连接，，，四边形是平行四边形，，，，，，△，，．7．【解答】解：（1）①如图2中，是等边三角形，，，，，，，，，故答案为3．②如图3中，，，，，，△，，，，故答案为3.5．（2）结论：．理由：如图1中，延长到，使得，连接，，，四边形是平行四边形，，，，，，△，，．（3）如图4中，过点作于，取的中点，连接．是等边三角形，，，，，是的“旋补三角形”，，，，，，，，，，的“旋补中线”长，，，也是的“旋补三角形”，．8．【解答】（1）证明：如图1中，与为等腰直角三角形，，，，在与中，，，，，点为线段的中点，，，又因为，所以，所以（2）解：①结论：，，如图2中，延长到，使得，连接，，，，，，，，，，在和中，，由，知，．②如图3中，结论不变．延长到，使得，连接，延长交于．，，，，，，，，，，，在和中，由，知，．9．【解答】解：（1）①是等边三角形，，，，，，，，，，故答案为：；②，，，，在和△中，，△，，，，故答案为：4；（2）与的数量关系：；理由如下：延长到，使得，连接、，如图1所示：，，四边形是平行四边形，，，，，，在和△中，，△，，；（3）存在；作于，作线段的垂直平分线交于，即为点的位置；理由如下：延长交的延长线于，线段的垂直平分线交于，连接、、，作的中线，连接交于，如图4所示：，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，是线段的垂直平分线，，，在中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，四边形是矩形，，，是等边三角形，，，，，与之间满足小明探究的问题中的边角关系；在中，，，，．10．【解答】解：（1）①如图2中，是等边三角