高考创新题的解法(续)2

高考创新题的解法（续）以此类推f(n)=f(n1)+,于是累加得f(n)===。所以答案应填10；.点评将数列的通项公式、数列的求和融合到2006年4月24至5月1日举行的世乒赛这一实际情景当中，重点考察累加法求通项公式和常规数列的求和，此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面。当然要顺利解出此题，个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面，要求考生在头脑中能清晰建立起“堆成正三棱锥”这一空间模型，并要注意相邻两堆个数变化的根本原因.2.若、，(1)求证：；(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.讲解(1)采用反证法.若，即,解得从而与题设,相矛盾，故成立.(2)、、、、,.（3）因为又,所以,因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.3.观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式.答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=四、类比型类比在数学解题中有着十分重要的作用。类比推理可用如下图式描述：根据其中分别与相同或相似，推论：B类对象也具有与d相同或相似的属性d'。这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，推广的命题，深入的命题.常用的类比有：1、平面与空间的类比1.（2002年上海春季高考）如下图．若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点与点，则三角形面积之比．若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点，点和点，则类似的结论为：______________________________．把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。如，关于勾股定理，可有几个类比：勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中，有类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d，则有类比3：四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直，与O相邻的三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有：我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”提醒：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面积线段长；……2.同类之间类比（椭圆与双曲线类比）2.若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=，则{bn}也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，数列{dn}满足dn=，则数列{dn}也为等比数列.答案：dn=（n∈N*）3.（2000年上海市高考试题）在等差数列{an}中，若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N+)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式__________________成立．4.有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）. 定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1.（Ⅰ）写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明； （Ⅱ）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A、B,由椭圆的对称性可得,A、B关于中心O（0,0）对称,所以A、B点的坐标分别为A（,B（.P（上椭圆上任意一点,显然,因为A、B、P三点都在椭圆上,所以有,①,②.而,由①－②得：，使成等比数列. 等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比4.已知数列在直线x-y+1=0上.求数列{an}的通项公式；（2）若函数求函数f(n)的最小值； (3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立. 事实上,数列{an}是等差数列,你知道吗？六、解题策略开放型1．（2006上海）三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”．参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是．思路分析:采用乙说的思路.∵x∈[1,12],∴原题等价于x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恒成立.下面求函数y=x++|x2－5x|的最小值.∵x+≥10(当且仅当x=5∈[1,12]时,取最小值10)且∵|x2－5x|≥0(当且仅当x=5时,取最小值0),∴当且仅当x=5时,函数y=x++|x2－5x|取最小值10.从而原题所求a的取值范围是(－∞,10].点评在传统的求参数的取值范围的基础上糅合三位同学的说法，贴近生活，既考查了明辨是非的能力，也为该题本身降低了难度。知道为什么不采用另外两条思路吗？就甲说的而言,能否在x取同一值时取得最值值得讨论；就丙说的而言,要准确无误作出函数y=x2＋25＋|x3－5x2|的图像比较困难；只有乙说的是常规思路,但如果观察不出x+与|x2－5x|在同一处取得最小值这一细节,求解过程也会很复杂.2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）． 讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为．作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为