偏微分方程数值解(第二章)

偏微分方程数值解第二章有限差分的基本概念本章主要参考书1、《偏微分方程数值解》，陆金甫、关治，清华大学出版社。2、《椭圆型方程差分法》，Samarski,科学出版社。第二章：有限差分方法的基本概念一、差分格式的构造Step1:（区间剖分）引言将区间[a,b]N等分，节点为：h

为步长微分算子考虑二阶常微分方程边值问题·第二章：有限差分方法的基本概念Step2:（离散化）第二章：有限差分方法的基本概念于是方程2.1.1可化为即如果第二章：有限差分方法的基本概念于是得方程2.1.1的差分方程（差分格式）差分算子截断误差边值问题的差分格式第二章：有限差分方法的基本概念例1解析解差分格式参照第二章：有限差分方法的基本概念进而其中则有参照第二章：有限差分方法的基本概念解析解近似解h1=(b-a)/10近似解h2=(b-a)/20误差h1=(b-a)/10误差h2=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.15103.29293.22400.14190.0730u63.52293.66473.59590.14180.0730u73.87154.00023.93770.12870.0662u84.19884.30034.25100.10150.0522u94.50944.56844.53980.05900.0304第二章：有限差分方法的基本概念N=10时第二章：有限差分方法的基本概念N=20时第二章：有限差分方法的基本概念N=10;h=(b-a)/10;k=1:1:9x1=a+k*h;i=0:1:10;x0=a+i*h;x2=[0,pi/2];y2=[1,exp(pi/2)];x=0:0.01:pi/2;A=[h*h-2,1,0,0,0,0,0,0,0;1,h*h-2,1,0,0,0,0,0,0;0,1,h*h-2,1,0,0,0,0,0;0,0,1,h*h-2,1,0,0,0,0;0,0,0,1,h*h-2,1,0,0,0;0,0,0,0,1,h*h-2,1,0,0;0,0,0,0,0,1,h*h-2,1,0;0,0,0,0,0,0,1,h*h-2,1;0,0,0,0,0,0,0,1,h*h-2];第二章：有限差分方法的基本概念·b=[h*h*exp(x0(1))-1;h*h*exp(x0(2));h*h*exp(x0(3));h*h*exp(x0(4));h*h*exp(x0(5));h*h*exp(x0(6));h*h*exp(x0(7));h*h*exp(x0(8));h*h*exp(x0(9))-exp(pi/2)]y0=A\b;y=(cos(x)+exp(pi/2)*sin(x)+exp(x))/2;plot(x,y,'b');holdonplot(x1,y0,'or');holdonplot(x2,y2,'or');第二章：有限差分方法的基本概念解析解近似解h1=(b-a)/10近似解h2=(b-a)/20误差h1=(b-a)/10误差h2=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.15103.29293.22400.14190.0730u63.52293.66473.59590.14180.0730u73.87154.00023.93770.12870.0662u84.19884.30034.25100.10150.0522u94.50944.56844.53980.05900.0304解读精度问题：误差二应为误差一的第二章：有限差分方法的基本概念2.22551.82211.49181.22140.00190.00150.00130.00100.00750.00610.00500.00412.22741.82361.49311.22242.23301.82821.49681.2255

0.80.60.40.2令第二章：有限差分方法的基本概念§2.1有限差分格式见13页1、网格剖分求解区域：网格线时间步长空间步长网格点、节点（1）双曲型方程、抛物型方程初值问题第二章：有限差分方法的基本概念见13页（2）双曲型方程、抛物型方程初边值问题求解区域：网格线时间步长空间步长网格点、节点第二章：有限差分方法的基本概念见14页（3）椭圆方程边值问题网格线求解区域：xoy面上的有界区域D，为区域D的边界，满足分段光滑；如果两节点网格点（节点）满足或第二章：有限差分方法的基本概念内点边界点称节点相邻见14页相邻节点均属于的点称为内点；至少有一个相邻节点不属于的点称为边界点；第二章：有限差分方法的基本概念2、用Taylor级数构造差分格式（1）对流方程初值问题其中第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念关于二元Taylor公式其中第二章：有限差分方法的基本概念记第二章：有限差分方法的基本概念记见15页第二章：有限差分方法的基本概念见15页见15页对流方程初值问题第二章：有限差分方法的基本概念见15页第二章：有限差分方法的基本概念如果是对流方程的解则称为对流方程的差分方程，一般记为见15页第二章：有限差分方法的基本概念或记为称为对流方程的差分格式称为网格比如果两层显示格式见16页第二章：有限差分方法的基本概念中心差分格式（2）扩散方程初值问题差分方程见18页第二章：有限差分方法的基本概念隐式格式如果将扩散方程替换为整理得见19页第二章：有限差分方法的基本概念如果扩散方程初边值问题为：的差分格式为则有见19页第二章：有限差分方法的基本概念其中见19页第二章：有限差分方法的基本概念例：差分格式为见19页第二章：有限差分方法的基本概念令第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念a=1/2;t=0.2;N=10;h=pi/N;c=t/h^2A=[1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0,0,0;-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0,0;0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0;0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0;0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0;0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0;0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0;0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c;0,0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c];x=0:h:pi;t=0:0.2:1.8;x1=h:h:pi-h;u0=sin(x1)';y=zeros(10,11);第二章：有限差分方法的基本概念fork=1:10u0=A\u0;u1=[0,u0',0];y(k,:)=u1;endsurf(x,t,y);第二章：有限差分方法的基本概念§2.2差分格式的相容性、收敛性、稳定性（1）差分格式的截断误差前差算子后差算子中心差分算子第二章：有限差分方法的基本概念二阶中心差分(很有用的）见20页两个区间上的中心差第二章：有限差分方法的基本概念见20页截断误差的定义考虑扩散方程（1.3）的显示格式（1.11），用微分方程的解替换（1.11）中全部近似解，这样得到的方程两边的差就是截断误差。第二章：有限差分方法的基本概念将1.3的解替换1.11中的近似解得例即则方程两端的差即为截断误差第二章：有限差分方法的基本概念因为第二章：有限差分方法的基本概念所以截断误差事实上截断误差微分方程的解=0第二章：有限差分方法的基本概念截断误差的例第二章：有限差分方法的基本概念如果差分格式的截断误差则称差分格式对是阶精度，对是阶精度。（2）差分格式的相容性设是微分算子如果则对流方程初值问题可表示为第二章：有限差分方法的基本概念如果则扩散方程初边值问题可表示为第二章：有限差分方法的基本概念设表示差分算子如对流方程的差分格式可表示为其中一般见22页差分算子将n第层的函数值作用为第n+1层的函数其中称为移位算子见15页考虑对流方程初值问题第二章：有限差分方法的基本概念见23页第二章：有限差分方法的基本概念如果差分方程与微分方程的截断误差是步长变量的无穷小量则称差分格式相容。差分方程微分方程第二章：有限差分方法的基本概念（3）差分格式的收敛性令是偏微分方程的解是偏微分方程对应的差分格式的解如果则称差分格式收敛。分析对流方程的差分格式于是第二章：有限差分方法的基本概念见24页第二章：有限差分方法的基本概念则关于特征方程作变换逆变换为考虑二阶线性方程（1）第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念将代入方程（1）整理得其中（2）第二章：有限差分方法的基本概念令为方程的两个特解，则有则方程（2）可简化为第二章：有限差分方法的基本概念由令常数，表示是的函数。则有得（3）方程（4）称为方程（1）的特征方程，方程（4）的解从而有（4）称为方程（1）的特征曲线。第二章：有限差分方法的基本概念如果将常数则特征方程为参数表示为可化为即见6页第二章：有限差分方法的基本概念由特征方程得当称方程（1）为双曲型称方程（1）为抛物型称方程（1）为椭圆型第二章：有限差分方法的基本概念例作变换则有则原方程为波动方程为双曲型第二章：有限差分方法的基本概念积分方程第二章：有限差分方法的基本概念整理得再积分得第二章：有限差分方法的基本概念整理得第二章：有限差分方法的基本概念整理得其中第二章：有限差分方法的基本概念由初值条件得第二章：有限差分方法的基本概念当时当时再由边值条件则第二章：有限差分方法的基本概念原方程的解分析原方程特征方程的解为为任意常数由第二章：有限差分方法的基本概念方程的解在任意点仅依赖于区间的值内的初值，与该区间外的值无关。区间称为方程的解的依赖区间。在点第二章：有限差分方法的基本概念如积分得记为记为积分得其中关于偏导数的积分第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念如，对于一元函数关于不定积分与定积分第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念特征方程为见7页考虑一般波动方程波动方程为双曲型波动方程的特征曲线I:参照特征方程其中第二章：有限差分方法的基本概念关于方程的解结构问题I问题II问题III第二章：有限差分方法的基本概念叠加原理定解问题（I）的解是定解问题（II）的解与定解问题（III）的解之和。先求定解问题（II）的解作变换则有第二章：有限差分方法的基本概念得代入方程第二章：有限差分方法的基本概念记为由初值条件得从而参照变换第二章：有限差分方法的基本概念进而由第二章：有限差分方法的基本概念得因此d’Alembert(达朗贝尔）公式由第二章：有限差分方法的基本概念例1解：由达朗贝尔公式第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念clccleara=1;[x,t]=meshgrid(0:0.1:pi,0:0.1:1);u=cos(x).*cos(a*t)+x.*t;surf(x,t,u);第二章：有限差分方法的基本概念例2积分得由得所以第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念clcclear[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1);u=(x.^3.*y.^2)/6+x.^2+cos(y)-y.^2/6-1;surf(x,y,u);第二章：有限差分方法的基本概念讨论定解问题III齐次化原理（Duhamel原理）设是方程是方程则的解,（1）的解。（2）第二章：有限差分方法的基本概念令方程（1）化为由d’Alembert公式于是第二章：有限差分方法的基本概念因此，方程I:的解为见8页d’Alembert(达朗贝尔）公式第二章：有限差分方法的基本概念考虑特征曲线区间称为解的依赖区间。在点见8页关于一阶方程组第二章：有限差分方法的基本概念（1）设（1）考虑二维一阶方程组其中方程组（1）为拟线性第二章：有限差分方法的基本概念将如果方程组（1）为线性表示为第二章：有限差分方法的基本概念记为其中（2）方程组（2）为拟线性方程组（2）为线性第二章：有限差分方法的基本概念对于方程组（2）记则方程组（2）可表示为第二章：有限差分方法的基本概念（2）多维一阶方程组方程组（3）见8页可表示为（4）其中同理第二章：有限差分方法的基本概念其中没有实特征向量，方程组（3）称为椭圆型；有p个线性无关的实特征向量，方程组（3）称为双曲型；有p个相异实特征值，方程组（3）称为严格双曲型；见8页第二章：有限差分方法的基本概念如果见9页满足关系（任意常数）表示是的函数。则有代入方程得其中为矩阵的特征值；方程为方程组（4）的特征方程；为方程组（4）解的特征曲线；第二章：有限差分方法的基本概念如果将见9页为参数表示为则特征方程化为第二章：有限差分方法的基本概念设例一维对流方程为一维对流方程为严格双曲型特征方程为特征曲线为（任意常数）设方程沿特征曲线的解则由第二章：有限差分方法的基本概念对于定解问题得方程的解为由定解条件得见10页第二章：有限差分方法的基本概念过点作斜率为的直线则它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点该三角区域称为决定区域。定义初始时刻的依赖区间都落在区间内，的区间过点作斜率为的直线即解在该三角区域内任意点的值被区间内的初值决定。第二章：有限差分方法的基本概念波动是以一定的速度a向两个方向传播。则经过时间t后，扰动传到的范围为如果在初始时刻t＝0，扰动仅仅在有限区间上存在称区域的影响区域。为区间第二章：有限差分方法的基本概念见24页分析对流方程的差分格式的解1、计算依赖于初始时刻在点集上的值；2、对流方程的解在点上的值仅依赖于初始值3、当时第二章：有限差分方法的基本概念见24页因此改变在点上的值将改变解在点上的值上的值，但不影响差分方程在点所以，差分格式：相容但不收敛。第二章：有限差分方法的基本概念分析扩散方程初值问题显式显示差分格式为第二章：有限差分方法的基本概念令为差分格式的截断误差事实上其中第二章：有限差分方法的基本概念进而第二章：有限差分方法的基本概念由得又差分格式为于是其中如果则第二章：有限差分方法的基本概念令又则即推得所以见25页第二章：有限差分方法的基本概念因此如果则即见25页第二章：有限差分方法的基本概念以对流方程的差分格式为例见25页（4）差分格式的稳定性问题见25页论述第二章：有限差分方法的基本概念如果假设初值的绝对误差见26页则当时差分格式不稳定。例网格比影响差分方程的解第二章：有限差分方法的基本概念得方程的解为化简为差分格式为第二章：有限差分方法的基本概念精确解第二章：有限差分方法的基本概念x=0:0.1:2;t=0:0.1:1.2;u=[0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];surf(x,t,u);第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念h=0.1;lamda=1.1;t=lamda*h;x=0:h:2;t=0:0.1:1.2;u0=[1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];y=zeros(13,21);fork=1:13

forj=2:length(x)u1(j)=u0(j)-lamda*(u0(j)-u0(j-1));

endfori=2:length(x)u0(i)=u1(i);endy(k,:)=u0;endsurf(x,t,y);第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念将差分方程表示为为差分算子于是引入范数如果有一个误差记的误差为当如果存在常数时，一致有成立，则称差分格式稳定。见27页第二章：有限差分方法的基本概念如对流方程的差分格式见27页P15,(1.7)’P24第二章：有限差分方法的基本概念因为见27页再如扩散方程的差分格式P24记则所以第二章：有限差分方法的基本概念见28页（5）Lax等价定理见28页第二章：有限差分方法的基本概念一、关于Fourier变换已知§2.3

Fourier方法求因为则对数变换第二章：有限差分方法的基本概念又已知二次曲面线性变换令得积分变换变换核象函数原象函数第二章：有限差分方法的基本概念Fourier积分如果函数上连续或仅有有限个第一类间断点；且（1）在区间则有（2）仅有有限个极值点。其中Dirichlet条件第二章：有限差分方法的基本概念Fourier积分定理如果函数的任意有限区间上满足在区间在断点处的值为Euler公式Dirichlet条件，且在上收敛。则有第二章：有限差分方法的基本概念Fourier变换如果函数满足Fourier积分定理条件，则在连续点处有记为的Fourier逆变换记为的Fourier变换其中第二章：有限差分方法的基本概念例1记为第二章：有限差分方法的基本概念另一方面第二章：有限差分方法的基本概念因为所以第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念见29页§2.3

Fourier方法1、考虑对流方程初值问题其差分格式为令第二章：有限差分方法的基本概念见29页将差分方程改写为Fourier积分得第二章：有限差分方法的基本概念其中为的Fourier变换为的Fourier逆变换第二章：有限差分方法的基本概念由称为差分格式的增长因子。见29页得其中第二章：有限差分方法的基本概念由见30页得Parserval（帕塞瓦尔）等式-能量积分设则如果对Parserval第二章：有限差分方法的基本概念由见30页得因此对流方程的差分格式稳定第二章：有限差分方法的基本概念见30页如果函数建立差分格式满足方程2、关于方程组第二章：有限差分方法的基本概念见31页整理得（1）即令则有（2）第二章：有限差分方法的基本概念见31页进而方程组的差分格式可记为令一般，如果记第二章：有限差分方法的基本概念见31页则有差分格式称为差分算子.称为常系数差分格式。无关，差分格式如果差分算子与如（2）中第二章：有限差分方法的基本概念见31页由设为常系数差分方程组得其中由Fourier积分得增长矩阵第二章：有限差分方法的基本概念见31页差分格式稳定，当且仅当存在常数当有第二章：有限差分方法的基本概念见31页如考虑第一个方程第二章：有限差分方法的基本概念同理得因此有即为差分方程组的增长矩阵第二章：有限差分方法的基本概念见32页差分格式稳定的必要条件是：3、判别准则证明：（1）VonNeumann条件当存在常数时对有成立其中的特征值。是因为差分格式稳定所以当存在常数时对第二章：有限差分方法的基本概念见32页又1、已知矩阵2、