正弦稳态交流电路

正弦稳态交流电路第一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（1）正弦量的三要素；（2）正弦量的相量表示方法及相量图；（3）R、L、C各元件VCR的相量形式；（4）正弦电路的相量分析法；（5）正弦电路的功率及功率因数的提高；（6）对称三相电源及对称三相电路的计算。本章内容提要重点：（1）几个同频率正弦电压、电流的合成只满足相量形式合成、瞬时值（解析式）合成，而不满足有效值合成；（2）谐振电路的谐振条件及谐振电路的谐振特征。难点：第二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三设正弦交流电瞬时值的一般表达式为：

可见，每个正弦量都包含三个基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角频率ω和初相位（ψu、ψi

）。它们分别反映了正弦量的大小、变化的快慢及初始值三方面的特征。角频率最大值（也称为幅值）初相角3.1.1正弦量的瞬时值

3.1正弦稳态交流电路的基本概念与直流电不同，正弦交流电的大小、方向随时间不断变化，即一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值，将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（）、u（）或i、u来表示时刻正弦电流、电压的瞬时值。u=Um

sin(ωt+ψu)i=Im

sin(ωt+ψi)表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式第三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三是正弦量瞬时值中最大的值。一般用大写字母加下标m表示。即Um或Im设正弦交流电流：Im2TiO3.1.2正弦量的三要素

正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用来反映正弦量的幅度大小。有时提及的峰-峰值是指电压正负变化的最大范围，即等于2Um。必须注意，振幅总是取绝对值，即正值。所谓周期，就是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母T表示，电位为秒（s）。单位时间内交流电循环的次数称为频率，用f表示，据此定义可知，频率与周期互为倒数关系。频率的单位为1/秒，又称赫兹（Hz），工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz，等，相邻两个单位之间是103进制。1、最大值（幅值）：2、正弦量的周期、频率及角频率：第四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3、初相位ψ和相位差φ

：相位差φ：两个同频率正弦量的相位之差。如：u、i的初相位分别为ψu、ψi，则u、i的相位差为:初相位ψ：表示正弦量在t=0时刻的相角。其值与计时起点有关，一般用-π>ψ≧π的角度来表示。规定|

|≤π。初相反映了正弦量在t=0时的状态。需要注意的是，初相的大小和正负与计时起点（即t=0时刻）的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始值也随之不同。3.1.3相位差(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-

ψi=φ角频率ω：角频率ω：角频率ω是正弦量单位时间内变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每变化一个周期T的电角度相当于2π电弧度，因此角频率ω与周期T及频率f的关系如下：第五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三如果φ>0,称u超前i，或i滞后u；uiuiOωt设u=Um

sin(ωt+ψu)i=Im

sin(ωt+ψi)φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi如果φ<0,称i超前u，或u滞后i.相位差

下面介绍几种常见情况

第六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三ωtuiuiOφ=ψu–ψi<0电流超前电压

φ=ψu–ψi=-900电流超前电压900uiωtuiOφ=ψu–ψi=00电压与电流同相φ=ψu–ψi=1800电压与电流反相uiωtuiOuiωtui90°O几种常见情况

第七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三注意：

与交流电热效应相等的直流电定义为交流电的有效值。用大写字母I、U表示。正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正弦电流i（t）为例，流过电阻R，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电流i在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电流值为正弦电压i（t）的有效值。据此定义有：3.1.4交流电的有效值1、两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。2、相位差φ=ψu

–ψi≤1800正弦电流、电压的有效值第八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三电流的有效值设电流i(t)=Imsin(t+i)第九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三电压的有值：正弦电压u（t）是定义为加在电阻R两端的电压，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压u（t）的有效值。据此定义有：设正弦电压u（t）的解析式为u（t）=Umsin（ωt+

u

），则其有效值U为正弦电压的有效值第十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三工程实际中，往往也以频率区分电路，例如：高频电路、低频电路。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。我国和世界上大多数国家，电力工业的标准频率即所谓的“工频”是f=50Hz，其周期为0.02s，少数国家（如美国、日本）的工频为60Hz。在其他技术领域中也用到各种不同的频率，如声音信号的频率为20～20000Hz，广播中频段载波频率为535～1605Hz，电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300kHz，目前无线电波中频率最高的是激光，其频率可达106MHz（即1GHz）以上。*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：30kHz-3×104MHz第十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三图3.2给出了几种不同计时起点的正弦电流的波形。由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两次为零。现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简称正弦零值。正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计时起点（坐标原点）之间的电角度。初相的正负这样判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在计时起点之左，则初相为正，如图3.2（a）所示；若在右边，则为负值，如图3.2（b）所示；若正弦零值与计时起点重合，则初相为零，如图3.2（c）所示。第十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三例3.1图3.3给出一正弦电压的波形，试根据所给条件确定该正弦电压的三要素，并写出其三角函数式

。假定此电流的为

i（t）=20sin（50πt+i）A由图可知正弦电流在t=5ms时，i=0，即20sin（50π×0.005

+i）=0因此50π×0.005

+

i

=0解:由波形图可知：T=(25–5)×2=40ms=0.04s角频率Im=20A电流振幅周期解析式结论第十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为

=（-180o）-（-45o

）=

-135o＜0所以u（t）滞后i1（t）135o。电压u（t）与电流i2（t）的相位差为

=-180o-60o=

-240o如右图所示由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位差应为

=

-240o+360o=120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o。

同频率正弦量的相位差不随时间变化，即与计时起点的选择无关。在同一电路中有多个同频率正弦量时，彼此间有一定的相位差。为了分析方便起见，通常将计时起点选得使其中一个正弦量的初相为零，这个被选初相为零的正弦量称为参考正弦量。其它正弦量的初相就等于它们与参考正弦量的相位差。。-240o+120o例3.2已知正弦电压、电流的解析式为

u（t）=311sin（70t-180o

）V

i1（t）=5sin（70t-45o

）A

i2（t）=10sin（70t+60o

）A试求电压u（t）与电流i1t）和i2t）的相位差并确定其超前滞后关系。第十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。

复数与复平面上的点一一对应，此时复数可用点的横纵坐标，即复数的实部、虚部来描述；复数与复平面上带方向的线段（复矢量）也具有一一对应关系，此时复数可用该线段的长度和方向角，即复数的模和幅角来描述。如图3.5所示直角坐标系中，实轴（+1）和虚轴（+j）组成一个复平面，该复平面内，点A的坐标为（a，b），复矢量的长度、方向角分别为r、，则它们之间的关系为3.2正弦量的相量表示及相量图3.2.1复数的表示形式及运算规则正弦量的两种表示方法解析式（三角函数表示法）正弦量的波形图（正弦曲线表示法）这两种表示方法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬时值随时间变化的关系。下面复习复数的有关知识正弦量表示方法（相量表示法）复平面如左图所示第十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三在平面坐标上的一个旋转矢量可以表示出正弦量的三要素。ω1uu0yxyOmUO1y设正弦量:正弦量的相量表示法正弦量的矢量表示法若:矢量长度=Um

矢量与横轴夹角=初相位y矢量以角速度ω按逆时针方向旋转，则:该旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。第十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三矢量可以用复数表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚轴构成的平面称为复平面。图示中实数A=a+jb，a为实部，b为虚部。3.2.1复数的表示形式及运算规则+1+jobaAψ图矢量复数表示r(3.7)其中a、b叫做复数的实部、虚部；r、

叫做复数的模、幅角，规定幅角||≤π。a=rcos

，b=rsin

（3.8）第十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（3）指数形式（4）极坐标形式由根据欧拉公式1、复数的表示形式（3.12）（3.11）（2）三角函数形式A=rcos

+jrsin（3.10）+1+jobaAψ图矢量复数表示r（1）代数形式A=a+

jb（3.9）其中j叫做虚数单位，且

j2

=-1，第十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三A=a1+ja2B=b1+jb22、复数的运算规则复数相乘或相除时，以指数形式和极坐标形式进行较为方便。两复数相乘时，模相乘，幅角相加；复数相除时，模相除，幅角相减。以极坐标形式为例：复数相加或相减时，一般采用代数形式，实部、虚部分别相加减。即A±B=（a1±a2）+（b1±b2）复数相加或相减后，与复数相对应的矢量亦相加或相减。在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则。（1）复数的加减法（2）复数的乘除法第十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三A=a1+ja2B=b1+jb2复数的加减要用复数的代数形式。复数的乘除用代数形式比较麻烦，用指数形式或极坐标形式就比较简单。第二十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]

已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和解：方法一第二十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]

已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和解：方法二第二十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三一个复数可用极坐标形式表示为A=3.2.2正弦量的相量表示不难看出，该复数的虚部即是一个正弦电压的解析式，而且包含了正弦电压的三要素。因此，将其称为对应于正弦量的相量，表示为。1、正弦量的相量表示形式则可写出设可见，相量用大写字母上面加一点表示，电压相量用表示，电流相量用表示，对应的模用有效值U和I，而一般不用振幅表示。所以，一个正弦电压u（t），电流i（t）的解析式与其对应的相量形式有以下关系第二十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三关于正弦量的相量表示，需注意以下几点：（1）正弦量的相量形式一般采用的是复数的极坐标表示，正弦量与其相量形式是“相互对应”关系（即符号“

”的含义），不是相等关系。（2）若已知一个正弦量的解析式，可以由有效值及初相角两个要素写出其相量形式，这时角频率w是一个已知的要素，但w不直接出现在相量表达式中。（3）后面关于正弦电路的分析都是采用的相量分析法。所谓相量分析法，就是把电路中的电压、电流先表示成相量形式，然后用相量形式进行运算的方法。由前面分析可知，相量分析法实际上利用了复数的四则运算。第二十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三和复数一样，正弦量的相量也可以用复平面上一条带方向的线段（复矢量）来表示。我们把画在同一复平面上表示正弦量相量的图称为相量图。只有同频率的正弦量，其相量图才能画在同一复平面上。

2、相量图在相量图上，能够非常直观地表示出各相量对应的正弦量的大小及相互之间的相位关系。为使图面清晰，有时画相量图时，可以不画出复平面的坐标轴，但相位的幅角应以逆时针方向的角度为正，顺时针方向的角度为负。复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。第二十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三+1O+jA1+

A2A1A2OA2+j+1A1A1+

A2相量图相加两种画法如下面图所示第一种画法第二种画法在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则。第二十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三下面左图是4个相量相加，可以看出这种头尾相接的画法比逐个用平行四边形相加要好很多。O+j+1A+B+C+DCBAD+1O+jA－BAB－B对电路进行分析计算时一般是用相量图与解析计算相结合。右图是相量相减。第二十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三例3.3写出下列各正弦量的相量形式，并画出相量图。

u1（t）=10sin（100πt+60o

）V

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）V解：因为u2（t）=-6sin（100πt+135o

）u3（t）=5cos（100πt+60o=5sin（100πt+60o

+90o

）=5sin（100πt+150o

）V=6sin（100πt+135o

–180o）=6sin（100πt-45o

）V其相量图如图3.6所示。第二十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三正弦电路中的电路元件一、电阻相量表示：uR(t)i(t)R+-(3)有效值关系：UR=RI(2)相位关系：u,

i同相相量模型R+-特点：(1)u，i同频或(1)u,

i关系u=i相量图：3.3正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量形式第二十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(2)功率波形图t

iOuRpRR吸收功率有功功率(平均功率)：单位：W(瓦特)第三十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三二、电感i(t)uL(t)L+-(3)有效值关系：U=wLI(2)相位关系：u=i+90°

(u超前i90°)(1)u,

i关系U特点：(1)u,i同频或相量图第三十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三相量形式：相量模型jL+-感抗的物理意义：XL=L，称为感抗，单位为(欧姆)(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比,w=0直流（XL=0),w开路；wXL第三十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(2)功率i(t)uL(t)L+-BL=-1/L，感纳，单位为S(同电导)第三十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三波形图：t

iOuLpL特点：(1)p有正有负放储储放(2)p一周期内正负面积相等有功功率：无功功率Q：单位：var(乏)kvar第三十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三三、电容有效值关系：IC=wCU相位关系：

i超前u90°iC(t)u(t)C+-(1)u,

i关系u相量图第三十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三相量形式：相量模型+-令XC=-1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)

频率和容抗成反比,w0，|XC|直流开路(隔直)w|XC|w，|XC|0高频短路(旁路作用)第三十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(2)功率波形图：t

iCOupC储放储放特点：(1)p有正有负(2)p一周期内正负面积相等P=0单位：var(乏)kvar第三十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三小结：iC(t)u(t)C+-i(t)uL(t)L+-uR(t)i(t)R+-元件u,

i关系相量关系大小关系相位P(W)QI2R000IUIU(var)第三十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三u（t）=Ri（t）==

3.3正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量形式电阻、电容和电感是构成正弦交流电路的基本元件。从本节开始将着重研究这三个元件在正弦电路中电压与电流的相量关系。3.3.1纯电阻电路1、电阻元件上电压与电流的关系正弦电路中，元件上电压与电流关系包括三个方面：频率关系，大小关系（通常指有效值关系）和相位关系。选取电阻元件的电压、电流为关联方向，根据欧姆定律有i（t）=假设流过电阻R的电流为则电压的解析式为u（t）=Ri（t）第三十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三由上式可以看出，电阻元件上电压、电流为同频率的正弦量，同时，u、i之间存在如下关系：u（t）=Ri（t）==

i（t）=假设流过电阻R的电流为则电压的解析式为2、电阻元件上电压与电流的相量关系

式（3.19）又叫相量形式的欧姆定律。（3.19）由以上关系可以推出电阻元件电压与电流的相量关系式为（1）电压与电流间有效值关系：U=RI。（2）电压与电流的相位关系：（电压与电流同相）。第四十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三φiIm3.3.2电容元件电压、电流关系的相量形式假设加在电容上的电压为关联方向下根据电容的伏安关系可得由上式可以看出，电容元件电压、电流的有效值、初相分别具有以下关系1、电容元件上电压与电流关系1、电容元件上电压与电流相量关系（1）电压与电流间有效值关系：（2）电压与电流的相位关系：（电流超前电压90o）第四十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

在正弦交流电路中，一般将电压相量与电流相量的比值称为复阻抗，简称阻抗，用Z表示。电容的阻抗ZC为阻抗的单位是欧[姆]（Ω）。ZC的模|ZC|=称为容抗，通常用XC表示，其大小反映了电容对正弦电流阻碍作用大小。可以看出，在角频率w确定的条件下，容抗XC与电容量C成反比；在C确定的条件下，XC与角频率w成反比，因此电容具有“通交流，阻直流”的作用。第四十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.3.3电感元件电压、电流关系的相量形式

关联方向下根据电感的伏安关系可得由以上推导结果可以看出，电感元件上电压电流为同频率的正弦量，同时，u、i之间存在如下关系：Um假设流过电感的电流为（1）电压与电流间有效值关系：（2）电压与电流的相位关系：电感元件上电压与电流的有效值满足“wL”倍关系，wL称为电感元件的感抗，用XL表示。感抗的表达式为

XL

=wL=2

fL（3.25）感抗的单位是欧姆（Ω），用来表征电感元件对电流阻碍作用的大小。在L确定的条件下，XL与w成正比，因此电感具有“通直隔交”的作用。（电压超前电流90o）第四十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三结论相量图相量图相量图第四十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

（1）瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积可以看出功率随时间变化，且piωtuOωtpOiu1、电阻元件电阻、电容、电感三种元件的各种功率关系第四十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三瞬时功率在一个周期内的平均值

（2）平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO第四十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(1)

瞬时功率(2)平均功率电感元件有的时刻是吸收电功率，有的时刻发出电功率。平均功率为零。2、电感元件第四十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三iuop<0+p>0+p>0p<0po结论：电感元件是储能元件，不消耗能量，只和电源进行能量交换。第四十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(1)瞬时功率uiC+_(2)平均功率与电感元件相似，电容元件有的时刻是吸收电功率，有的时刻发出电功率。平均功率为零。3、电容元件第四十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三瞬时功率：+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电pouiou,i第五十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对于随时间变化的电压与电流，在任何瞬间都是适用的。基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律的一般形式为

在正弦交流电路中，各个电压与电流都是同频率的正弦量，基尔霍夫定律可以用相量形式来表示。3.4阻抗、导纳及简单正弦交流电路的分析基尔霍夫定律的相量形式第五十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]

电路如图(a)所示,已知

试求电流i(t),画出相量图。

解：将电流的瞬时值形式写成相量形式根据相量形式画出相量形式的电路图，见图（b)(b)ÌSÌÌ2Ì121i

iS

i2i1(a)21(c)+1ÌÌ1Ì2+jO画出相量图求电流i(t)第一种方法(d)+1ÌÌ1Ì2+jO第五十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三列出图(b)中相量形式的KCL方程解得由相量形式写成瞬时值表达式画出相量图，见图（c)或图(d)。(b)ÌSÌÌ2Ì112求电流i(t)第二种方法第五十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]

电路如图(a)所示，试求电压源电压相量ÙS，画出相量图。已知根据瞬时值写出相量，或者根据相量写出瞬时值都是比较简单的。所以，作为已知条件可以直接给出相量形式，最后答案给出相量形式也就可以了。Ù3Ù2Ù1ÙS321图(a)

解：对于图(a)中的回路，沿顺时针方向，列出的相量形式KVL方程第五十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三解得(a)Ù1+

Ù2OÙSÙ3Ù2Ù1+j+1(b)OÙSÙ3Ù2Ù1+j+1其相量图如图(a)和图(b)所示。第五十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]把一个电容C=318.5×10－6F,接到f=50Hz,

Ù

=220∠00V的正弦电源上，试求(1)求电容电流Ì

;(2)如保持Ù不变，而电源f=106Hz,这时Ì

为多少？解：(1)当f=50Hz时(2)当f=106Hz时第五十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三+-++--+-一、阻抗的串联可以看出，这里的分析方法和结论与直流电阻电路串联很类似。与直流电阻电路类似，Z称为等效阻抗。与直流电阻电路串联时的分压公式类似，这里是3.4.1阻抗的串联和并联第五十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三分压公式：++--+-显然，多个阻抗串联时的等效阻抗为Z=Z1+Z2+Z3+….(3-29)(3-28)二、阻抗的并联+-第五十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三分流公式：+-+-对照得到2个阻抗并联时等效阻抗为第五十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三复阻抗的倒数称为复导纳，简称导纳。当并联支路较多时，应用导纳计算比用阻抗计算要简单。+-三、导纳可见复导纳的模与复阻抗的模互为倒数，复导纳的辐角是复阻抗辐角的负数。复导纳并联时第六十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三分析RLC串联交流电路uiCLRuCuLuR(a)

对应的相量形式为φ电压三角形3.4.2正弦交流电路的分析相量图第六十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(c)ÌÙZuiCLRuCuLuR(a)由KVL得LRÌÙÙCÙLÙR(b)C电路等效电路图其中是感抗与容抗之差，称为电抗，单位为欧姆（Ω）。而称为复阻抗，简称为阻抗，实部为电阻，虚部为电抗。阻抗是复数，但不是表示正弦量，所以大写字母上面不加“点”。第六十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(c)ÌÙZ复阻抗的模复阻抗的辐角称为阻抗角R，X，〡Z

〡三者之间构成直角三角形，称为阻抗三角形，见图（d）。XRφ(d)由图C可知第六十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三解：相量模型如图(b)所示+uS-i3i1i2+-3i33H0.5F213例13用支路电流法、节点法和戴维南定理求i2(t)。已知：当XL>XC

时，X>0，电路呈电感性，称为感性电路。当XL<XC

时，X<0，电路呈电容性，称为容性电路。当XL=XC

时，X=0，电路呈电阻性，称为电阻性电路。第六十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三设网孔电流如右图，直接列出网孔方程代入得方程解得1、支路电流分析第六十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三列出节点电压方程代入解得2、节点分析第六十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(1)由图(c)电路求端口的开路电压。列回路方程：解得3戴维南定理求第六十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三(2)加流求压法，求图(d)输出阻抗Zo。由(1)、(2)得代入式(3)得由图(e)得第六十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]图中RC串联电路R=1kΩ,C=0.05μF,Ù

1=5∠00V,f=5kHz.。求Ù2并画出相量图。解：电路阻抗Ù2Ù1RÌC(a)第六十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三电流电阻两端电压相量电路的相量图见图(c)，阻抗三角形见图(b)。Ù2Ù1RÌC(a)(b)RZ+j+10-jXC(c)+j+10Ì

Ù2ÙCÙ1φφ第七十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]图中R=10Ω,XL=15Ω，XC=8Ω,电路端电压Ù=120∠00V,求（1）

电流ÌR，ÌL

，ÌC

和Ì；（2）画出相量图；（3）电路的等效阻抗和等效导纳。CÌÌCÌLÌRLRÙ解：电路阻抗第七十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三CÌÌCÌLÌRLRÙ（2）画出相量图。画相量图时可以只画出参考相量，不画出坐标轴。以电压作为参考相量，见右图。（3）电路的等效阻抗和等效导纳。ÙÌC

ÌLÌRÌ第七十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三CÌÌCÌLÌRLRÙÙÌC

ÌLÌRÌ第七十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三解：复阻抗Z=ZR+ZL

+ZC==2+j（2×2）-j=

2+j4–j2=2+j2=Ω根据式（3.34），求得端电流由R、L、C各元件电压与电流的相量关系式得例已知图3.8（a）所示电路的u（t）=10sin（2t）V，R=2Ω，L=2H，C=0.25F。试用相量法计算电路的i（t），uR（t），uL（t）和uC（t）并画出它们的相量图。第七十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三根据以上电压、电流的相量得到相应的瞬时值表达式

i（t）=A

uR（t）=V

uL（t）=V

uC（t）=V

各电压、电流的相量图如图3.8（c）所示。从相量图上清楚地看出各电压、电流的大小和相位关系，例如端电压u（t）的相位超前端电流i（t）45o，表明该RLC串联单口网络的特性等效于一个电阻与电感的串联，即单口网络具有电感性。从相量图还可以看出，端电压的有效值U=10V≠UR+UL+UC=（7.07+14.14+7.07）=28.28V，这表明正弦交流电路中电压有效值不服从KVL。对于RLC串联的正弦电路，各元件电压有效值与端电压有效值之间满足关系式。第七十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

对于复杂的交流电路，可以像直流电路一样应用支路法，节点法，叠加原理，等效电源定理等来分析计算，所不同的就是电压和电流要用电压相量和电流相量，电阻要用阻抗，电路的参数用复数表示。[例]图中Ù=220∠00V,求

电流Ì1，Ì2

和Ì

3。Ì1j1ΩÙÌ3Ì2-j4Ω2Ωj2Ω1Ω解：电路阻抗第七十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三Ì1j1ΩÙÌ3Ì2-j4Ω2Ωj2Ω1Ω电路总的阻抗总的电流第七十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三Ì1j1ΩÙÌ3Ì2-j4Ω2Ωj2Ω1Ω总的电流用分流公式计算另外2个电流总的电流第七十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三[例]用叠加原理求图中电容电压Ù。已知ÙS=50∠00V,ÌS=10∠300A,XL=5Ω,XC=3Ω。解：(1)首先断去电流源，计算电压源单独作用时的响应，见图(b)+Ù11－ÌSjXL-jXC(c)+Ù1－ÙSjXL-jXC(b)+Ù－ÌSÙSjXL-jXC(a)(2)将电压源置为零（用短路线替代），计算电流源单独作用时的响应，见图(c)第七十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三+Ù11－ÌSjXL-jXC(c)+Ù1－ÙSjXL-jXC(b)+Ù－ÌSÙSjXL-jXC(a)(2)将电压源置为零（用短路线替代），计算电流源单独作用时的响应，见图(c)(3)电压源与电流源共同作用时的响应第八十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.5正弦交流电路的功率设：pop<0+p>0+p>0p<01、瞬时功率3.5.1瞬时功率和平均功率第八十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三cos称为功率因数poP2、平均功率（有功功率）平均功率瞬时功率波形图平均功率波形图第八十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.5.2复功率、视在功率和无功功率

在正弦交流电路中，电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，单位是伏安（VA)在工程上还引入无功功率的概念，用表示，单位为乏(var)。可以看出，无功功率Q可能为正，也可能为负。电感性电路电流滞后电压，φ>0，Q>0，无功功率Q为正值；电容性电路电流超前电压，φ<0，Q<0，无功功率Q为负值。则电流相量的共轭复数复功率已知第八十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三对于纯电阻电路，φ=00

，于是无功功率为可以看出，平均功率，视在功率和无功功率三者之间对于纯电感电路，φ=900

，于是无功功率为对于纯电容电路，φ=－900

，于是无功功率为三者之间构成一个直角三角形，称为功率三角形。见右图SPQφ第八十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.6正弦交流电路中的谐振3.6.1串联谐振

交流电路中电压与电流一般会有相位差。调节信号源频率或者元件参数，使得电压与电流同相位，这种现象称为谐振。发生在RLC串联电路中的谐振称为串联谐振。右图（a）所示串联电路，其阻抗为

若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足LRÌÙÙCÙLÙR(a)C第八十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足即发生谐振时的角频率为谐振频率为串联谐振电路主要的特点是LRÌÙÙCÙLÙR(a)C第八十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三串联谐振电路主要的特点是（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）串联阻抗最小，电流最大，由于Z=R，故电流为（3）电感电压与电容电压大小相等相位相反，之和为零，电阻电压等于电源电压。（4）谐振时电感电压与电源电压之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）注意：电感电压与电容电压有可能远远大于电源电压。第八十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三收音机接收电路L1：接收天线L2与C：组成谐振电路L3：将选择的信号送接收电路串联谐振应用例第八十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三已知：解：如果要收听us1节目，C应配多大？即：当C调到150pF时，可收听到us1的节目。1.us1、us2为来自2个不同电台（不同频率）的信号L2C第八十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三2.

us1信号在电路中产生的电流有多大？在C上产生的电压是多少？已知：解：L2C所希望的信号被放大了64倍第九十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

[例]图中电路，R1=10Ω,L=0.26×10－3H，C=238×10－12F。求(1)谐振频率f0；（2）该电路的品质因数Q；（3）若输入f=640×103Hz、U=10×10－3V的信号电源，求电路电流I和电感电压UL的有效值。(4)若输入f=960×103Hz、U=10×10－3V的信号电源，求电路电流I和电感电压UL的有效值。解：谐振频率为LRÌÙÙCÙLÙRC第九十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（2）该电路的品质因数Q；

（3）信号源频率f=640×103Hz等于电路的谐振频率，因此（4)f=960×103Hz时LRÌÙÙCÙLÙRC第九十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三LRÌÙÙCÙLÙRC（4)f=960×103Hz时第九十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.6.2、并联谐振发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振。右图（a）所示并联电路，其电流为

若电路处于谐振状态，电流与电压同相位，阻抗应为纯电阻，必须满足图(a)LRÌCÙCÌLÌRÌ第九十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三发生谐振时的角频率为谐振频率为并联谐振电路主要的特点是这两个表达式与串联谐振时相同。（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）并联阻抗最大，电流最小，由于Z=R，故电流为第九十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（3）电感电流与电容电流大小相等相位相反，之和为零补偿，电路总电流等于电阻电流。（4）谐振时电感电流与总电流之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）注意：电感电流与电容电流有可能远远大于电源电流。[例]图所示为并联谐振电路，试计算其谐振频率。+Ù－ÌCCÌRLÌL解：图中电流谐振时电感和电容电压的大小相等，都等于电源电压的Q倍。Q称为串、并联谐振电路的品质因数，它是衡量电路特性的一个重要物理量，它取决于电路的参数。谐振电路的Q值一般在50～200之间。第九十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三图+Ù－ÌCCÌRLÌL解：图中电流

并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于零，即第九十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三图+Ù－ÌCCÌRLÌL

并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于零，即解出谐振角频率谐振频率第九十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三例电路如图3.12所示。已知uS（t）=10sin（w

t）V。求：（1）频率w为何值时，电路发生谐振。（2）电路谐振时，UL和UC为何值。

解：（1）电压源的角频率应为（2）电路的品质因数为则UL=UC=QUS=100×10=1000V

由谐振时电感和电容电压的大小相等，都等于电源电压的Q倍。第九十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三三相发电机三相供电系统的三相电源是三相发电机。三相发电机的结构如图，它有定子和转子两大部分。3.7三相正弦电路定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组AX、BY和CZ。A、B、C为首端；X、Y、Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔120。转子是旋转的电磁铁。它的铁心上绕有励磁绕组。3.7.1三相电源+uAAx+uBBy+uCZzNSºIwAzBCyx（1）三相电源的产生第一百页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（2）波形图t0uAuBuC相序：三相电源到达正最大值的先后次序。相序为A-B-C，称为正序或顺序。反序或逆序？C-B-A（3）相量表示（4）对称三相电源的特点uA+uB+uC=0或第一百零一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三

三相电源是由三个同频率、等振幅而相位依次相差120°的正弦电压源组成。各电压源电压分别为uA、uB和uC，称为A相、B相和C相的电压，如图(a)所示。其中A、B、C称为该相的始端，X、Y、Z称为末端。若以A相为参考相量,它们的瞬时值表示式分别为uA=UmsinωtuB=Umsin(ωt-120°)uC=Umsin(ωt-240°)=Umsin(ωt+120°)uC

uBuA

C

AB

XYZ图(a)第一百零二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.7.2三相电源的连接方式ÙAÙBÙCNCBA

低压三相电力系统大多采用左图的三相四线制接法。A、B、C三条线称为端线或相线，俗成火线。N称为中线或零线。ÙAÙBÙC120°120°120°图（）第一百零三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（1）每条相线与中线之间的电压称为相电压UP

。可以看出ÙAN=ÙA=U∠0°ÙBN=ÙB=U∠-120°ÙCN=ÙC=U∠-240°=U∠120°ÙAÙBÙCNCBA

(2)每两条相线之间的电压称为线电压，Ul用表示。由上图的到

ÙAB=ÙAN－ÙBN

=U∠0°－U∠-120°ÙAÙBÙC－ÙA－ÙB－ÙCÙBCÙACÙCA

由复数运算或者几何关系都可以得到第一百零四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三ÙAÙBÙC－ÙA－ÙB－ÙCÙBCÙACÙCA

由复数运算或者几何关系都可以得到可以看到，线电压的有效值Ul与相电压有效值Up之间

一组电压220V的三相电源接成三相四线制，其相电压Up=220V，其线电压Ul=380V。第一百零五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三因为三相电源的相电压对称，所以在三相四线制的低压配电系统中，可以得到两种不同数值的电压，即相电压220V与线电压380V。一般家用电器及电子仪器用220V，动力及三相负载用380V。对称三相电源可以采用三角形联接（又称△联接），它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由A、B、C引出三根端线与负载相连，如图3.17所示。三相电源作三角形联接时，其线电压和相电压相等，线电流等于相电流的倍，相位滞后对应的相电流30o。这些结论请读者参考星形联接自行证明。2、三角形联接图3.17第一百零六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三需要注意的是，由于发电机每组绕组本身的阻抗较小，所以当三相电源接成三角形时，其闭合回路内的阻抗并不大。通常因回路内uA+uB+uC=0，所以在负载断开时电源绕组内并无电流。如果三相电压不对称，或者虽然对称，但有一相接反，则uA+uB+uC≠0，即使外部没有负载，闭合回路内仍有很大的电流，这将使绕组过热，甚至烧毁。所以三相电源作三角形连接时必须严格按照每一相的末端与次一相的始端连接。在判断不清时，应保留最后两端钮不接（例如Z端与A端），成为开口三角形，用电压表测量开口处电压（例如uAZ），如果读数为零，表示接法正确，再接成封闭三角形。目前，我国电力系统的供电方式均采用三相三线制或三相四线制。用户用电实行统一的技术规定：额定功率为50Hz，额定线电压为380V、相电压为220V。电力负载可分为单相负载和三相负载，三相负载又有星形联接和三角形联接。结合电源系统，三相电路的联接主要有以下几种方式。第一百零七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三三相负载三相负载：三相电动机、三相变压器由单相负载（如电灯、电视）组成三相负载。若3个负载都相等，即则称对称负载，否则称不对称负载。1.三相负载与电源的连接方式3.7.3三相电源和负载的连接第一百零八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三NABCZCZBZAM3~三相四线制三角形连接星形连接三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形连接；当负载额定电压等于电源相电压时采用星形连接。第一百零九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三NABCN–

+–

+–

+中线电流:线电流:当ZA=ZB=ZC=Z时为对称电流。且（1）三相四线制2.负载星形连接的三相电路第一百一十页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（2）三相三线制当ZA=ZB=ZC=Z时NABCN–

+–

+–

+可将中线去掉三相三线制注意：当负载不对称时，使得负载不能正常工作第一百一十一页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三三相负载主要是一些电力负载及工业负载。三相负载的联接方式有Y形联接和△形联接。当三相负载中各相负载都相同，即ZA=ZB=ZC=Z=|Z|时，称为三相对称负载，否则，即为不对称负载。因为三相电源也有两种联接方式，所以它们可以组成以下几种三相电路：三相四线制的Y-Y联接、三相三线制的Y-Y联接、Y-△联接、△-Y联接和△-△联接等，如图3.19所示。3、三相电源和负载的连接方式第一百一十二页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三3.7.4三相电路的计算第一百一十三页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三例三相四线制电源，相电压220V三相照明负载：RA=5ΩRB=10Ω，RC=20Ω求:（1）负载电压、电流及中线电流。解：因为有中线，则UAN'=UBN'=UCN'=UP=220V已知：RCRARBABCNN′第一百一十四页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三RCRARBABCNN′（2）A相短路时负载电压、电流。UAN'=0UBN'=UCN'=UP=220VIA很大，A相熔断器熔断。IB、IC不变。（3）A相开路时负载电压、电流。IA＝0B、C相不受影响。UBN′、UCN′、IB、IC均不变。第一百一十五页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三RCRARBABCNN′（4）中线断开，且A相短路时负载电压、电流。UBN′＝UCN′＝380V均大于负载的额定电压，不允许！第一百一十六页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三（5）中线断开，且A相开路时负载电压、电流。B相电压小于负载的额定电压，电灯发暗。C相电压大于负载的额定电压，不允许！RCRARBABCNN′第一百一十七页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三关于零线的结论负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的达不到额定电压，都不能正常工作。

照明电路中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三相三相制供电，而且必须保证零线可靠。中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到相等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上不允许接保险丝也不允许接刀闸。第一百一十八页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三【例3-7】今有三相对称负载作星形联接，设每相负载的电阻为R=12Ω，感抗为XL

=16Ω，电源线电压，试求各相电流。

解：由于负载对称，只需计算其中一相即可推出期余两相。由Ul

=UP得相电压的有效值又相电压在相位上滞后于线电压30o，所以又，其中，所以有由此可推出其余两相电流为第一百一十九页，共一百三十五页，编辑于2023年，星期三【补例】三相四线制中的负载