热工基础第九章

热工基础第九章1第一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三研究方法

从连续介质的假设出发，从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。

连续介质

一般情况下，绝大多数固体、液体及气体都可以看作连续介质。但是当分子的平均自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能认为是连续介质。

2第二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三9-1

导热理论基础

主要内容（1）与导热有关的基本概念；（2）导热基本定律；（3）导热现象的数学描述方法。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。1.导热的基本概念（1）温度场(temperaturefield)

在时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的温度场。3第三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热称为非稳态导热。稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热。一维温度场二维温度场三维温度场4第四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（2）等温面与等温线

在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。

等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温面相交,就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。

等温面与等温线的特征：

同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。

5第五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（3）温度梯度(temperaturegradient)

在温度场中，温度沿x方向的变化率(即偏导数)

很明显,等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。6第六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

在直角坐标系中，温度梯度可表示为分别为x、y、z

方向的偏导数;i、j、k

分别为x、y、z方向的单位矢量。（4）热流密度(heatflux)热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q

表示

热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。ntdAdq7第七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为

qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。2.导热的基本定律傅里叶（Fourier）于1822年提出了著名的导热基本定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。

对于各向同性物体,傅里叶定律表达式为

傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。8第八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三标量形式的傅里叶定律表达式为对于各向同性材料,各方向上的热导率相等,

由傅里叶定律可知,要计算导热热流量,需要知道材料的热导率,还必须知道温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。9第九页，共六十六页，编辑于2023年，星期三傅里叶定律的适用条件：

（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。xyqxqyqnxy10第十页，共六十六页，编辑于2023年，星期三3.

热导率（导热系数）

热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表达式绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。11第十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三物质的热导率在数值上具有下述特点:(1)对于同一种物质,固态的热导率值最大,气态的热导率值最小；

(2)一般金属的热导率大于非金属的热导率；(3)导电性能好的金属,其导热性能也好；(4)纯金属的热导率大于它的合金；

(5)对于各向异性物体,热导率的数值与方向有关；(6)对于同一种物质,晶体的热导率要大于非定形态物体的热导率。

热导率数值的影响因素较多,主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态,此外温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。12第十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三温度对热导率的影响：

一般地说,所有物质的热导率都是温度的函数,不同物质的热导率随温度的变化规律不同。

纯金属的热导率随温度的升高而减小。一般合金和非金属的热导率随温度的升高而增大。

大多数液体（水和甘油除外）的热导率随温度的升高而减小。13第十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

在工业和日常生活中常见的温度范围内,绝大多数材料的热导率可近似地认为随温度线性变化,并表示为

0为按上式计算的0℃下的热导率值，并非热导率的真实值,如图所示。b为由实验确定的常数，其数值与物质的种类有关。14第十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三多孔材料的热导率

绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。

多孔材料的热导率是指它的表观热导率,或称作折算热导率。用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于350℃时热导率小于0.12

W/(mK)的材料称为保温材料。保温材料（或称绝热材料）：15第十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。典型材料热导率的数值范围纯金属50～415W/(m·K)

合金12～120W//(m·K)

非金属固体1～40W//(m·K)

液体(非金属)0.17～0.7W//(m·K)

绝热材料0.03～0.12W//(m·K)

气体0.007～0.17W//(m·K)

16第十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三4.

导热问题的数学描述（数学模型）

（1）导热微分方程式的导出导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场依据：能量守恒和傅里叶定律。假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；

2）有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3

。1）根据物体的形状选择坐标系,选取物体中的微元体作为研究对象；导热数学模型的组成：步骤：2）根据能量守恒,建立微元体的热平衡方程式；3）根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。17第十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三导热过程中微元体的热平衡：

单位时间内，净导入微元体的热流量d与微元体内热源的生成热dV之和等于微元体热力学能的增加dU,即

d+dV=dU

d

=dx+dy+dz

dx=dx－dx+dx

=qxdydz－qx+dx

dydz18第十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为于是,在单位时间内净导入微元体的热流量为单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元热力学能的增加：根据微元体的热平衡表达式

d+dV=dU可得导热微分方程式19第十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期三导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。当热导率为常数时,导热微分方程式可简化为

式中2是拉普拉斯算子,在直角坐标系中或写成

称为热扩散率,也称导温系数,单位为m2/s。

其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。木材a=1.5×10-7

紫铜a=5.33×10-5

20第二十页，共六十六页，编辑于2023年，星期三导热微分方程式的简化

(1)物体无内热源：(2)稳态导热：(3)稳态导热、无内热源：2t=0，即

21第二十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三圆柱坐标系下的导热微分方程式

如果为常数：22第二十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三球坐标系下的导热微分方程式为常数时23第二十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

（2）单值性条件

导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷多个解。

为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。

导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。

单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。24第二十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三1)几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2)物理条件说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)的数值及其特点等。3)时间条件

说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：25第二十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三4)边界条件

说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。

常见的边界条件分为以下三类:(a)第一类边界条件

给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(b)第二类边界条件

给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：26第二十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三(c)第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h。

如果物体的某一表面是绝热的,即qw=0,则物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。

根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得

第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。27第二十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三上式描述的第三类边界条件是线性的,所以也称为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。

如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热,则边界面的热平衡表达式为

qr

为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性有关,是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。28第二十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括

建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。

目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、

(2)数值解法、

(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。(1)导热微分方程式;(2)单值性条件。对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。

29第二十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期三9-2

稳态导热

稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程.

下面分别讨论日常生活和工程上常见的平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题。1.平壁的稳态导热

当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。假设：表面面积为A、厚度为、为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1

>tw2

。（1）单层平壁的稳态导热

选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示。30第三十页，共六十六页，编辑于2023年，星期三数学模型：

x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

求解结果：

可见，当为常数时,平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为

由傅里叶定律可得热流密度通过整个平壁的热流量为上式与第八章中给出的公式完全相同。31第三十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三变热导率问题：

当平壁材料的热导率是温度的函数时,平壁一维稳态导热的数学模型为x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

当温度变化范围不大时,可以近似地认为材料的热导率随温度作线性变化,即可见,当平壁材料的热导率随温度作线性变化时,平壁内的温度分布为二次曲线。求解数学模型可得平壁内的温度分布为32第三十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三根据傅里叶定律表达式

（1）当tw1

>tw2

时，热流方向与x轴同向，q为正值,而热导率数值永远为正,所以由上式可见,温度变化率为负值。（2）如果b>0,沿x方向随温度的降低而减小,温度曲线斜率的绝对值增大,曲线向上弯曲（上凸）；（3）如果b<0,温度曲线向下弯曲。平壁内的温度分布二次曲线形状的讨论：tw1tw20xtb>0b<033第三十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三根据傅里叶定律，可由温度分布求得平壁的热流密度为平壁的算术平均温度；为平壁的算术平均温度下的热导率。

上式说明，当热导率随温度线性变化时,通过平壁的热流量可用热导率为常数时的计算公式来计算,但公式中的热导率为平壁算术平均温度下的热导率m。

式中对照34第三十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（2）多层平壁的稳态导热

多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。

以三层平壁为例，假设（1）各层厚度分别为1、2、3，各层材料的热导率分别为1、2、3,且分别为常数；

（2）各层之间接触紧密,相互接触的表面具有相同的温度；

（3）平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4。

显然，通过此三层平壁的导热为稳态导热,各层的热流量相同。

35第三十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得三层平壁稳态导热可以由三个相互串联的热阻网络表示。

由此类推,对于n层平壁的稳态导热

利用热阻的概念,可以很容易求得通过多层平壁稳态导热的热流量,进而求出各层间接触面的温度。

36第三十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

2.圆筒壁的稳态导热

（1）单层圆筒壁的稳态导热

主要讨论圆筒壁稳态导热过程中的壁内温度分布及导热热流量。假设：内、外半径分别为

r1、r2，长度为l，为常数，无内热源，内外壁温度tw1、tw2均匀恒定。

按上述条件，壁内温度只沿径向变化，如果采用圆柱坐标,则圆筒壁内的导热为一维稳态导热，数学模型

r=r1

:t=tw1

r=r2:t=tw2

37第三十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

对导热微分方程式进行两次积分,可得通解为圆筒壁内的温度分布为对数曲线。代入边界条件,可得温度沿r

方向的变化率为其绝对值沿r

方向逐渐减小。

根据傅里叶定律,沿圆筒壁r

方向的热流密度为热流密度是r的函数。

38第三十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三但对于稳态导热,通过整个圆筒壁的热流量是不变的,R为整个圆筒壁的导热热阻,单位是K/W。单位长度圆筒壁的热流量为Rl为单位长度圆筒壁的导热热阻,单位是m·K/W。

实际上，由于l为常数,根据傅里叶定律，

将该式分离变量积分，同样可求得上面的公式。39第三十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（2）多层圆筒壁的稳态导热

运用热阻的概念，很容易分析多层圆筒壁的稳态导热问题。

以三层圆筒壁为例，无内热源，各层的热导率1、2、3均为常数，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1、tw2。这显然也是一维稳态导热问题。通过各层圆筒壁的热流量相等，总导热热阻等于各层导热热阻之和:40第四十页，共六十六页，编辑于2023年，星期三对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热,单位长度的热流量为41第四十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三9-3

非稳态导热

非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。

非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。

了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。本节主要内容：主要目的：42第四十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三1.

一维非稳态导热问题的分析解

第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：

厚度为2、热导率、热扩散率a为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t0。两侧流体温度突然降低为t∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h为常数。

考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。

这是一维的非稳态导热问题。

43第四十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三1)数学模型：

（对称性）

引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo是无量纲特征数，称为傅里叶数

称为毕渥数

令

过余温度44第四十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三傅里叶数的物理意义：

Fo为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：

Bi为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。由无量纲数学模型可知，是Fo、Bi、X三个无量纲参数的函数

确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。2）求解结果：

45第四十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi的函数。无论Bi取任何值，β1,β2,···，βn都是正的递增数列，的解是一个快速收敛的无穷级数。

由解的函数形式可以看出，确实是Fo、Bi、X三个无量纲特征数的函数46第四十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即

因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。式中式右边的第二项只与Bi、x/有关，与时间无关。47第四十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三上式可改写为该式说明，当Fo≥0.2时，即时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。上式两边求导，可得m的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是s－1，称为冷却率（或加热率）。上式说明，当Fo

≥0.2，进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。48第四十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三对于平壁中心，上面两式之比可见，当Fo≥0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数Bi与几何位置x/。

认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正规状况阶段

。

49第四十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期三2）毕渥数Bi对温度分布的影响平壁非稳态导热第三类边界条件表达式上式的几何意义：在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通点,即，该点称为第三类边界条件的定向点。50第五十页，共六十六页，编辑于2023年，星期三毕渥数Bi对温度分布的影响分析(a)

Bi0:

平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。定向点在无穷远处。工程上只要Bi≤0.1，就可以近似地按这种情况处理，用集总参数法进行计算。51第五十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期三

对流换热热阻趋于零，非稳态导热一开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于给定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表面上。当Bi>100时可近似按此处理。

(b)

Bi∞:(c)0<Bi<100，按一般情况处理。52第五十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期三3）平壁与周围流体之间交换的热量在0~时间内，微元薄层dx单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，在0~时间内，单位面积平壁放出的热量将Fo≥0.2时无量纲过余温度的近似解代入上式，得？=0xdx0053第五十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期三（3）诺谟图1）54第五十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期三2）55第五十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期三3）56第五十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期三几点说明：

(1)上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；(2)由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件的平壁；(3)线算图只适用于Fo≥0.2的情况;57第五十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期三(4)对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi、Fo和r/R的函数,(5)当Fo≥0.2时，圆柱和球体的一维非稳态导热过程也都进入正规状况阶段，分析解可以近似地取无穷级数的第一项，近似结果也被绘成了线算图。（P217）58第五十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期三3.

集总参数法（Bi≤0.1）

当Bi≤0.1时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻，可以忽略，