山东省潍坊市高密康成中学高三数学理月考试题含解析

山东省潍坊市高密康成中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，向量，向量，且，则的最小值为A.18 B.16 C.9 D.8参考答案：C略2.是虚数单位，复数=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.设集合，，则为

（

）A.

B.

C.{-1，0，1} D.参考答案：C略4.已知为偶函数，且，当时，；若，则

（

）乡村爱情

参考答案：D5.设，则“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C6.函数是（

）A．周期为的奇函数

B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数参考答案：B7.函数的值域为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.在复平面内复数，对应的点分别为，若复数对应的点为线段的中点，则的值为（）

A.

61

B．13

C．20

D．参考答案：C9.在中，，,为边的两个三等分点，则A. B. C. D.参考答案：A10.若实数满足不等式组则的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=﹣b（a＞0）的图象因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”．则方程=x2﹣1的实数根的个数为

．参考答案：3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】将方程转化为两个函数，利用函数图象的交点个数确定方程根的个数即可．【解答】解：设f（x）=，g（x）=x2﹣1，则f（x）==，作出函数f（x）和g（x）的图象，如图：由两个图象可知，两个函数图象的交点个数为3个．即方程=x2﹣1的实数根的个数为3个．故答案为3．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象的应用，函数的基本性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题．12.定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是．参考答案：﹣7≤Z≤10【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Zmax=10，平移到点N（﹣2，1）时Zmin=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Zmin=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Zmax=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10

【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．13.已知命题p：?x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题p是____________________．参考答案：?x∈R，x3－x2＋1＞0略14.若直线平分圆，则的最小值是

.参考答案：3+

15.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为

．参考答案：[﹣1，2]考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．解答： 解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16.已知△ABC中，3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，则sin（A+）=．参考答案：﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）==+，再利用基本不等式的性质即可得【解答】解：3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理可得：3b2+7c2=2bcsinA+2a2，∴a2=，又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）==+≥2=2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ=2，sinθ=，cosθ=．即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）=1．∴A﹣θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k∈N*．∴sin（A+）==cos==×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率是_____.参考答案：1/3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为：（t为参数）直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．参考答案：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ，即ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，

............（2分）直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2

...................（5分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有

...........（8分）因为|MN|2=|PM|?|PN|，所以即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1

................…（10分）19.已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．参考答案：解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，f′(x)＝2x－＝.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，得g′(x)＝2x＋－.若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x＜0，∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0.∴a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞)20.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．参考答案：（2）：由，得，因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立，即对于任意都有成立，…………4分令，要使对任意都有成立，必须满足

或

………………6分

即

或

所以实数的取值范围为．………8分

略21.设函数（Ⅰ）若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围；（Ⅱ）当的图象有3个交点，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）要使内为单调增函数，只需恒成立.由

且时等号成立

故

（Ⅱ）当

令

当的变化情况如下表：+0-0+增函数极大值减函数极小值增函数

由

同理

所以当直线的图象有3个交点时，实数的取值范围为

.略22.已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜an＜1．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知得an＞0，an+1=an+＞0（n∈N*），an+1﹣an=＞0，由此能证明对一切n∈N*，＜．（Ⅱ）由已知得，当n≥2时，=＞，由