2023年广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）含答案解析高考数学要点分类汇编

2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5} B．{x|3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x＜3} D．{{x|﹣7＜x＜5}2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18 C．36 D．365．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B． C．1 D．26．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A． B． C． D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A． B． C． D．12．已知椭圆E：+=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．18．设等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5} B．{x|3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x＜3} D．{{x|﹣7＜x＜5}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，∴S∩T={x|﹣7＜x＜﹣5}．故选：A．2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m的等式解之．【解答】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；故选C．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18 C．36 D．36【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意，=6，p=12，双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），∴△PF1F2的面积为=36，故选D．5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B． C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABO），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，关于命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A． B． C． D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤nf（），将函数f（x）=sinx在[0，]，sinA+sinB+sinC，得到所求．【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC=3sin=；所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为；故选D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，•=（﹣）•（﹣）=•﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．【解答】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，∴该容器的体积为==9．故选：D．12．已知椭圆E：+=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（﹣1，0），∵点C（0，﹣2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心∴=﹣1，=0∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2①∵，，∴两式相减得：+=0将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，∵直线l过AB中点（﹣，1）∴直线l的方程为y﹣1=（x+）故答案为6x﹣5y+14=0，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=0．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．故答案为：0．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．【解答】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为2π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n﹣m的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．∵最小正周期为π，即T=π，∴，可得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．此时n﹣m可得最小值为2π．故答案为2π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sinB==，sinC==所以sinBsinC=×=．18．设等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的公差为d，2an=a2n﹣1．取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）bn===，∴数列{bn}的前n项和Sn=+…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴Sn=2﹣．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，∴由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为==67，乙校的平均值为=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，其中2人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，∴两人来自同一学校的概率p=．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且．∴．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，由此求得k的范围．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，即＜，求得﹣＜k＜．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x﹣6）2+y2=20，化