数学建模微分积分和微分方程

数学建模微分积分和微分方程第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三定积分--连续求和第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三定积分--连续求和第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三三种方法计算数值积分（1）定义法，取近似和的极限。高等数学中不是重点内容但数值积分的各种算法却是基于定义建立的

（2）用不定积分计算定积分。不定积分是求导的逆运算，而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积）表面上看是两个完全不同的概念，通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，（3）解微分方程计算定积分第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三微积分学基本定理特别，F(b)-F(a)就是所需的定积分.在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解.但数值积分是更有用的工具。牛顿－莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理”。第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三基本定理的推广（解微分方程计算定积分）第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三基本定理的推广（解微分方程计算定积分）第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三解微分方程的Eular折线法第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三解微分方程的Eular折线法将区间n=4等分（共有5个分点)；计算分点和相应的函数值（x(1),x(2),x(3)x(4)x(5))（f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))在第一个子区间[x(1),x(2)]上，画出折线段y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1))代替解曲线段y(x)，这里y(1)=y0=0折线段的起点为[x(1),y(1)]，终点为[x(2),y(2)].运行exp4_1.m，观察第二、三、四子区间的情况。第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分用Matlab符号工具箱（SymbolicToolbox）可以进行符号演算第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(创建符号变量）

symvar创建单个符号变量；symsvar1var2…

创建多个符号变量；f=sym(‘符号表达式’)创建符号表达式，赋予f；

equ=sym('equation')创建符号方程

。第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(极限）limit(‘表达式’,var,a)：求当var→a，表达式的极限例：求极限：symsxaI1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0)运行结果第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(求导）diff(f,‘var’,n)求f对变量var的n阶导数缺省n时为求一阶导数缺省变量'var'时，默认变量为x可用来求单变量函数导数多变量函数的偏导数还可以求抽象函数的导数第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(求导）例：求symsxyf=sym('exp(-2*x)*

cos(3*

x^(1/2))')diff(f,x)运行第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(求导）symsxyg=sym('g(x,y)')f=sym('f(x,y,g(x,y))')diff(f,x)diff(f,x,2)运行例：求第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(积分）int(f,var)：求函数f的不定积分；int(f,var,积分下限，积分上限)：求函数f的定积分或广义积分例：求不定积分symsxyzI1=int(sin(x*y+z),z)第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(积分）symsxyzI2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(化简、提取和代入)符号运算的结果比较繁琐，使用化简指令可对其进行化简。但是不能指望机器可以完成一切，人的推理往往必须的。常用的化简指令如下展开指令：expand(表达式)；因式分解：factor(表达式)降幂排列：collect（表达式，var）；一般化简：simplify(A)；第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三符号微积分(化简、提取和代入)观察：将展开(a+x)^6-(a-x)^6，然后作因式分解。t_expand=expand(t)t_factor=factor(t_expand)t_simplify=simplify(t)观察结果第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数值微积分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分；其中步长x=[x0x1…xn]和函数值y=[f0f1…fn]为同维向量，q=quad('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（低阶方法，辛普森自适应递归法求积）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（高阶方法，自适应法Cotes求积）在同样的精度下高阶方法quad8要求的节点较少。第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三［x,y］=ode23('fun',tspan,y0,option)（低阶龙格－库塔函数）［x,y］=ode45('fun',tspan,y0,option)（高阶龙格－库塔函数）第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(追击问题)我缉私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能追上，需要用多长时间？第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(追击问题)第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符号解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符号解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(追击问题，如果雷达失效)当缉私舰雷达发现d处有一走私船后，雷达突然损坏若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私舰艇速度v大于走私船速度a，则缉私舰应采用什么样的航行路线，不管走私船从哪个方向逃跑，都能追捕上它？第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三实时动画制作（见实验10）观察：模拟弹簧振动讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向运动，其位移由u=2+cos(t)所决定，仿真弹簧的振动第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三实时动画制作(初始化、见实验10）程序讲解animinit('onecart1Animation')axis([-26-1010]);holdon;u=2;

xy=[0000uuu+1u+1uu;-1.201.2001.21.2-1.2-1.20];x=xy(1,:);y=xy(2,:);plot([-1020],[-1.4-1.4],'k-','LineWidth',2);hndl=plot(x,y,'k-','EraseMode','XOR','LineWidth',2)

第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三实时动画制作(初始化、见实验10）zxy10-2set(gca,'UserData',hndl);fort=1:0.025:1000;u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);x=[0000uuu+1u+1uu];

hndl=get(gca,'UserData');set(hndl,'XData',x,'YData',y);drawnowend第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三电影动画制作（zxy7_3)moviein、getframe、movie指令x=-8:0.5:8;[XX,YY]=meshgrid(x);r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%画出祯theAxes=axis;%保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三电影动画制作fmat=moviein(20);%创建动画矩阵，保存20祯forj=1:20;%循环创建动画数据surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z)%画出每一步的曲面axis(theAxes)%使用相同的坐标系fmat(:,j)=getframe;%拷贝祯到矩阵fmat中endmovie(fmat,10)%演示动画10次第三十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三应用、思考和练习(枪支的设计)