数制及其转换

数制及其转换第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三1、定义：在采用进位计数的数字系统中，如果只用N个基本符号（如：0、1、2、…、N-1）表示数值，则称为基N数制N称为该数制的基数举例：N=10举例：N=2指常用的十进制，符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9基本的符号为0和1，为二进制一、进位计数制第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三由0、1、2、…、N-1这N个数组成逢N进一，基数为N如：十进制数逢十进一。二进制数逢二进一左移一位扩大N倍（相当于乘N），右移一位缩小N倍（相当于除N）采用位权表示法。任意一位N进制数M可表示为：2、进位计数制有两个基本特点：其中Di为数制采用的基本数符;Ni为权；N为基数第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三例：二进制数10111.01可表示为：任何一种数制表示的数都可以写成按位权展开的多项式之和。例：十进制数，3058.72可表示为：3×103+0×102+5×101+8×100+7×10-1+2×10-21×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三十进制 二进制 八进制 十六进制0 0 00 1 1 11 2 102 23 11 3 3 4 100 4 4 5 1015 5 6 110 66 7 111 7 7 8 1000 1089 1001 119 10 1010 12A 11 1011 13B 12 1100 14C 13 1101 15D 14 1110 16E 15 1111 17 F 16 10000 2010 3、几种常用的进位计数制第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三二、数制的相互转换1、N进制转换为十进制方法：将N进制数按权展开运算后，可得到十进制数注意：数位ｉ的确定不要弄错

例1：第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三例2：求（1100101.101）2的等值十进制（1100101.101）2=1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=64+32+0+0+4+0+1+0.5+0.125=（101.625）10即（1100101.101）2=（101.625）10第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2、十进制转换为N进制1）、整数部分方法：除N取余法。余数依次从右到左排列，即得到所转换的N进制第一位余数是低位，最后一位余数是高位；一直除到商为0；举例注意：第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2、十进制转换为N进制二、数制的相互转换2）、小数部分方法：乘N取整法。整数依次从左到右排列第一位整数是小数中的最高位；一直乘到小数部分为零；若遇乘N后，小数部分的积永不为零，则取有限位作为近似值；计算机中十进制小数转换为N进制小数时，有时会带来误差。注意：第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

注意：十进制小数乘2取整法，一般乘到积的小数部分为0，但有时乘2取整后，小数部分的乘积永不为0，此时可根据精度要求取有限位作为近似值，因此计算机中十进制小数转换为二进制小数有时会带来误差。

例如(0.1)10=(0.000110011001100..)2

取有限位(0.1)10=(0.000110011)2

第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三整数的转换可采用除2取余法，即把要转换的十进制数的整数部分不断除以2，并记下每次除所得余数，直到商为0为止，将所得余数，从最后一次除得余数读起，就是这个十进制整数所对应的二进制整数。小数部分的转换采用乘2取整法，被转换的小数部分，每次相乘后，所得乘积的整数部分就为对应的十进制数，将所得小数从第一次乘得整数读起，就是这个十进制小数所对应的二进制小数。十进制数转换为二进制数第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三整数：除2取余小数：乘2取整

2|237

10.6252|118

0

取×22|59

1

11.2502|29

1

值0.252|14

0

×22|7

1

方00.502|3

1

×22|1

1

向

11.00第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三数制间转换进位计数制8|237|29|3

0整数：除8取余余数5

5388低位高位小数：乘8取整0.625×85.000

5第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三题目：1、（25）10=（？）2110012、（101A）16=（？）1041223、（0.3125）１０＝（？）２0.0101第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三3、非十进制数间的转换下面看一下二、八、十六进制间的特殊转换方法：方法：一般采用上述方法的结合。N1进制十进制N2进制按权展开整：除N2取余小：乘N2取整原因：存在特殊关系：81=23；161=24第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三3、非十进制数间的转换二进制→八进制、十六进制(收缩法)3位二进制=1位八进制；

4位二进制=1位十六进制；二进制、八进制与十六进制之间的互换第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三3、非十进制数间的转换二进制、八进制与十六进制之间的互换八进制、十六进制→二进制(扩展法)1位八进制=3位二进制1位十六进制=4位二进制;第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三3、非十进制数间的转换二进制、八进制与十六进制之间的互换八进制→十六进制(通过二进制转换)

1位八进制=3位二进制1位十六进制=4位二进制方法：通过扩展法，把八进制→二进制再通过收缩法，把二进制→十六进制第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三3、非十进制数间的转换

在整数转换中，是从小数点开始，由右往左确定二进制的三位（或四位），取后不够，则在数码前补0，添足位数。注意：

在小数转换中，是从小数点开始，由左往右确定二进制的位数，取后不够，在末位补0，添足位数。第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

例5

将（741.566）8转换成为二进制数解

（741.566）8=数制之间的转换例6将（1011010.10111）2转换为十六进制数解

（1011010.10111）2（111100001.101110110）2=（01011010.10111000）2

=（5A.B8）16即

（1011010.10111）=（5A.B8）16第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三各种数制都有算术运算规则(加、减、乘、除)；二进制数独有逻辑运算，又是计算机唯一识别和处理的数，所以，我们选取二进制数作为讲解的主要对象。三、数制运算第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三二进制数的算术运算规则(有进位和借位)

加法1101减法1101+1011—1011

—————

—————

110000010

乘法1101除法×1011(略)

———

110111010000110110001111第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

逻辑值只有两个“T”与“F”或“Y”与“N”；我们知道，二进制数也只有两个值“1”与“0”，所以可用二进制数表示逻辑值，并充分利用逻辑运算的特点，快速地进行信息的处理。二进制数的逻辑运算注意：运算按位进行，没有进位和借位。第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三逻辑加法+或∨（或运算）例如：0+0=00+1=11+0=11+1=1

或表示成0∨0=00∨1=11∨0=11∨1=1逻辑乘法×或∧（与运算）例如：0×0=00×1=01×0=01×1=1

或表示成0∧0=00∧1=01∧0=01∧1=1逻辑非运算ˉ对0取非，则为1；对1取非，则为0；

逻辑异或运算若两个数相同，值为0；不同，则为1；即00=0；01=1；11=0。二进制数的逻辑运算第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三二进制数的逻辑运算例：若A=（1011）2，B=（1101）2，求A∨B；A∧B；Ā；的值。1011∨

11011011∧

110111111001A∨B=（1111）2；A∧B=（1001）2；第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三四、二进制数在计算机中的表示1、真值和机器数2）、真值数1）、机器数3）、溢出4）、数的范围机器数表示的范围受到字长和数据类型的限定用八位字长表示一个整数，则最大正数为01111111，即127。若超出127，则溢出。第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三计算机中的数是用二进制来表示的，数的符号也是用二进制表示的，把一个数连同其符号在机器中的表示加以数值化，这样的数称为机器数。一般用最高位来表示符号.正数用0表示，负数用1表示。例：第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2、数的定点和浮点表示2）、定点整数1）、定点小数计算机内表示的数，主要分为定点小数、定点整数、与浮点数。定点数为小数点位置固定的数；浮点数为小数点位置不固定的数；第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三假设机器字长为16位，符号位为1位+1101101的存放形式为0000000001101101-0.1101101的存放形式为1110110100000000第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三它包括两个部分：一是阶码（表示指数，记作E）；另一部分是尾数（表示有效数字，记作Ｍ）。设有任意数Ｎ可以表示为：Ｎ＝2ＥＭ，具体表示形式为：3）、浮点数第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2、数的定点和浮点表示对于浮点数往往要进行规格化处理：尾数部分的最高位必须不为零，数的实际大小可以通过移动阶码进行调整。例:（110.011）２＝1.10011×2+10=11001.1×2-10=0.110011×2+11浮点数表示形式0110

110011如一个32位浮点数，阶码用8位表示，尾数用24位规格化补码表示00000011011001100000000000000000第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三例：假设机器字长为16位，符号位为1位，阶码4位，尾数12位+101.1101=0.1011101×211，

其浮点数存放形式为0011010111010000阶码的位数决定了表示数的范围；尾数的位数决定了所表示数的精度；第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。1）原码规定符号位用数码0表示正号，用数码1表示负号，数值部分按一般二进制形式表示数的绝对值。＋7:00000111＋0:00000000－7:10000111－0:10000000３、机器数的表示零有两种表示方法第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。＋7:00000111＋0:00000000－7:11111000－0:11111111２）反码规定正数的反码和原码相同，负数反码是对该数的原码除符号位外各位求反３、机器数的表示零有两种表示方法第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三则[N1]原=01000100 [N2]原=110001