《“零点穿线法”解一元二次不等式》教学设计

《“零点穿线法”解一元二次不等式》教学设计熊明军一、教学目标（一）知识与技能目标：了解函数零点的定义及函数零点的求法；理解函数零点与方程根的关系；掌握“零点穿线”求一元二次不等式解集的方法与步骤。（二）过程与方法目标：通过对一元二次函数零点定义的理解，培养熟练运用“零点穿线法”数形结合快速求解存在零点的一元二次不等式的能力。（三）情感、态度、价值观目标：紧扣定义，依此为出发点，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。二、教学分析教学重点：“零点穿线法”解一元二次不等式。教学难点：“零点穿线法”的概念及解题步骤。教学方法：五环节教学法（展问-研问-释问-测问-拓问）教学用具：常规教学用具三、课堂设计（一）展示问题，引出课题师：请同学们解一元二次方程X2-5X+6=0。生：（独立完成）。师：请大家注意了，如果将方程X2-5X+6=0中的“等号”变成“不等号”，比如：X2-5X+6>0,我们该怎么解决这个问题呢？师：（板书课题）这就是我们本节课所要探究的问题。（二）复习定义，引入“零点穿线法”师：请同学们回忆函数零点的定义。生：对于函数y=f（X）（X∈I），使fQ）=0成立的实数X叫做该函数的零点。师：求函数fQ）=Q-32Q+7）的零点。1/5生：显然当X=3时f(3)=0；当X=—7时f(-7)=0,则函数fQ)=Q-3)Q+7)的零点为X=3与X=-7。师：下面我们来练习，求函数fQ)=2X3-8X的零点。生：因为fQ)=2X3-8X=2XQ-2)Q+2)，所以得函数的零点为X=-2、X=0与X=2。师：结合求解过程，请同学们归纳概括总结求函数零点的方法步骤。生：在实数范围内，把所给函数因式分解为多个一次项Q+X)(i∈N)的乘积，i +则X=X(i∈N)就是函数的零点。i+师：大家请注意，在对函数进行因式分解时，有时会出现多个相同的一次项，我们把分解式中相同的一次项Q+X)的个数叫做函数零点的重数。i师：像上面提到的函数fQ)=Q-31Q+7)=Q-3)Q-3)Q+7)，零点X=-7有一个，零点X=3有两个，则X=-7是函数的一重零点，X=3是函数的二重零点。师：有了上面的准备，我们来学习“零点穿线法”解不等式一一将不等式对应的函数零点标在数轴上，依循奇穿偶不穿的原则穿线，由线所在的位置得不等式的解集。师：“零点穿线法”适用于某些一元高次不等式fQ)>0或fQ)<0的求解。步骤:①将不等式最高次项的系数化为正数；②求不等式对应函数的零点；③将零点及重数标在数轴上，从数轴右上方依次通过每一个零点，穿线(根据零点的重数确定穿还是不穿)④看图像，曲线在数轴上方对应的区间表示>0的解集；曲线在数轴下方对应的区间表示<0的解集。师：求解不等式(6—2X(2+4X—21)>0。生：①将最高次项的系数化正，即GX-6(2+4X-21)<0；②求对应函数的零点，即fQ)=(2X-6(2+4X-21)二2(x-3)(X+7)；③在数轴上标零点、穿线，如下图(数轴下标零点，上标零点重数)：1Ξ+十--7 3④看穿线图写解集：曲线在数轴下方对应的区间就是<0的解集^χ∖-∞<X<-<（三）“零点穿线法”求解一元二次不等式师：求下列一元二次不等式的解集。—x2—x+12>0 ②x2—x+2>0 ③x2+x+2<0先让学生独立求解，同时按学习小组抽部分学生上黑板演示，然后各学习小组讨论总结解题心得，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予表扬。生：①题X2项系数是负的，一化正，即x2+X—12<0；二求零点Q—3）x+4）<0；三标点穿线1ɪi ； ;四看图写解集X—4<x<31②③题不能用“零点穿线法”解不等式，②题解集为R；③题解集为0。师：思考你解这三个题的过程，小组讨论，谈谈通过这三道题大家对“零点穿线法”解一元二次不等式的理解。生一：通过这三道题，我知道不是所有一元二次不等式都能用“零点穿线法”求解;师：那你有没有想过什么样的一元二次不等式不能用“零点穿线法”？（引导回答生一：一元二次不等式对应函数没有零点的情况，也就是说在实数范围内函数不能因式分解，即一元二次不等式对应的方程无实数根Δ<0。（函数零点与方程根的关系生二：对于不能用“零点穿线法”求解的一元二次不等式，它的解集要么是R,要么是0？师：你们小组是怎么得到这个结论的呢？生二:利用一元二次函数图像，具体判断要根据函数的开口方向与不等式的不等号。师：在以上几位同学的理解下，我要请大家一起来对“零点穿线法”解一元二次不等式进行总结。（师生共同参与，学生讨论、概括、总结、表述、板书，教师引导，深化提高）（四）课堂小结1、“零点穿线法”解一元二次不等式的步骤：①把二次项的系数化为正数；l∆≥0,有零点②计算δ判断零点的存在性1l∆<0无零点③∣有零点，因式分解，“零点穿线法”求解集l无零点，根据图像开口方向和不等号求解集2、对于有零点的一元二次函数，求相应不等式的解集可概括为：一化正→二标点→三穿线→四看图→五写解集（五）布置作业探究一元二次不等式的解集与一元二次函数图像的关系，深入思考“零点穿线法”解一元二次不等式的理论依据。（六）板书设计“零点穿线法”解一元二次不等式（一）展示问题，引出课题（展）问题：解一元二次方程X2—5X+6=0。课题：解一元二次不等式X2-5X+6>0。（二）复习定义，引入“零点穿线法”（研、释）①函数零点的定义问题：求函数fQ）=Q-3,Q+7）的零点。问题：求函数fQ）=2X3-8X的零点。②“零点穿线法”概念及解题步骤问题：求解不等式G-2X乂2+4X-21）>0。（三）“零点穿线法”解一元二次不等式（释、测U）例题：①-X2-X+12>0X