2022年高考数学一轮复习几何法解空间角精练（解析版）

7.4几何法解空间角（精练）

【题组一线线角】

1.（2021•全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱ABC—中，ZBC4=60°,M-N分

别是AC，CG的中点，BC=C4=CG，则8N与朋/所成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】取的中点为Q,AC的中点为P,

BN//CQ,AM//C.P,所以NQC/或其补角即为BN与AM所成角,

CpA

设3c=2,则AM=GP=BN=GQ=石，PQ=2,

2.（2021•河南商丘市•高三月考（文））在正方体ABCD-AAGA中，点G,“分别在棱耳£,49上,

且A〃=GG=：AA，则异面直线BG与所成角的余弦值为（）

3517

B.-C.—D.——

A-T51326

【答案】C

【解析】如图，在平面5CC4内作CM//。“，交属于凡则NM2VG（或其补角）即为BG与所成

角.因为A3C。一4旦G。是正方体，不妨设4”=GG=gA2=1，

22

则C,M=DXH=2,MG=C]M-C,G=1,由勾股定理得CM=BG=72+3=旧.

又LMNG_CA®,所以MN=NG='CM=巫

44

222

MN+NG—MG5

所以在JWNG中，cos/MNG=、u一些

2MN-NG2x恒x姮13

44

即BG与DH所成角的余弦值为亮，

故选：C.

3.（2021•四川自贡市•高三三模（文））已知六棱锥48m51的底面是正六边形，阳J_平面48GPA=

246,则异面直线必与阳所成的角的余弦值为（）

nA.-亚-B.—C下

5510。・嚓

【答案】C

【解析】解：设141,

则PA=2,AE=712+12-2xlxcosl200=6,

PE=V4+3=77，

庞=2,

PB=,4+1=#>

，：CD与郎平行，

.../哪是是直线⑦与阳所成的角（或所成角的补角）,

二直线CD与加所成的角的余弦值为：

4+5-7厂石

cosNPBE-

2x2行一10

4.（2021•全国高三其他模拟（理））已知点。，。分别为圆锥的顶点和底面圆心，ABC为圆锥底面的

内接正三角形，AD=AB.则异面直线AD与3。所成角的余弦值为（）

A1R由r1nV3

6633

【答案】B

【解析】如图所示

连接CO，BD，延长8。交AC于点E，取CO中点尸，连接EE，BF.

因为AABC为正三角形，且。为A45C的外心，所以E为AC的中点，故EF〃A£＞，

则NBEF即为异面直线AD与8。所成的角.

设AO=AB=2,则£/=1，BE=6

由题意可知△BCD为等边三角形，则BF=G，

222

"RSM3口口BE+EF-BF73

fi-BEF中，cosZ.BEF=---------------------=—.

2BEEF6

故选：B

5.（2021•辽宁高三其他模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，AB与CD所成的角

为（）

71

D.-

2

【答案】C

【解析】由题意可知正方体的直观图如图：

连接AE，EB，则AE〃C£>.

所以NE43就是AB与CO所成的角，因为几何体是正方体，所以是正三角形,

71

所以AB与C。所成的角为：一.

3

故选：C.

6.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体ABCD中，点E为棱的中点,

则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】取A3中点尸，连接

E,F为AD，AB中点，：.EF//BD，

ZCEF即为异面直线CE与50成角，

设正四面体棱长为2,则EE=1,CE=CF=6,

.cosNCEF尸网、附.5

•.WoZ_K^L-JL-I——

2xlxV36

故选：A.

7.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。-%用GA中，夕为的中点，则直线与AQ所成

如图，连接8G，PC1，P8,因为

所以NPBC］或其补角为直线PB与AR所成的角，

因为8片，平面&BCB,所以8月1PC,,又PC,±BR,BBqBR=Bi，

所以Pg，平面PBB、,所以PG，P8,

设正方体棱长为2,则BQ=20,尸£=g=应，

sinNPBG=^=g,所以NP8G=f.

oC,26

故选：D

8.（2021•玉林市第十一中学高三其他模拟（文））如图，在正方体ABC。-%与GA中，胴"分别为/〃，

的中点，则异面直线〃材与"V所成角的余弦值为（）

i.-2B.2-C.1-D.--

5322

【答案】A

【解析】取AN的中点Q,连接MQ,D}Q,

则MQ//DN.NRMQ或其补角即为异面直线/Ml与〃V所成角,

不妨设正方体ABCD-A^D,的棱长为4,

则。幽="二^=2石,MQ=d*+f=6,D,2=V42+42+l2=733>

221

D}M+MQ-D.Q20+5—332

所以cosND[MQ=

2D】M•MQ2x275x755

2

所以异面直线几V与〃V所成角的余弦值为一.

故选：A.

9.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三月考（文））三棱锥P-A5C所有棱长都为2,E，尸分别

为PC，AB的中点，则异面直线8E,尸尸所成角的余弦值为（）

2

D.

3

【答案】D

【解析】连接CF,取的中点0,连接EO,B0,

•••£'是"的中点,

：.E0//PF,

/.NBEO（或其补角）是异面宜线缈与小所成的角.

设三棱锥2—48C的所有棱长为2,

则PF=BE=CF=7*-T=6，

则EO=Lpp=^=FO=LcF，

222

22

则BO=yjBF+FO=A/l+?=—1

V42

在NBEO中，由余弦定理得

BE?+EO2-BO?

cosZBEO=

2BEEO

二异面直线BE与公所成角的余弦值为r.

3

10.（2021•广西南宁三中高三其他模拟（文））在正方体中，0是底面A8CD的中心,

£为CG的中点，那么异面直线。石与401所成角的余弦值等于（）

卜瓜R斯,61）近

A•------t）•------C•------\）•---

2332

【答案】B

取BC的中点E，连接EF,OF,BC-

如图所示，为cq的中点，EF〃BG〃A。，故/。底尸即为异面立线。石与所成角,

EF

设正方体ABCD—ABCD的棱长为2，则在二OEF中，EF=近,0E=，故cos/OE/7

ifil~OE~^

故选：B.

【题组二线面角】

1.（2021•浙江温州市•温州中学高三其他模拟）已知在六面体P43CDE中，Q4_L平面ABC。，EDV

平面A8CD,且P4=2£D，底面ABC。为菱形，且NABC=60°.

（1）求证.平面PACJ_平面P8D.

（2）若直线PC与平面A8C。所成角为45°,求直线3。与平面ACE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）!

2

【解析】（1）连接30，交AC于。，•底面A8C。为菱形，.•.8£＞_LAC，

平面ABC£＞，3。＜=平面438，，曰_1_班＞.

QPAIAC=A,二即，平面PAC，

Qu平面P5D,，平面PAC±平面；

（2）设EZ）=a,则Q4=2a

PA，平面ABCD.:.ZPCA即为直线PC与平面ABCZ）所成角，

即NPCA=45，：.PA^AC^2a,

EDA.^ABCD,ACu平面ABC。，.AC，

AC工BD,BDcDE=D.：.AC上平面BDE，

ACu平面ACE，，平面ACE1平面BDE，

ZEOD即为直线BD与平面ACE所成角，

ZABC=60°,ABCD为菱形，；.0D=《a,；.OE=2a,

2.（2021•宁波市北仑中学高三其他模拟）在三棱锥P—A3。中，AB=BC=2,AB1BC,CP±BC,

APIAB,ZCPA=6Q°.

（1）求证：PB1AC；

（2）求直线BC与平面Q45所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）注.

2

【解析】⑴如图，作AOI/BCQC//AB,连接P。,

由A8，BC,AB=BC=2,可知（MBC为边长为2的正方形，PA±AB，又PAAO=A,

所以4?，平面PAO，ABVPO-.

同理尸C_LBC,PCCO=C，得BCJ_平面尸OC,BCLPO,

BAcBC=B,所以PO_L平面Q43C，

所以POLAC，又AC_LQB,得AC_L平面PQB，得AC_LP?.

⑵由⑴知相_L平面尸Q4，ABu平面必6,所以平面PO4_L平面P45，过点。作OD_LR4于£）,

。。_1_平面Q45，NOAD即为OA与平面所成角.

由于△POA4POC全等，PA=PC，NCQ4=60°，所以△R4C为等边三角形，

B

PA=PC=AC=2B故尸0=2,所以点。为中点，故豆11/。4。=豆1145°=半，

BCHOA,所以与平面PAB所成角和OA与平面PAB所成角相等，

故直线BC与平面E4B所成角的正弦值为巫.

2

3.（2021-全国高三其他模拟）如图所示的几何体是由三棱柱ABC-A旦G和四棱锥「-44乃乃组合而

27r

成的，已知NAA8=w，线段PC与A6交于点E，E，尸分别为线段PC,AC,的中点，平面旦8_L

平面ABC,ER〃平面BCCM.

B

（1）求证：四边形AP8C为平行四边形；

（2）若▲ABC是边长为2的等边三角形，例=2,求直线PC与平面PA蜴所成角的正弦值.

【答案】（D证明见解析；（2）旦.

2

【解析】（1）连接BG，因为防〃平面BCG耳，平面ABCJ平面8CG旦=B£，EFu平面ABC”

所以EF//B&,

由f为线段AG的中点，可知E为线段的中点，

又£为线段PC的中点，所以四边形APBC为平行四边形.

（2）如图，连接80,BE，

山（1）及AABC是边长为2的等边三角形可知，平行四边形AP3C为菱形，且尸C_LA8,PC=2>/3.

易知四边形A84A为菱形，又NAAB=W，A4,=2,所以B】E=6

又PCcB】E=E,所以平面PBC，所以AB_L8C.

因为A4〃/s，所以4线J.gc.

因为81E_L43,平面平面A8C,平面A41gBe平面A6C=43,所以4E_L平面ABC,

所以片E_LPC,又E为PC的中点，PC=2B1E,

所以gC_LPg,B£=PBj

又41片小「耳=耳，所以4。，平面尸44，

故NB/C为直线PC与平面H4同所成的角.

易知N4PC=f,故sinN3/C=^.

412

故直线PC与平面P\B,所成角的正弦值为受

2

4.（2021•浙江高三其他模拟）已知直角梯形ABC。，AB//CD,AB±BC,AB=BD=2CD,F为

A。的中点，将△BCD沿8。翻折至

（1）求证：BD上PF；

（2）若PF=±^PD，求尸8与平面PAO所成角的正弦值.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）工

13

【解析】（1）过点尸作*加于瓦连接/RtABPD中,令吩1,则盼2陷2,BP=5

直角梯形ABC。中，显然有NCB£>=30，而AB_LBC，则NABD=60"，又AB=BD，即△回£>为

正三角形,

而F为AO的中点，则。又NA£）B=60"，一。所中，由余弦定理得

22

3

EF2=DF2+DE2-IDF-Z)Ecos60=-,

4

即上产+。后=1=。/2,。£尸是直角三角形，有EF工BD，而PELBD,PEcEF=E，

所以8。_1_面「石尸，PFu面PEE，故BDLPF；

⑵过8作即1平面处〃与平面为。交于点0,连接河，则闻是如在平面阳〃内射影，NBPQ是直线外

与平面为。所成角，如图：

因J_面PEF，即平面43。，面PEF，平面ABDc面PEF=EF,过点〃作P01EF于0,则P01

面相£)，

由⑴PF=@PD=@,EF=PE=PF=—^PO=-,

2224

_1•PFI~/—

PDF中,PD=DP=\,贝ij„2V3.„r.-------F7V13,

co/Ds乙PnFD=-......=——，si/nDNPnFD=7"cosNDPrFnD=-----

DF44

SPAD=ISPFD=2---PFDFsinZPFD=—,SABD=~AB-BD-sinZABD=y/3,

282

由％…%如得/。*…#。",即皿.噜=泊,BQ=右,

PB而13

所以与平面尸4）所成角的正弦值为独9.

13

5.（2021•浙江温州市•高三三模）如图，四棱台438—EEG”的底面为正方形，

EH=DH=、AD=1.

2

（1）求证：AE〃平面加心；

（2）若平面BDGc平面AT>H=m,求直线勿与平面BCG所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：连结交AC交3。于点。，连结EG，GO,

由多面体ABCD-EFGH为四棱台可知ACGE四点共面，

且面ACGEI面EFGH=EG，面ABCD'面ACGE=AC,面EFGHH面ACGE,

二EG//AC,

EFGH和ABC。均为正方形，EH^-AD,

2

：.EG=-AC=AO,所以AOGE为平行四边形，

2

AE//GO.GOu面BDG,AEZ面BDG.

，AE//平面BDG.

(2)

VAEG面ADH，AE//平面BDG,BDGC平面ADH=m,

AAEUm,又,：AEHGO,：.GOHm

求直线必与平面BCG所成角可转化为求GO与平面BCG所成角,

•；EFG"和ABCD均为正方形，EH=HD=-AD=\,且”£>，OC，

2

:.DG=GC=叵,CD=2，:.DGLCG,

又•；BC，面CG//D,，DG

二£>G_L面BCG.面BGD±面BCG,

由面BGDc而BCG=BG,设。在面BCG的投影为M,则MGBG,

，ZOGB为GO与平面GBC所成角，

山3CJ_CG,可得BG=娓,又,：B0=0G=4i，

•仆6+2-2_V3

••cosNOGB------j=—『——

2xj6xj22

sinZOGB=-,直线加与平面GBC所成角的正弦值为g.

22

6.（2021•浙江湖州市•高三二模）已知三棱柱ABC-44q,一A6C是正三角形，四边形ACQA是

菱形且NAAC=60。，M是4G的中点，MB=MC.

B

（1）证明：AMLBC；

（2）求直线A"与平面BCG与所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）上.

21

【解析】（1）设BC中点为。，连结A£＞，MD，如图:

由MB=得MDLBC，由二ABC是正三角形得ADA.BC,

又A/Dc4）=。，故3C，平面AMD，因此3C_LAM；

（2）三棱柱-中，四边形ACGA是菱形，设AO中点为E，平面AMD交gG于N，连结

NE,设M-AC=1,

平面4%力平面48K,平面AAWDc平面ABC=Al）,平面AWVDc平面460；

则MN//4D,而4C%4,由等角定理得NGMN=NC4。，=Z4C。，则在MQNACD,

MN_C、N_GM_1即得，，

必是4G中点,CN=a>=,

~AD~~CD~~AC~2'24

由⑴BCL平面4WND得平面BCCg，平面40M）,则DN为在平面BCCg内的射影,

四边形4团怯为平行四边形，即AM//EN,所以ZEND为AM与平面BCC.B,所成的角,

由四边形。CJN是直角梯形，得DN=4CC：一（CD-GN）2=浮

i2

△A41M中,ZAA.M=120,则EN=AM=y]AA；+A^M-2AA,■AtMcosZAA.M

iaEN2+DN1-DE?哼）2+（用-净支

END中,DE=-AD=—，cosZEND=

242EN-DNc而后21

24

sinZEND-，

21

所以，直线A"与平面BCC]B1所成角的正弦值为叵.

21

7.（2021•山西临汾市•高三其他模拟（理））图1是由即.ADC和也A8C组成的一个平面图形，其中

AC=4,ZZMC=60°,ABAC=45°,E，尸分别为fi4，的中点，CG=-CD,AH^-AD,

44

将ABC沿AC折起，使点5到达点P的位置，且平面Q4C_L平面AOC，如图2.

图1图2

（1）求证：点”在平面EEG内；

（2）求直线P£）与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）如.

4

【解析】（1）证明：在△P4C中，因为E，尸是小,PC的中点,

所以EF//AC,

又因为CG=，CD,AH=-AD,可得HG//AC,

44

则EF//HG,即£,F，G,，四点共面.

即证点H在平面£尸6内.

（2）方法一:

过。作">_LAC,连接PO.

因为平面R4C_L平面ACD,且平面R4C。平面AC£>=AC,

所以OO_L[fiiACP.

所以ZDPO为直线DP与平面PAC所成角.

在RfAACZ)中，OO=G，8=3,

在APCO中，pc=2A/2.8=3,NPC4=45°,

山余弦定理可得。0=否.

在R/_POD中，tanZDPO=—.

OP5

所以sinZDP(?=—.

即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为逅.

4

方法二：

取AC中点为O,连接P。，DO,

因为PC=Q4,所以PO_LAC,PO=2.

又因为平面PACJL平面ACD,且平面R4C介平面ACD=AC,

所以「0_1面47。.

设点D到平面APC的距离为hD,

因为VD-APC=VP-ACD，所以（XS&CPX4,=；xS/XPO,

—x2x2>/3x2

S2ACD*P°2___________

hD=6

S/XACP-x2>/2x2>/2

2

在HfAACD中，0D=2,所以。£>?=PO?+。。2=&

设直线PD与平面PAC所成角为e,

所以sm*箝系邛

即直线PO与平面PAC所成角的正弦值为如

4

8.（2021•全国高三其他模拟（文））如图，在三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等腰直角三角形且

ZABC=90°，侧棱Q4,PB,PC相等且PC=AC=4,。为AC的中点.

（1）求证：平面B4C_L平面ABC；

（2）求直线P8与平面24c所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

2

【解析】(1)连接08,因为△PAC为等边三角形，。为AC的中点，所以尸0LAC,

因为以=P5=AC=4,所以AO=8O=2,所以20=2外，

在右~8。中，因为P8?=尸。2+8。2,所以NPQB=90°,即尸0,03,

又因为AO80=。，所以P0_L平面ABC.

又由POu平面P4C,所以平面PACJ_平面ABC.

(2)由(1)知PO_L平血ABC,因为BOu平面ABC,所以POL5O，

因为3OJ_OC,且ACPO=O,所以30,平面PAC,

所以ZBPO为PB与平面尸4c所成的角，

在直角△5PO中，因为PB=4,80=2,所以sinN5P0=!.

2

【题组三二面角】

1.(2021•黑龙江哈尔滨市)如图，四棱锥P—A8CD中，平面ABC。，AB1AD,AB//CD,

PD=AB=2AD=2CD=2,E为线段Q4上一点，且3PE=2Q4.

(1)证明：平面EBCJ•平面Q4C；

(2)求二面角A—BC—E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

7

【解析】（1）：平面A8CO,3。（=平面旗8，，24_13。，

VA£>±DC.PD=AB=2AD=2CD=2,ABIICD,如图过。作C「_LAB交45干点产，

所以BC=dBF?+CF2=叵，AC^y/AD2+CD2=72-所以AC2+C§2=AB?

:.ZACD=45°,AC1CB.

又AC,Q4u平面P4C，ACr^PA=A，

二3C_L平面PAC,•••BCu平面8CE，.•.平面£BCJ•平面B4C.

（2）由（1）知8CJ_平面PAC，

又有ACLCB,故NEC4即二面角4一3。一后的平面角，

：Q4_L平面ABC。，ADu平面ABC。，，A4_LAD，斫以PA=疝后二^=垂）

AC五相

._.r-,.,COSA-ECA.=---=—.=-----

在MAE4C中，EC7217

丁

所以二面角A-BC-E的余弦值为这.

2.（2021•河北高三其他模拟）在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，4PAD为等

腰直角三角形，PALPD,后为3c的中点，且PE=J5.

p

（1）求证：平面P£）E_L平面尸A。；

（2）求平面PA。与平面PC。所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）—

【解析】（（1）证明：取AO中点F，连接PF、EF，如图,

,皿)为等腰直角三角形，

PFLAD，且PF=；AZ)=1，

EF=AB=2,且=PE2+PF2=EF2>

：.PF上PE，

■四边形ABC。是正方形，

:.EF上AD，

PF\EF=F,PF、EFu而PEF，

W面PEE,

QPEu面PEF，

：.AD上PE，

PF\AD=F,且PE、ADu面B4£>，

；.PE，面PAD，

QPEu面PDE，

，平面「。石上平面出。.

(2)1・平面24。|)平面PCQ=尸£),PA±PDCD=2,P。=JPE?+CE?=2,

:.PD=V2.

取尸。中点4，则C”_LP£>,CH=—,

2

FH=-AP=—,

22

.•.m/c即为所求二面角的平面角，

FC=«，

„,,HF2+HC2-CF26

cosZ/.rFHC=----------------=——,

2HCHF7

面PAD与面PCD所成的锐二面角余弦值为立.

7

3.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A—88中，平面4ao，平面BCD,AB^AD，0为BD

的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若-OCZ)是边长为1的等边三角形，点E在棱上，DE=2EA,且二面角£一3。—。的大小为

45°,求三棱锥4一BCD的体积.

【答案】（1）详见解析（2）立

6

【解析】（（1）因为AB=AD,0为BD中点，所以AOLBD

因为平面ABD「平面BCD=BD,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO平面BCD,

因为COu平面BCD,所以AOLCD

⑵作EF±BD于F,作FM±BC于M,连FM

因为AO平面BCD,所以AO_LBD,AO1CD

所以EFJ_BD,EFXCD,BOcCP=O.因此EFL平面BCD,即EFLBC

因为FM_LBC,F70I£尸=尸，所以BC_L平面EFM,即BC_LME

71

则ZEMF为二面角E-BCD的平面角，NEMF=—

4

因为80=8,AOCD为正三角形，所以A5CD为直角三角形

I117

因为。E=2£4,.••/7N=58E=5（l+§）=§

2

从而EF=FM=-；.40=1

3

QAO_L平面BCD,

所以V=!AO-SMCD=-xlxlxlxV3=—

3326

4.（2021•重庆高三三模）如图正三棱柱ABC—A'5'C的所有棱长均为2,E、尸、G、”分别是棱

A4\AB.AC.3'。'的中点.

(1)求证：B'C//面EFG；

(2)求三棱锥”-EFG的体积；

(3)求二面角E-FG-，的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)Y3；(3)独亘.

4133

【解析】(1)证明：因为ABC—A'8'C'是三棱柱，所以B'C'/ABC,

又AF=FB，AG=GC，所以BC//FG,

所以B'C〃FG,FGu平面EFG,B'C'U而EFG,

所以B'C'//面EEG；

（2）解：山（1）可得,^H-EFG—VB'-EFG~^G-EFB1»

所以％一£m=：SEFB,-h,其中人为点G到平面ABB'A的距离,

因为正三棱柱ABC-AffC的所有棱长均为2,

所以/z=L亚=F=正，

22

1（1、

故VG—EF&=1$EFF•〃=—x2x2-lx2——xlxlx

32了一彳‘

所以三棱锥H-EPG的体积为也;

4

(3)解：设二面角E-FG-A,H-FG-B,E-FG-H的平面角分别为a,夕，Y,

则7=乃_a一〃，

所以cos/=cos（7r-a-尸）=-cos（a+/?）=sinasin/7-cosacosP,

过点A作ARLFGF点R，连结七R,则NA/?£=a,

26

所以smau下,cosa=方，

4

同理可得，cos〃=-j=,sin^=-=,

VI9,19

24737357133

所以cosy=sinasinp-cosacos/?.”“一*,——__________x----------

币晒晒出133

5.(2021•广东珠海市•高三二模)如图，圆柱。。，矩形ABgA为过轴。01的圆柱的截面，点C，G为

弧的中点，点。为CG的中点.

(1)求证：01。〃平面AB。；

2

（2）若34=2,三棱锥片―A3c的体积为求二面角。一人玛―3的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）B.

3

【解析】（1）矩形438同为过轴。&的圆柱的截面，设A4cOO1=E,连接CE,则E为0Q中点,

点C,C,为弧ABM4的中点，则8是圆柱。。的母线，CC0I。是矩形，点。为CC的中点，则O]E〃C。，

O、E=CD,

有四边形。。。乃是平行四边形，O.D//CE,CEu平面AB。，OQz平面A8,C,

所以OQ〃平面ABC；

2

（2）设圆锥底面半径「，由点。是弧4?中点得OC,AB,因=2,三棱锥用一ABC的体积为

BB11平面ABC,

1।1222

三棱锥及一ABC的体积V=-54・S—二一・八2厂=—即一,=—,得r=],

332333

OA=OB=OC=l,

取AE中点尸，连接CF,OF,如图:

因OC_LA3,平面平面ABC,则有OC_L平面AB44,

而001=64=2,则OE=OA=1,CE=CA=AE=O，

FO1Afi,,FC±ABt,/OR7为二面角C—A4的平面角,

V2

由0/=立，CF=显得:cosNOEC二OE万_G

--

22CF76"T-

所以二面角C-A4-8的余弦值为

3

6.(2021•江苏苏州市•常熟中学高三三模)如图，在多面体腑加中，平面4(7以平面/6C,四边形力。右

为直角梯形，CD//AE,ACVAE,//吐60°,CD=1,A^A(=2,户为应1的中点.

(1)当a'的长为多少时，。凡L平面43瓦

(2)求平面力应与平面腿所成的锐二面角的大小.

【答案】(1)叱2；(2)60°.

【解析】(1)取心的中点G，连接尸G,CG,；尸为龙的中点

/.FG//-AE,又•：CDH=AE，：,FG//CD

=2=2=

...四边形的7为平行四边形，8

平面4物上平面ABC,平面ACDE[\平面ABC=AC,AE±AC

...4&L平面48a：.AELCG,

要使〃/U平面W,则只需4_1_平面4圈由线面垂直定理，只需CG，ABoBC=AC=2,故於2

小2时，CG1AB,又AE_LCG,AB\AE=A,A5,AEu平面叱，

所以CG，平面ABE,即勿北平面ABE；

D

（2）过8作BillI⑶，则BHIICD//AB，连接HD,HE,所以平面BCD-平面ABE=BH,

证明如下：设平面平面BCD平面，由AB//C。，A6Z平面BCD，COu平面BCD,得A。//

平面BCD，所以AB///,於ABHIHCD，而平面的交线只有一条，所以BH=/.

由（1）AE±AB>同理AE_L3C,所以8〃，43,8〃_LAC,

则NABC即所求二面角的平面角

而NABC=60，，所成锐二面角为60.

7.（2021•江苏扬州市•高三其他模拟）如图，四棱锥P-ABC。中，平面A8CD,AD//BC,

AB=AD=2,AC=6，ACBD=E,DM=2MP，必//平面M4c.

M

（1）证明：ACJL平面上40；

（2）若尸3与平面A8CD所成角为45，求二面角C—PD—A的余弦值.

【答案】（D证明见解析；（2）叵.

5

【解析】（1）证明：；//平面MAC，PBu平面「BD，

平面P8D、平面M4C=ME，

：.MEHPB,DM=2MP'

DM>DE>

——=2n—=2,

MPBE

AD,

VAD/IBC,：.——=2,BC=\,

BC

VAB=2-AC=5AAC2+BC2=4=AB2

/.AC1BC-：.AC±AD.又：PA_L平面ABC。，ACu平面ABCD，

:.PA1AC，

•••ADc刈=A，4。，平面抬£).

（2）：P8与平面ABC£）所成角为45，

，NPBA=45°，APA=AB=2>

C4J•平面PAO，

过A作AE_LP。于点E，连接CF,

M

因为ACJ_平面PAD，而PDu平面PAD，所以AC_LPD，

因为AEAC=A,所以PD_L平面ACE,而CEu平面ACF,所以CF工PD，

所以NAEC即为所求二面角C—P£>—A的平面角，

因为Q4=4）=2，AFA.PD^所以AF=AD-sin45=0，

,:AC=6CF=V5-

.V2V10

..cosZ-AFC=—j==---.

石5

8.（2021辽宁锦州市•高三一模）如图，在正三棱柱ABC-A4G中，。为A3的中点，若AB=2,=3.

（1）证明：〃平面4c。；

（2）求二面角A-BG-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-立.

4

【解析】（1）证明：连接AG，交4。于。，连接00.

因为四边形4ACG为矩形，所以。为AC中点，又因为。为AB的中点,

所以O£）〃BG，又因为ODu平面4。。，BGU平面4。。，

所以3cI〃平面A。。.

(2)解：取AG中点M，过M作MNLBG丁N,连接M41,

因为ABC-44G为正三棱柱，所以平面A4GL平面ACO,

所以A"，平面BB£C,于是AN在平面BB©C内的射影为MN,

所以5C,1AN,所以N4NM为二面角A-BGF的平面角,

AM2-sin60°13

.tanZANM

所以**MN12x3

-x-.——

2V22+32

cosNAN