计算理论导引

计算理论1复习:确定型有穷自动机的形式定义定义1.12有穷自动机是一个5

元组(Q,S,d,q0,F

)，其中Q

是一个有穷集合，称为状态集。S

是一个有穷集合，称为字母表。d

:Q·Sfi

Q是转移函数。q0˛Q

是起始状态。F˝Q

是接受状态集。复习:非确定性非确定性体现在转换规则——一入多出,e是空字——无入转态q2q1q311q1q2e3复习:非确定型有穷自动机的形式定义定义1.174非确定型有穷自动机(NFA)是一个5

元组(Q,S,d,q0,F

)，其中Q

是有穷的状态集。S

是有穷的字母表。d

:Q·Sεfi

P(Q)是转移函数。q0˛Q

是起始状态。F˝Q

是接受状态集。复习:等价性定理

一个语言是正则的，当且仅当可以用正则表达式描1.28

述它。定理1.195每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。复习:正则表达式转换成NFA例1.30

把正则表达式(ab∪a)*

转换成一台NFA。abe(1)

a

(2)

b

(3)

ab

(4)

ab∪a

(5)

(ab∪a)*e6eeeae主要内容7有穷自动机非确定性正则表达式非正则语言本章小结作业非正则语言8对于如下的语言，是否能找到识别该语言的DFA？B

=

{

0n1n

|

n≥0

}C={w

|

w

中0

和1

的个数相等}D={w

|

w

中01

和10

作为子串出现的次数相同}9泵引理(pumping

lemma)定理1.37若A

是一个正则语言，则存在一个数p

(泵长度)使得，如果s

是A

中任一长度不小于p

的字符串，那么s

可以被分成3

段，s

=xyz，满足下述条件：对于每一个i

‡0,

xyiz∈A|

y

|

>

0|

xy

|

≤

p我们总能够在离s

的开始处不太远的地方找到一个非空的串y，然后可以把它看作一个“泵”，重复y

任意多次，或者去掉它，而所得到的结果串仍然属于A。非正则语言qkq0qm10泵引理的证明11设M=(Q,S,d,q1,F)是一台识别A

的DFA，并设p

是M

的状态数。设s

=s1s2…sn

是A中长度为n

的字符串，这里n≥p。又设r1,r2,…,rn+1

是M在处理s

的过程中进入的状态序列，因而ri+1

=d(ri,si)，1≤i≤n。该序列的长度为n+1，不小于p+1。根据鸽巢原理，在该序列的前p+1个元素中，一定有两个相同的状态。设第1

个是rj，第2

个是rl

。由于rl出现在序列的前p+1个位置中，而且序列是从r1开始的，故有l

≤p+1。此时，令x=s1…sj-1，y=sj…sl-1，z=sl…sn。泵引理的证明12由于x

把M

从r1带到rj

,y

把M

从rj

带到rj，z

把M

从rj

带到rn+1，而rn+1

是一个接受状态，故对于i

≥0，M

接受xyiz。已知j

≠l，故|

y

|>0，又已知l≤p+1，故|xy

|≤p。于是，满足泵引理的3个条件。13泵引理的应用例1.38

设B={0n1n

|

n≥0}。用泵引理证明B

不是正则的。假设B是正则的，令p是由泵引理给出的泵长度。选择s

=0p1p

，按照泵引理所述，可令s=xyz根据泵引理，有|

xy

|≤p，因此y=0k，k≥1此时有x

=0p-k-j

,z=0j1p从而有xyiz

=0p-k-j

(0k)i0j1p

=0p+(i-1)k1p当i

=2

时，我们有：xy2z=0p+(2-1)k1p

=0p+k1p注意到k≥1，所以，p+k>p。这就是说，0p+k1pˇB这与泵引理矛盾。所以，B

不是正则的。泵引理的应用并不是所有满足泵引理的语言都是正则语言。就是这样的一个例子，它满足泵引理，但并不是正则语言。14本章小结15有穷自动机DFA

M=(Q,S,d,q0,F)