专题35轨迹方程求解方法备战2016高考技巧之高中数学黄金解题模板解析版

题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是高考所要考查的重要内容方法 直接解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本（两点间距离、点到直线的距离、直线斜率公第二步根据直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程1AB,AB2cc＞0PAB的距离之比为定值aa＞0，P的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。a1x0Pya2aa2 a1P点的轨迹是以a21c,0

a2 a1x0Pya1P点的轨迹是以a21c,0 a2a21】已知椭圆CxOyx7求椭圆CP为椭圆CMPx

,M1 1【答案 （2）当3时，化简得9y2112My474x4 当03My轴上的双曲线满足4x44当31，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的 足4x4的部分4当1Mx2设直线lxx22y24A,BP是lPAPB的点，求点的轨迹222Pxy12x 2A60B20，OPAOBOPPx2y26x0x0y0（x6x2方法 定义解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双第二步1F1，F2，PF1P到QPQPF2那么动点的轨迹是 B、椭 1F1,0lx1B是直线lBy44 44 的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 C、椭

MBM12例2M与圆Cx42y22外切，与圆Cx42y22M12【答案】轨迹方 【答案】轨迹方 1x 2 【点评】容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误认为是整条双曲线，从而得出方程后没有限制x 2

1 0,B是圆F:x y24（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平 2线交BF于点P，则动点P的轨迹方程 。x24y23方法三相关点法（代入法解题步骤：第一步Px,y随着已知曲线上的一个动点Qx',y的运动而运动第二步x'fx,y,y'gx,y第三步将Q例 【答案】轨迹方程为x

344

y2

9x1616

3y01x22是借助线段的定比分点坐标来建立两动点之间的关系。1xOyF，，

PPAM

y21；⑵x

1

4y

1 2 43【解析】⑴F30,c3 例 M,P满足y2x

MP,P0两边同除以1得2xy1Py2x1P与Q相关，QBPB P的轨迹方程。【答案】x82y22方法 参数解题步骤：第一步xy第二步xy1ABaPABAPPB1AyBx轴P的轨迹方法。

1x0,y 1x2【答案】6x8y210

Mx

长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则ecc a2c,b23c2

22

xx022

yy01AB1x 1y

得2x0

2y 0

31x241

2 即2 42

2 消去c2，得6x8y21 即椭圆中心的轨迹方程为6x8y210例 P2ax2bya2b20⑵当lyMN中点为ab2 2 MNP的轨迹方程为2ax2bya2b20x,y；再消去参x,y的方程，即为所求的轨迹方程。2A10，斜率为k的直线l与抛物线Cy24xPQ两点。若曲线CPQRPFQRRy24x3,x1方法 交规解题步骤：第一步xftygt第二步2例122

x2y2y

1x0x2P点的两个坐标【变式演练1y22pxp＞0lFOPPQl于Q，求QF与OPMy22xxp 2 12015江苏高考，18（16分 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭

1ab0

F2lFA，BABlAB于P，CPC=2ABAB的方程.

x2y2y

yx1

yx1．a，b，ca2，2【2015高考理21一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点短杆ON可绕O转动长杆N处铰链与ON连接，MNDABDNON1，MN3D在滑AB．N绕O（D不动时，N也不动，M处的笔尖画出的曲线记为COABx2C（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1x2y0和l2:x2y0P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只OQPyNDyNDOxM M第21题图 第21题图

x2y2

（Ⅱ）（Ⅱ（1）当直线l的斜率不存在时，直线lx4x4

14482（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:ykx

(k1)由x24y2

y，可得(14k2x28kmx4m2160因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24 ykx

P(2m

m)；同理可得Q(2m

m)x2y

1k1k

1

1

11由原点OPQ1

|m

和|PQ

|xP

|，可得考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值找到椭圆的abc.那么第一问就迎刃而解了，第二问仍然为圆锥曲线的综合问题。的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点、根与系数的关系以及设 3【2015高 文19（本小题满分14分）已知椭圆a2+

=1(ab0BF5离心率 55BF的斜率BFP（PB）BBPQ（QB）PQyM|PM|=l|MQ|.l的值若|PM

7979 22（I）2;（II（i） 22

7,

7,PQ

,又因为|PM|sinÐBQP=75PM7 7 PM7所以BP=|PQ|sinÐBQP=15|PM|sin? 55 5c 4c032c3

5 5 5yP2xP2c3c,BP

c,因 c

,c3 所以椭圆方程 【考点定位】本题主要考查直线与椭圆等基础知识.考查运算求解能力及用方程思想和化归思想解决问题的4【2011年高考理科第19题（本小题满分13分如图，在以点O为圆心，|AB|4ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足||MA||MB||M的轨迹，且曲线CP.建立适当的平面直角坐标系，求曲线CDl与曲线CEF22

，求直线l斜率的取值范围x y【答案】

1l的斜率的取值范围为

2C22

y2

121k而原点O到直线l1kk.k. d2 22若△OEF面积不小于 ,即222223k1k

2 k2

20解得

k 2l的斜率的取值范围为211,11,22 综合②、l的斜率的取值范围为211,11,2 5【2014高考 记点M的轨迹为C.求轨迹为Ck的直线lp2,1，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点k的相应取值范围.

4x,x0,0,xk110，直线l与C有两个公共点，与C k1011时，直线l与C 2 k1101时，直线l与C 2 2 1 省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试，理24】己知曲线

yx21y0xA，BPxPA,B连线的斜率之积为-4(I)P的轨迹C2的方程；(Il)B的直线l与C1C2M,Q（A，BMQ为直径的圆A，求AMQ的面积．试题解析：(1)ABA(10B(1P(xyy0)kAPkBP

yx

x1

y2x4x

1(y

y2PC24

x1y 5y1∴

AMAMAQ2k

10∴y48,

∴

1|AB||2

P

|所以APQ的面积为 12 届高 月联考理20】如图所示已知圆C:(x1)2y2PAMN在CMAM2APNPAM0,点NEEF(0,2)E于不同的两点G,H（点GF,H之间FGFH，求的取值范围E

x2 y2y

3【河北省市第一中学2015届高三上学期期中考试，理20】已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭x2y

0)(a>b>0)FΓO的射线lΓQCPMOPOMOQ 当k1时，(k ( 即OMOQ的最大值为 33 省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学理】已知定点A(2,0)，F(1,0)，定直线l：x4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的1.设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直2ADAE与直线lMN两点求CMN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由

1（2）100) （1）20)xF(10DExty1MNGMGN可得含tn的等式：(4

9t23t(6t)9(3t2MN为直径的圆不恒过定点.将这个等式化简得，(4n)290，n1或n7，这说 径的圆恒过两定点(10)和(70).2014——201520xOy3BA1,1关于原点OPAPBP之积等于13PAPBPx3MNP使得△PAB与△PMNP【答案】

x23y24x1(2)存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为5, 33 9 试题解析：（1）Px23y24x（2）P的坐标为x0y0MN的坐标分别为3yM,3yNAPy1y01x1x0BPy1y01x1x0

5x3

4y0x03,y 2y0x03 x x 12x12

3x于是△PMN

yM

，0x202直线AB的方程为xy0，AB 2

8(2015320)F(1，0)，E(x1)2y28PPFPE 若直线lOx2y21相切，并与(1)中轨迹ΓA、B．当OAOB23时，求△AOBS3【答案】

2xy22

1；(2)4

26，632 20)、F(1，0)为焦点，长轴长2a

Q的轨迹Γ22222

y

22

1)y1y2mn(y1y2)

3n22m2m2

m2 m212OA12OAOB(OA

21|xyxy|1|(myn)

(myn)y|1|n(yy)2m211m222m211m22m2m2m2(m2

2 |n|22

m2

m2 m2

m2

1，且

m2 ∈[，m2 ∴SAOB

22

6，632015届高三第二次统考数学理】在ABCAB的坐标分别是

2,0),(2,0)点G是ABCyM满足GMAB，且|MC||MB|．求ABC的顶点CE直线l:ykxmEPQER，使四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．

6 （2）6

[6,) （2）设直线l:ykxm

1P(x1,y1Q(x2,y28.【中学2015届高三第四次月考数学理试题】已知抛物线y242x的焦点为椭

1ab0的右焦点,且椭圆的长轴长为4A，B.经过椭圆左焦点的直线l 椭圆交于CD两点记ABD与ABCS1S2，且|S1S2|2，求直线