高中数学北师大版选修2-3课件：第一章+5.2+二项式系数的性质-【公开课教学PPT课件】

5.2二项式系数的性质第一章

§5二项式定理学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21112113311464115101051(a+b)61615201561二项式系数的性质

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一

表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和杨辉三角:11121133114641151010511615201561

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值当n是偶数时，中间的一项取得最大值；先增后减当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。(1)在同一行中，每行两端都是1.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和.即二项式系数满足组合数的性质.(3)与首末两端“

”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即＝

.“杨辉三角”蕴含的规律梳理等距离特别提醒：1.二项式系数性质类似于组合数的两个性质2.从二项式系数表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即

＝2n.

题型探究解答类型一与杨辉三角有关的问题例1

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S21的值.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路反思与感悟跟踪训练1

如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.答案解析34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.解答类型二求展开式的系数和例2

设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值.(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；解令x＝0，则展开式为a0＝2100.(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；解答(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解答∴a2k－1<0(k∈N＋).二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，反思与感悟跟踪训练2

在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.解答解各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)所有奇数项系数之和.解答解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，解答类型三二项式系数性质的应用例3

已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为(2)求展开式中系数最大的项.解答∵r∈N，∴r＝4，(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项.反思与感悟当r＝4时，展开式中的系数最大，即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；当r＝3或5时，展开式中的系数最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项.跟踪训练3

已知(x2－)n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求(x2－)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项.解2n－27＝128，n＝8，解答当堂训练234511.(1＋2x)10的展开式中各项系数的和为A.310

B.210

C.－1 D.1解析解析设f(x)＝(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1得各项系数的和为a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310.√答案234512.在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于A.8 B.9C.10 D.11√答案解析解析由题意知(1＋x)n的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系数，因为只有x5的系数最大，所以n＝10.234513.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是A.8 B.6C.4 D.2

答案解析解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.√解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①又Tr＋1＝(2x)4－r(－1)r3r，∴当r＝0时，x4的系数a4＝16. ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.234514.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为____.解析答案－15解二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝(－x)3＝－56x3，T6＝(－x)5＝－56x5.5.已知(1－x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；解答解因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5＝(－