第7讲乘法原理

第七讲乘法原理1．奥运吉祥物中的五个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左到右放五个不同的“福娃”，那么有种不同的放法。答案：120；解：放第一个福娃，有5种方法，放第二个福娃，有4种方法，…，放最后一个福娃，有1种方法，根据乘法原理，一共有5×4×3×2×1=120（种）方法。2．豆豆用数字卡片做游戏，剩下许多写有4、7和8的卡片，而其余的数字卡片都用完了。她用这些剩下的卡片可以组成个不同的三位数。答案：27；解：在百位上可以取4、7或8，有3种方法，同样在十位和个位上也都有3种方法，根据乘法原理，一共有3×3×3=27（个）不同的三位数。3．康康到麦当劳买套餐，一份套餐包含了一个汉堡、一份小吃和一杯饮料。服务员告诉他店里有8种汉堡、4种小吃和5种饮料可供选择，那么康康一共可以搭配出种套餐。答案：160；解：根据乘法原理，可以搭配出8×4×5=160（种）套餐。4．用4种颜色的水彩笔给“MATH”四个字母涂颜色，要求不同的字母用不同颜色的笔去涂，共有种不同的颜色搭配方法。答案：24；解：先给M涂色，有4种方法，再考虑A有3种方法，接着给T涂色只有2种方法，最后给H涂色，只有1种方法，所以根据乘法原理，一共有4×3×2×1=24（种）方法。5．有红黄蓝三种颜色的上衣和裤子，同学们任意选择一种颜色的上衣和裤子穿。问：①上衣和裤子的搭配方式有种。②至少要名学生，才能保证有两人穿的上衣和裤子的颜色都相同。答案：①9；②10；解：先选上衣，有3种选法，再选裤子，也有3种方法，根据乘法原理，一共有3×3=9（种）不同的搭配方式。根据抽屉原则，至少要10名学生，才能保证有两人穿的上衣和裤子的颜色都相同。6．在下图中的每个方格中个放一枚围棋子（黑子或白子），有种放法。答案：16；解：每个格子有两种放棋子的方法（非白即黑），根据乘法原理，一共有2×2×2×2=16（种）方法。7．一幅扑克牌有4种花色的牌，共52张，每种花色都有写上1、2、3、…、13的牌，如果在5张牌中，同一数字的4种花色的牌都出现，便称这五张牌为“天王”，不同的“天王”共有种。答案：624；解：先在13个数字中选定一个数字，有13种选法，例如选6，把四种花色的6都取出来。再在剩下的48张牌中任取1张，有48种方法，“天王”一共有13×48=624（种）不同的方法。8．从1、2、3、4、5中选出4个数填入下图的方格中，使得右边的数字比左边大，下面的数比上面的大，那么共有种填法。答案：10；解：从1、2、3、4、5中选出4个数有5种选法，例如选出1、2、3、4，把这四个数中最小的放在四个格子的左上角，把其中最大的放在右下角，剩下的两个数分别在剩余的两个格子中，有2种方法，根据乘法原理，一共有5×2=10（种）不同的填法。9．在一个国家竞赛联盟中有16支曲棍球队，他们被分成两组，每组8个队。在一个赛季中，每支球队要同本组中其他每支球队打一场球，然后同另一组中的所有球队各打一场球。试问在这个赛季中共进行多少场比赛。答案：120解：题目的意思是每支球队都要与其他15支球队比赛1次，而甲与乙比赛与乙与甲比赛是一回事，所以一共有16×15÷2=120（场）比赛。10．如图是一个轴对称图形若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有个。答案：7；解：两个眼睛去掉，也可以不去，这是两种不同的选法，同样对于两只耳朵，也有2种选择的方法，对于身上的两个图案，选法也有2种，最后是嘴，也是有去或不去两种选择，这样一共应该有2×2×2×2=16（种）方法，但注意如果全都选择“不去”，与题目矛盾，所以还要减去1种方法，即合理的答案是16–1=15.11．如图所示，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，那么这幅图一共有种不同的着色方法。答案：96；解：从接触面最多的C开始，从4种颜色中选定一种颜色涂C，有4种方法，再选B，在剩下的三种颜色中选一种颜色涂B，有3种方法，再看A，在剩下的两种颜色中选一种颜色涂A，有2种方法，再选D，这时D不能选C、B的颜色，也有2种方法，最后看E，E与C、D相邻，所以E只有与C、D的颜色不同即可，也有2种方法。根据乘法原理，一共有4×3×2×2×2=96（种）不同的着色方法。12．如图是一个区域地图，可以用红、白、黄、蓝、绿五种颜色给地图着色，要求相邻的区域必须着不同的颜色，那么不同的着色方法有种。答案：420；解：ECBECBACD先涂中间的B处，有5种方法，再涂A处有4种方法，再涂C处有3种方法，现在涂D处，此时又有两种可能，①是D与C涂一样的颜色，那么E就有3种涂法；②是D与C涂不一样的颜色，那么D有2种涂法，对每一种D的涂色，E也有2种涂法，综上所述，一共有5×4×3×(3+2×2)=420（种）不同的涂色方法。13．如图所示，学而思星球是一个正二十面体，其中每个顶点都是一座城市，现北极城N有一只小松鼠想去南极城S旅游，它只能沿着棱往南走或横向走动，并且每个城市至多只能去一次，那么这只小松鼠有种不同的旅游线路可以选择。答案：810；解：松鼠从北极N开始向南走第一段，有5条路可选；当它到达上层平台后，它有顺时针和逆时针走到其他四个城市的选法，加上它在这一层不横向走动，应该有9种选择的可能；从上层走到下层，有2条路可选；同理，在下层他也有9中选择方法；最后走到南极S，所以一共有5×9×2×9=810（种）旅游路线。14．编号为1到10的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌摆放，5对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妻不能相邻或对面而坐，有种入座的分配方式。答案：480；解：设五对夫妇分别是Aa、Bb、Cc、Dd、Ee。先请5位妻子就座（不妨设她们坐奇数位，若坐偶数位情况相同），这样有5！=120种方法，不妨设a坐1号，b坐3号，c坐5号，d坐7号，e坐9号，然后安排A就座，A不能坐2号、10号和6号，只能在4号、8号选，有2种选法，不妨设此时A选了4号座。再请D入座，D不能选6号、8号和2号，所以D只能坐10号，再请B入座，B不能坐2号、4号和8号，所以B只能坐6号，再请C、E入座，C不能坐4号、6号和10号，所以C只能坐8号，E坐2号，（因为E不能坐8号）这样有120×2=240（种）坐法，再加上她们坐偶数位的240种，一共有480种就座方法。15．电子钟指示时间由00：00：00到23：59：59，在00：00：00到12：00：00的范围内（同一天的）共有个时间出现3个数码7。答案：36；解：如果在表盘上显示的数码为ab：cd：mn，那么a≠7，c≠7，m≠7，因为a≤2，c≤5，m≤5，若b=d=n=7，则a=0，c=0、1、2、3、4、5，m=0、1、2、3、4、5，一共有6×6=36（个）时刻。16．我们做三位数的“接尾写数游戏”如下所示：335→502→299→901→A→B→222.那么可填入A处和B处的三位数的组合有种。答案：900；解：按题意不妨设A是1cd，B=de2，其中d≠0，而c有10种选数的方法，d有9种选数的方法，e有10种选数的方法，所以一共有10×9×10=900（种）不同的组合。17．用4种不同的颜色来涂正四面体（如图所示，每个面都是完全相同的正三角形）的四个面，使不同的面涂有不一定颜色，共有种不同的涂法。（将正四面体任意旋转后仍然不同的的涂法，才被认为是不同的）答案：2；解：这是一道染色问题，关键就是要发现正四面体共有多少种放法。不旋转时共有4！=24种染色的方法。而一共正四面体有4×3=12（种）放置的方法（四个面选一个做底面，再从其它三个面中选一个作正面）。所以每种染色方法被计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2（种）。18．如图所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从A处走到B处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线端上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，那么小兔可以选择的不同路线有种。答案：6；解：从内圈走到中间一圈，有2种方法，再从中间走到外圈有3种方法，所以一共有2×3=6（种