讲义信号与系统4章

郑君里《信号与系统》第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析主讲教师：马红玉国内外经典教材名师讲堂

§4.1引言

以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；

另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。

为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章内容及学习方法

本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。

§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域

主要内容：

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

拉氏变换的收敛域

一些常用函数的拉氏变换

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换3．拉氏变换对二、拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三、一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号4．tnu(t)§4.3拉普拉斯变换的基本性质

主要性质

线性函数微分

原函数积分 延时（时域平移）

s域平移 尺度变换

初值 终值

卷积 对s域微分

对s域积分

一、线性已知则同理例题：二、原函数微分推广：证明：电感元件的s域模型应用原函数微分性质设三、原函数的积分证明：①②①②电容元件的s域模型四、延时（时域平移）证明：解：已知例题4-3-2例题4-3-1解：用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换五、s域平移证明：例4-3-3六、尺度变换时移和尺度变换都有时:证明：七、初值初值定理证明由原函数微分定理可知例4-3-4

即单位阶跃信号的初始值为1。例4-3-4解：解：终值存在的条件:八、终值例如终值定理证明：根据初值定理证明时得到的公式九、卷积时域卷积定理频域卷积定理证明：交换积分次序十、对s微分十一、对s积分§4.4拉普拉斯逆变换

主要内容：由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况一、由象函数求原函数的三种方法(1)部分分式法(2)利用留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机二、F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点三、部分分式展开法拉氏逆变换的过程

部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在

第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式例：求系数如何求系数k1,k2,k3``````？(3)逆变换第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

求f(t)例题解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法3.第三种情况：有重根存在如何求k2?如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为0

求逆变换

一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式四、F(s)两种特殊情况（1）由非真分式化为真分式＋多项式1.非真分式——真分式＋多项式作长除法2.含e-s的非有理式五、用留数定理求逆变换（围线积分法）拉普拉斯逆变换表达式0σ1σjω∞应用留数定理设极点S=pi处的留数为ri，并设F(S)est在围线内共有n个极点，则若pi为一阶极点，则若pi为k阶极点，则

留数定理：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲线L的积分等于2πj乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型

主要内容：用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路一、用拉氏变换法分析电路的步骤1）列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。2）求解s域方程3），得到时域解答二、微分方程的拉氏变换

我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。三、利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型·电阻元件的s域模型电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

电容元件的s域模型电流源形式：线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。2.电路定理的推广例4-5-2，例4-14请自学例4-5-1解：（4）求反变换求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统采用0+系统(4)原方程取拉氏变换例4-5-2列s域方程:解：结果同例4-5-11.定义§4.6系统函数(网络函数)H(s)

系统函数系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口4.应用：求系统的响应3．求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→例4-6-1(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换所以解：(2)因为所以所以例4-6-2已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。E1(S)解：§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性

主要内容：

1）序言

2）H(s)零、极点与h(t)波形特征

3）H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应

一、序言

冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：1．可以预言系统的时域特性；2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。二、H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：

极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点例4-7-1极点：零点：画出零极点图：2．H(s)极点分布与原函数的对应关系一阶极点二阶极点几种典型情况

有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随，表明的极点位于s左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。若H(s)极点落在s左半平面，则h(t)波形为衰减形式；若H(s)极点落在s右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。三、H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应激励：系统函数：响应：X自由响应分量＋强制响应分量几点认识:

自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。因此H(s)只能研究系统的零状态响应。暂态响应和稳态响应

瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例4-7-2给定系统微分方程

试完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换零输入响应／零状态响应则稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性

主要内容：

1）定义

2）几种常见的滤波器

3）根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线

一、定义

所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。前提：稳定的因果系统。

有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。H(s)和频响特性的关系其变换式则系统响应p1、p2、pn是H(S)的极点K1、K2、Kn是部分分式的系数可以求得上式的逆变换为系统的完全响应系统的稳态响应频响特性——幅频特性——相频特性（相移特性）二、几种常见的滤波器三、根据H(s)零极点图绘制系统的频响特性曲线（S平面几何分析）令分子中每一项分母中每一项画零极点图

当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定频率响应特性例4-8-1确定图示系统的频响特性。

解：频响特性分析例4-8-2：研究下图所示RC低通滤波网络

的频响特性。

写出网络转移函数表达式

解:频响特性

§4.10全通函数与最小相移函数的零、极点分布

主要内容：

1）全通网络

2）最小相移网络

3）级联

一、全通网络

所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。零、极点分布极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像频率特性幅频特性——常数相频特性——不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即二、最小相移网络零点仅位于左半平面或jw的网络称为“最小相移网络”。若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。三、级联非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最小相移网络最小相移网络全通网络§4.11线性系统的稳定性

主要内容：

1）由H(s)的极点位置判断系统稳定性

2）定义（BIBO）

3）证明

稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应h(t)和H(s)系统函数,从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。一、由H(s)的极点位置判断系统稳定性1．稳定系统

若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统是稳定的。例如系统稳定；系统稳定。2．不稳定系统

如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点系统是不稳定系统。3．临界稳定系统如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。为阶跃或等幅振荡。二、定义（BIBO）

若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称此系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足

则称该系统是稳定的。式中，Me，Mr为有界正值稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：三、证明

充分性对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：充分性得证必要性得证。必要性：四、因果系统稳定性的判据例4-11-1如图所示反馈系统，子系统的系统函数

讨论当k从0增长时，系统稳定性的变化？加法器输出端的信号输出信号解：则反馈系统的系统函数为§4.12双边拉氏变换

主要内容：

1）定义

2）双边拉氏变换的收敛域

一、定义优点：收敛域：二、双边拉氏变换的收敛域全时域信号s<ba<收敛带所