2021年黑龙江省哈尔滨市第八十四中学高二数学文下学期期末试题含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市第八十四中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将标号为的10个球放入标号为的10个盒子里，恰好3个球的标号与所在盒子的标号不一致的放法种数为A、120

B、240

C、360

D、720参考答案：B2.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值（）A.-1

B.1

C.3

D.9参考答案：C3.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是

（

）x45678910y15171921232527 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型参考答案：A略4.已知函数，则（

）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B【分析】利用分段函数的解析式，可得，即可求解.【详解】由题意，函数，则，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.三个数390，455，546的最大公约数是(

)A．65

B．91

C．26

D．13

参考答案：D略6.二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.x>1是x>2的什么条件：（

）A.充分不必要;

B.必要不充分;

C.充分必要;

D.既不充分也不必要.参考答案：B8.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．参考答案：B【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．9.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.命题p：?x∈[0，1]，ex≥1，命题q：?x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是（）A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别判断命题p、q的真假，只要命题p或命题q有一个命题是真命题，则p∨q为真【解答】解：命题p：?x∈[0，1]，由指数函数y=ex的图象可得ex≥1，正确，命题q：?x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故正确．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设命题为：面积相等的三角形都是全等三角形，则为：

。参考答案：面积相等的三角形不都是全等三角形略12.如图2，在正三棱柱中，已知是棱的中点，且，则直线与所成的角的余弦值为．参考答案：略13.若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，则a+b的值等于

．参考答案：﹣3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．【解答】解：∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2，故a+b=﹣3，故答案为：﹣314.将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，则二面

角的余弦值为

参考答案：略15.12．观察下列等式:

,

,

,

,由以上等式推测:对于,若则参考答案：

10．13

11．

12．16.已知等比数列{an}满足a2a5=2a3，且成等差数列，则a1?a2?…?an的值为．参考答案：2【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】等比数列{an}的公比设为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比q，可得等比数列的通项公式，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：等比数列{an}的公比设为q，a2a5=2a3，且成等差数列，可得a12q5=2a1q2，化为a1q3=2，即a4=2，又a4+2a7=，解得a7=，即有q3==，可得q=，则an=a4qn﹣4=2?（）n﹣4=25﹣n，则a1?a2?…?an=24?23…25﹣n=24+3+…+5﹣n=2．故答案为：2．17.已知圆与圆相交，则实数的取值范围为_▲_．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1).(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y＝f(x)－t有零点，求t的最小值；(3)若x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围.参考答案：(1)f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna1分由于0<a<1或a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna与ax－1同号，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分(2)当a>0，a≠1时，易知f′(0)＝0，设g(x)＝2x＋(ax－1)lnag′(x)＝2＋ax(lna)2>0则f′(x)在R上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x＝05分且x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增故fmin(x)＝f(0)＝1，即使函数y＝f(x)－t有零点的t的最小值是1.7分(3)因为x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，所以当x∈[－1,1]时，|(f(x))max－(f(x))min|＝(f(x))max－(f(x))min≥e－18分由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x∈[－1,1]时，(f(x))min＝f(0)＝1，(f(x))max＝，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e－1a－lna≥e－1a≥e，19.已知斜率为1的直线与椭圆交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，椭圆C的上顶点为.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，若直线BM与BN的斜率之和为2，证明：过定点.参考答案：（1）（2）见证明【分析】（1）设点P，Q的坐标，代入椭圆C的方程，利用点差法及中点坐标公式可得a，b的关系，可得e；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得M，N的横坐标的和与积，由直线AM与AN的斜率之和为2可得m与k的关系，再由直线系方程得答案．【详解】（1）设点，，由于点为线段的中点所以，又两式作差，所以，即；（2）由（1）结合上顶点，椭圆的方程为，设点，联立得，则韦达定理得，据题意可得代入韦达定理得，化简得，所以直线为，过定点，综上，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了点差法的技巧，是中档题20.（10分）设A，B分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使求t的值及点D的坐标．参考答案：21.（本题满分14分)已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.(1)求四棱锥的体积；

(2)是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；参考答案：解：(1)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且.………………3′..

∴,即四棱锥的体积为….7′

(2)不论点在何位置，都有.

证明如下：连结，∵是正方形，∴.