2021-2022学年浙江省丽水市方川中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年浙江省丽水市方川中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数，则，则a的值为（

）A．2

B．±2

C．0

D．±1参考答案：B2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A、10海里

B、10海里

C、20里

D、20海里参考答案：A试题分析：如下图所示，由题意可知，，，，所以，由正弦定理得，所以，故选A.考点：正弦定理.3.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思想与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于（

）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A4.三棱椎A—BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A—BCD的表面积（

）

A．

B．4+

C．

D．4+参考答案：A5.渐近线方程为的双曲线的离心率是（

）A. B. C.2 D.2或参考答案：D【分析】讨论焦点所在的坐标轴，根据渐近线方程求出和，再由关系求离心率即可求解．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，即当焦点在轴上时，设双曲线方程，由所以，．当焦点在轴，设双曲线方程，由解得所以答案为D【点睛】本题考查由渐近线求双曲线的离心率，比较基础．6.已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则的值为（）A．4 B．±4 C．4 D．±4参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及即可得出点P为AC中点，点Q为靠近点B的AB的三等分点，从而可求出．然后根据即可求出cosA=，从而便可求出的值．【解答】解：；∴P为AC中点；由得，；∴；∴Q为靠近B的AB的三等分点，如图所示：，；∴==；∴；∴；∴==．故选D．【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式．7.设F2是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（

）A.3 B.2 C. D.参考答案：D【分析】设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．∴．设，则，∴，即．∵，又，在△MF1F2中，由余弦定理可得：，即，∴双曲线的离心率e．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．8.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有A.

58万B.

66万C.

116万D.

132万参考答案：C略9.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是A

B

C

D参考答案：B

设，当时，，是增函数，∴时，，设，∵对任意的，总存在唯一的，使得成立，

∴是的不含极值点的单值区间的子集，∵，∴时，若，，是减函数，若，，是增函数，∵，∴，∴；10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．4 D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx，则f()的值为________．参考答案：012.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．参考答案：21【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为Tr+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．13.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其外接球的体积为__________．参考答案：；

14.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是____________.参考答案：604由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数.在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.15.中,三边之比，则最大角的余弦值等于

▲

.参考答案：略16.已知n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn的最小值为．参考答案：﹣25【考点】67：定积分；8E：数列的求和．【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等号当且仅当n+1=，即n=5时成立，故bnSn的最小值为﹣25．故答案为：﹣2517.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设

(x0),则的最大值为__________（A）4

（B）5

（C）6

（D）7参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣2|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义求解即可．（Ⅱ）去掉绝对值符号，利用数形结合，以及直线系方程，转化求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由不等式的性质可得：|2x+1|+|2x﹣2|≥|2x+1﹣2x+2|=3，所以当且仅当时，函数f（x）的最小值为3．…（Ⅱ）…（7分）又函数y=ax+1恒过定点（0，1），结合函数图象可得：a＜﹣4或a＞2．…（10分）【点评】本题考查函数的最值的求法，数形结合的应用，直线系方程的应用，绝对值不等式的几何意义，考查计算能力．19.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线l过定点.参考答案：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（），则（4－）+（0－）=，整理得。所以，所求动圆圆心的轨迹的方程为（Ⅱ）证明：设直线的方程为，联立得（其中）0），设，，若轴是的角平分线，则0，即，故直线l的方程为，直线过定点（1，0）20.

如图，在四棱锥中，底面，，，，，（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的余弦值；

参考答案：(1)、因为底面，所以又有，所以三条直线两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

………………..2分在图2中，，，又，所以所以，，，，又，，所以

……………

4分∴，设平面的一个法向量，∴令，则

所以

…

6分设直线与平面所成的角为，∴所以直线与平面所成的角为600

…………….

8分

(2)设平面的一个法向量∴，令，则，得…….

10分∴,

…………….

12分由图观察可知二面角为钝角，所以二面角的大小余弦值为….

13分21.（本题满分15分）如图，已知直线与抛物线和圆都相切，是的焦点.（1）求与的值；（2）设是上的一动点，以为切点作抛物线的切线，直线交轴于点，以为邻边作平行四边形，证明：点在一条定直线上；参考答案：（1）由已知，圆的圆心（0，-1），圆心到直线的距离,解得（舍去），

………………3分设与抛物线的相切点为，得，代入直线方程得：，所以，

………………6分（2）由（1）知抛物线方程为，焦点，设，由（1）知以为切线的方程为，………………8分令，得切线交轴的点坐标为（0，），所以

………………10分四边形是以为邻边作平行四边形，

………………13分因为是定点，所以点在定直线上。

………………15分22.设函数f（x）=2cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求ω的值；（2）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A﹣）=1，且a=b，求sinB的值．参考答案：考点：余弦函数的图象；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利