2021-2022学年山西省忻州市五台县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山西省忻州市五台县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的主视图与俯视图如图，主视图与左视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为

．参考答案：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1，所以原几何体的体积为。2.已知α为第二象限的角，且=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为（）A．（+1）π B．（+2）π C．（+3）π D．（+4）π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，即可得出该几何体的表面积．【解答】解：由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，∴该几何体的表面积S=π×12+2π×1×1+×2=（3+）π．故选：C．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.设集合S={A0，A1，A2，A3，A4}，在S上定义运算为：，其中，那么满足条件的有序数对（i，j）共的（

）A．8对

B．10对

C．12对

D．14对

参考答案：C5.已知全集U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，e}，B={b，d，f}，则（?UA）∪B为（）A．{a，e} B．{c} C．{d，f} D．{b，c，d，f}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，e}，B={b，d，f}，所以?UA={c，d，f}；所以（?UA）∪B={b，c，d，f}．故选：D．6.设双曲线的实轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：D∵易知，，∴，∴渐近线方程为，选择．7.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A．14

B．16

C．20

D．48参考答案：解析:由间接法得，故选B.8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4+a25=5，则一定有（）A．a6是常数 B．S7是常数 C．a13是常数 D．S13是常数参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．9.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得a的不等式组，解出可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）﹣3（﹣x）=﹣（2sinx﹣3x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f'（x）=2cosx﹣3＜0，∴f（x）单调递减，f（ma﹣3）+f（a2）＞0可化为f（ma﹣3）＞﹣f（a2）=f（﹣a2），由f（x）递减知ma﹣3＜﹣a2，即ma+a2﹣3＜0，∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，ma+a2﹣3＜0恒成立，则，解得﹣1＜a＜1，故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数、满足方程，当（）时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为__________________.参考答案：略12.等比数列中，，公比，若，则的值为

参考答案：1613.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是

。

参考答案：14.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：略15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．参考答案：[﹣1，1]【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；平面向量及应用．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．16.已知函数，则____________参考答案：317.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的侧面积为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.

（1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；

（2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围。参考答案：

解析：（1）∵点A在圆，

由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，

（2）∵函数∴

点F1（－1，0），F2（1，0），

①若，

∴

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）

由…………（*）

方程（*）有两个不同的实根.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根

由①②知

19.（本题满分12分）设三角形ABC的内角所对的边长分别为,,且.(Ⅰ)求角的大小;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ，且边上的中线的长为,求的面积.参考答案：(Ⅰ)A＝；（Ⅱ）.１）由得

1分所以

2分则2sinBcosA=sinB

4分所以cosA=于是Ａ＝

6分（2）由（1）知Ａ＝，又ＡＣ＝ＢＣ，所以C=

7分设ＡＣ＝x,则ＭＣ＝，ＡＭ＝，在中，由余弦定理得

9分即解得x=2

11分故

13分20.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若，.（1）求通项an；（2）设是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.参考答案：（1）；（2），【分析】（1）设公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式，可得，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.（2）由题意知，结合分组求和法，可求出.【详解】（1）解：设公差为，由题意可得，解得.所以.（2）由题意，故.由（1）知，，因此.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，考查了等比数列的前项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知.对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数（1）若，解不等式；（2）若函数有最小值，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）时，.原不等式的解集为 ………5分（Ⅱ）函数有最小值的充要条件为即

………10分22.已知函数f（x）=lnx﹣ax++1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）的单调性．（Ⅱ）先求导，比较1与的大小关系，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）（x＞0），令g（x）=﹣[ax﹣（1﹣a）]（x﹣1）当a=0时，g（x）=x﹣1，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0?f'（x）＞0?f（x）单调递增，a＜0时，由x＞0，得ax﹣（1﹣a）＜0，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞0?f'（x）＞0?f（x）单调递增，当a＞0时，，若，则当0＜a＜，x∈（1，），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当a=，f（x）在（0，+∞）上无递增区间，当＜a≤1时，x∈（，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（1，+∞）；当0＜a＜时，单调递增区间为（1，）；当a=时，无单调递增区间；＜a≤1时，单调递增区间为（，1）；当a＞1时，单调递增区间为（0，1）．（2）由题知函数∴．①当时，＞0，于是x∈（0，1）和时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；又因为，要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要f