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文档简介

一元二次方程根与系数的关系探索与实践（3）2023/6/91.设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则求X12+X22的值

2已知方程5x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。

思考：以上两题还有没有其他办法呢？课前热身2023/6/9观察猜想0,2

2

0

2,3

5

6

1,-4

-3

-4方程X2-2x=0X2-5x+6=0x2+3x-4=0两个根x1，x2的值两根之和x1+x2两根之积x1x22023/6/9猜想2023/6/9

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2

，那么推理论证

Δ≥02023/6/9设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，X2=X2=∴x1+x2=+==x1•x2=•===则x1=2023/6/9归纳一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）推论12023/6/9一元二次方程的

根与系数的关系

16世纪法国最杰出数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。

2023/6/9加深理解：下列方程的两根和与两根积各是多少？

⑴、X2－3X+1=0⑵、3X2－2X=2⑶、2X2+3X=-2在使用根与系数的关系时，应注意：⑴、不是一般式的要先化成一般式；⑵、在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写。（3）前提是方程有实数根即Δ≥02023/6/9、典型例题例题1：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2

（2）x13x2＋x1x23

（3）2023/6/9（1）已知方程一根，求另一根。

例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。

方法（一）

∵

2是方程的根，∴

∴

原方程可化为解得：

一元二次方程根与系数关系的应用2023/6/9｛例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。

｛2023/6/9一元二次方程根与系数关系的应用

（2）验根。

（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；

④2023/6/9（3）求值(或取值范围）已知斜边为5的直角三角形的两直角边a,b的长是关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，求m的值.2023/6/9能力提升：已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。2023/6/9课堂总结一、一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。二、在实数范围

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