2023年山东省济南市南山区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年山东省济南市南山区中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．±32．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（）A． B． C． D．3．长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为（）A．63×102 B．6.3×102 C．6.3×103 D．6.3×1044．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（）A．114° B．142° C．147° D．156°6．下列计算正确的是（）A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．4a•2a＝8a2 C．2a﹣a＝2 D．a8÷a2＝a47．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．510．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜﹣或a≥1．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）.11．分解因式：4﹣x2＝．12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的6个红球，3个黑球，要使从中随机摸取1个球是黑球的概率为，则要往袋中添加黑球个．13．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝．14．已知AD为⊙O的直径，ABCD为平行四边形，BC与⊙O交于点B、E，若AO＝AB＝2，则图中阴影部分的面积为．15．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．16．如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为．三、解答题（共10小题，共86分）.17．计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．18．解不等式组，并写出该不等式组的整数解．19．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．求证：BE＝DF．20．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？21．图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知AC，BD互相平分于点O，AC＝BD＝24cm，若∠AOB＝60°，∠DCE＝28°．（1）求CD的长．（2）求点D到底架CE的高DF．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）22．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PBD；（2）若BC＝2，BD＝3，求⊙O的直径AB的长．23．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，B种纪念品每件进价是A种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件．（1）求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元？（2）若该商店A种纪念品每件售价25元，B种纪念品每件售价37元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且A种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？24．如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求DC的长；（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC，CD，CF之间的数量关系为：．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2，CD＝1，请求出GE的长．26．已知对称轴为直线x＝的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点，抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP，BC交于点D，连接BP，求的最大值；（3）如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ＝，求点Q的坐标．

参考答案一．选择题1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．±3【分析】根据绝对值的概念可得﹣3的绝对值就是数轴上表示﹣3的点与原点的距离．进而得到答案．解：﹣3的绝对值是3，故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握概念：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（）A． B． C． D．【分析】根据主视图的意义和画法进行判断即可．解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形．故选：B．【点评】本题考查简单组合体的三视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为（）A．63×102 B．6.3×102 C．6.3×103 D．6.3×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：6300＝6.3×103，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．5．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（）A．114° B．142° C．147° D．156°【分析】根据互余得出∠EAC，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，∵a∥b，∴∠EAC＝∠ABD＝66°，∵∠ABD的平分线交直线a于点C，∴∠CBD＝，∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质；熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．6．下列计算正确的是（）A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．4a•2a＝8a2 C．2a﹣a＝2 D．a8÷a2＝a4【分析】根据完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，合并同类项的运算法则，同底数幂的除法的运算法则求出每个式子的值，再判断即可．解：A、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；B、4a•2a＝8a2，原计算正确，故此选项符合题意；C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a8÷a2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了单项式乘单项式法则，同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．7．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可．解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，故选：C．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P．解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），故选：C．【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．5【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面积为10，∴＝10，解得AD＝5．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题是解答本题的关键．10．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a＜；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜﹣或a≥1．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝﹣，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝﹣，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5≤y≤﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，分别是﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，∴﹣9＜﹣3a﹣5≤﹣8∴1≤a＜，若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y≤﹣3a﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，分别是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，∴﹣2≤﹣3a﹣5＜﹣1∴﹣＜a≤﹣1，故②正确；若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴Δ＞0，当x＝5时，25a﹣20a﹣5≥0，∴，∴a≥1，若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴Δ＞0，当x＝5时，25a﹣20a﹣5≤0，∴，∴a＜﹣，综上所述：当a＜﹣或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．二、填空题11．分解因式：4﹣x2＝（2﹣x）（2+x）．【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．解：4﹣x2＝（2﹣x）（2+x），故答案为：（2﹣x）（2+x）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的6个红球，3个黑球，要使从中随机摸取1个球是黑球的概率为，则要往袋中添加黑球3个．【分析】设往袋中添加x个黑球，利用概率公式得到：＝，然后求解即可．解：设往袋中添加x个黑球，根据题意得：＝，解得：x＝3，经检验x＝3是方程的解，故答案为：3．【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解摸到黑球的概率所表示的意义，难度不大．13．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝75°．【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝135°，∠DCE＝120°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出∠BEC．解：由多边形的内角和可得，∠ABE＝＝135°，∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，∵∠DCE＝＝120°，∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，由三角形的内角和得：∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．14．已知AD为⊙O的直径，ABCD为平行四边形，BC与⊙O交于点B、E，若AO＝AB＝2，则图中阴影部分的面积为3．【分析】连接BD，DE，过B作BQ⊥AD于Q，根据圆周角定理求出∠ABD＝90°，求出∠A＝60°，根据平行四边形的性质求出DC＝AB＝2，求出△DEC是等边三角形，再求出答案即可．解：连接BD，DE，过B作BQ⊥AD于Q，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AO＝OD＝AB＝2，∴AB＝AD，∴∠ADB＝30°，∴∠A＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝60°，∵A、B、E、D四点共圆，∴∠DEC＝∠A＝60°＝∠C∴DE＝DC，∴△DEC是等边三角形，∴DE＝DC＝EC＝AB＝2，∵AB＝2，∠BQA＝90°，∠A＝60°，∴∠ABQ＝30°，∴AQ＝AB＝，BQ＝＝＝3，∵AD∥BC，∴点D到BC的距离是3，∴阴影部分的面积S＝S△DEC＝2×3＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，平行四边形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．15．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元．【分析】根据函数图象中的数据可以求得x＞120时，l2对应的函数解析式，从而可以求得x＝150时对应的函数值，由l1的图象可以求得x＝150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，，得，即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案为：210．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．16．如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为（﹣22022，0）．【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次点A的位置重复出现，由此可知第2022次旋转后，点A2022与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，再由OAn＝2n，即可求解．解：∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵每次旋转角度为60°，∴6次旋转360°，∵2022÷6＝337，∴第2022次旋转后，点A2022与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，∵第一次旋转后，OA1＝2，第二次旋转后，OA2＝22，第三次旋转后，OA3＝23，……∴第2022次旋转后，OA2022＝22022，∴点A2022的坐标为（﹣22022，0）．故答案为：（﹣22022，0）．【点评】本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．三、解答题：17．计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝5﹣1+2×+3＝5﹣1+1+3＝8．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．解不等式组，并写出该不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．解：，解不等式①得，x＞﹣2；解不等式②得x＜1，∴不等式组的解集是：﹣2＜x＜1，∴不等式组的整数解是：﹣1，0．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．求证：BE＝DF．【分析】先由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，再证△ABE≌△CDF（ASA），然后由全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．20．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是1部，中位数是2部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为54度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；（2）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；（3）根据（1）中读1部的人数，可以将条形统计图补充完整；（4）利用样本估计总体即可．解：（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40（人），读1部的学生有：40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14（人），故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（2+2）÷2＝2（部），故答案为：1，2；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×＝54°，故答案为：54；（3）由（1）知，读1部的学生有14人，补全的条形统计图如图所示；（4）1560×＝78（人），答：估计该校没有读过四大名著的学生有78人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．21．图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知AC，BD互相平分于点O，AC＝BD＝24cm，若∠AOB＝60°，∠DCE＝28°．（1）求CD的长．（2）求点D到底架CE的高DF．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】（1）根据题意得出OA＝OB＝OC＝OD＝12cm，由∠COD＝∠AOB＝60°，证明△AOB与△COD均是正三角形，即可得出答案；（2）在Rt△CDF中，利用正弦定义求解即可．解：（1）∵AC＝BD＝24cm，AC，BD互相平分于点O，∴OA＝OB＝OC＝OD＝12cm，∵∠COD＝∠AOB＝60°，∴△AOB与△COD均是正三角形，∴CD＝12cm；（2）在Rt△CDF中，，即DF＝CD⋅sin∠DCF＝12×sin28°≈12×0.47＝5.64≈5.6（cm），答：点D到底架CE的高为5.6cm．【点评】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．22．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PBD；（2）若BC＝2，BD＝3，求⊙O的直径AB的长．【分析】（1）连接OC．如图，利用切线的性质得到∠OCP＝90°，则可判断OC∥BD，所以∠BCO＝∠CBD，然后证明∠PBC＝∠CBD即可；（2）连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠ABC＝∠CBD，然后利用相似比可计算出AB的长．【解答】（1）证明：连接OC．如图，∵PC与⊙O相切，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵BD⊥PD，∴∠BDP＝90°．∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD，∴BC平分∠PBD；（2）解：连接AC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°．∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝AB•BD，即（2）2＝AB×3，∴AB＝4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理可相似三角形的判定与性质．23．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，B种纪念品每件进价是A种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件．（1）求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元？（2）若该商店A种纪念品每件售价25元，B种纪念品每件售价37元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且A种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元，B纪念品的进价为1.5元，根据600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件得出方程求出答案；（2）设总利润为W元，根据利润＝每件利润×数量建立W与a之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．解：（1）设A种纪念品的进价为x元，则B纪念品的进价为1.5x元，由题意，得＝+10，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的根，故1.5x＝30，答：A、B两种纪念品的进价分别为20元，30元；（2）设购进A种纪念品a件，总利润为W元，由题意，得W＝（25﹣20）a+（37﹣30）（40﹣a），＝﹣2a+280．∴k＝﹣2＜0，∴W随a的增大而减小，∴当a＝30时，W最大＝220元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求DC的长；（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过点，即可得到结论；（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，得到B（﹣1，2），求得AM＝BM＝2﹣1，得到∠DAC＝75°﹣45°＝30°，于是得到结论；（3）如图，①当AP⊥x轴时，△APE∽△CDA，②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，∴k＝﹣2，∴反比例函数的解析式为：；（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，∴B（﹣1，2），∴AM＝BM＝2﹣1，∴∠BAM＝45°，∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；（3）存在，如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，∴OE＝OC＝，①当AP⊥x轴时，△APE∽△CDA，则：OP1＝AD＝2，∴P1（﹣2，0），②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴则，综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2，CD＝1，请求出GE的长．【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG﹣CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；故答案为：BC⊥CF；②由①得：△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案为：BC＝CF+CD；（2）BC⊥CF成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴BC⊥CF，∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC；（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，∴BC＝AB