高二数学必修5知识点总结

高二数学必修5知识点总结第-章：解三角形磷单高中生-、知识点总结正弦定理：1.正弦定理：土二二土二2R（R为三角形外接圆的半径）.sinZsinnsin（步骤1:证明：在锐角Z\ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c°作CH1AB垂足为点HCH=a-sinBCH=bsinA(\asinB=b-sinA如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆0,作直径BD交。于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是百角，所以ZDAB=90°因为同弧所对的圆周角相等，所以ZD等于/C[简单高中生(IDjiandanlOOcnO)]所以sin/)=—=sinC故丄二丄二丄颈sin?lsin8sinC2.正弦定理的•些变式：(i)Q』:c二sin/l:sinB:sinC；(//jsin/1=—,sin^-—,sinC=—；2R2R2R(Hi)a=2RsinA,b=2RsinB,b=2RsinC；(iv)；；——；=2R3.两类正弦定理解三角形的问题：己知两角和任意一边，求其他的两边及一角.己知两边和其中一边的对角，求其他边角•(可能有一解，两解，无解)4•在中，已知a,b及A吋，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，己知a,b和角A,则由余弦定理得即可得出关于c的方程：c1-IbcGSAc-vb2-a2=0分析该方程的解的情况即三角形解的情况[简单高中生(ID:jiandanlOOcnO)]△=(),则三角形有一解△>()则三角形有两解△<()则三角形无解余弦定理:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-laccosBc2=b2+a2-TbacosC2bca~+c2-b2cosn=lacb2+a2-c2cost=lab设a、b、是AABC的角A、B、C的对边，则:①若a2+b2=c\则C=90。；

②若a2+b2>c2t则C<90a；③若a2+b2<c2,则C>90°.3.两类余弦定理解三角形的问题：(1)已知三边求三角；(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角一面积公式：已知三角形的三边为a,b,c,l.S=^aha==,((7+Z)+c)(其中尸为三角形内切圆半径)2.设p=+b+c)}S=Jp(p一a)(p_b)(p_c)(海伦公式)例：己知三角形的三边为。b、c,设p=^(a+b+c),求证:(1)三角形的面积S二p(p-a)(p-b)(p-c):由同角三角函数之间的关系，W=—代入S=—absmC,得S==：J(2ab)F+b*)22V2ab4=-^-^(26?^+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)记p=—(a+b+c),贝［J可得至U—(b+c-a)=p-a,—(c+a-b)=p-b,222-^(a+b-c)=p-c代入可证得公式三角形的面积S与三角形内切圆半径尸之间有关系式S==其中p二、+b+c),所以尸蒙2PNP注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：S=-ar+-br-^-cr=pr根据三角形面积公式S=\xaxha所以，九二；=JP(P_a)(P_a)<P_a)，即气=、Jp(p-a)(p-a)(p-a)2I2/同理九=三如3-。)3-/)3-。)，虬=—』p(p—u)(p—a)(p—a)【三角形中的常见结论】A+B^C=;rsin(/4+5)=sinC,cos(^+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,.A+BCA+B.C4sin=cos—,cos=sin—；sin2^4=2sm•cosA,2222若A>B>C=>a>b>c=>sinA>s\nB>sinCsin/I>sinB>sinC=>a>b>cA>B>C(大边对大角，小边对小角)三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三角形中最大角大于等于60°,最小角小于等于60。锐角三角形。三内角都是锐角。三内角的余弦值为正值―任两角和都是钝角=任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形u>最大角是钝角o最大角的余弦值为负值中，A,B,C成等差数列的充要条件是8=60°

(8)MBC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列一二、题型汇总：题型1：判定三角形形状判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。(注意：刀是锐角＞^Z\ABC是锐角三角形)(3)若sin2A—sin2B,贝!|A=B+B—例L在MBC中，c=2力cos/,^(a+b+c)(a+b-c)=3ab,试判断A4BC形题型2：解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在曲3C中，a=l,b=4i,4=30°,求二的值例3•在MfiC中，内角4B,C对边的边长分别是“，加c,己知c=2,C=-.⑴若AABC的面积等于a/J,求a,b(2)若sinC+sin(B-A)=2sin24,求AABC的面积.题型3：证明等式成立证明等式成立的方法：(1)左n右，(2)右=＞左，(3)左右互相推.

例4.已知AABC中，角A,B,C的对边分别为。,b,c,求证：a=bcosC+ccosB题型4：解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140。的方向航行，为了确定船位，船在8点观测灯塔辺的方位角为110。航行半小时到达C点观测灯塔』的方位角是65.则货轮到达C点时，与灯塔4的距离是多少？三、解三角形的应用坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度为和水平宽度/的比叫做坡度,用，•表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即，二tani.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a.

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。方向角：相对于某一正方向的水平角。视角：由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角。第二章：数列⑥简单高中生一、数列的概念数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成们,％，%，…，”，…，简记为数列｛%｝，其中第一项％也成为首项；q是数列的第〃项，也叫做数列的通项。数列可看作是定义域为正整数集N*(或它的子集)的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列。[简单高中生(IDjiandanlOOcnO)]数列的分类：按数列中项的多数分为：有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.通项公式:如果数列*”｝的第"项4与项数〃之间的函数关系可以用一个式子表示成。,=■/■（〃），那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.数列的函数特征：一般地，一个数列｛%｝,如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即那么这个数列叫做递增数列；如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即那么这个数列叫做递减数列；如果数列｛%｝的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式.二、等差数列等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即4袒-气顼（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.等差数列的通项公式：设等差数列｛%｝的首项为％,公差为d,则通项公式为：an二%+（〃一1）d=《”+（〃一/w）刁，（〃、meN+）.等差中项:若」、4力成等差数列，则刀叫做a与人的等差中项，且^=—;若数列恒｝为等差数列，则成等差数列，即%】是％与％2的等差中项，且網=“”摆；反之若数列｛%｝满足％袒=3号±1,则数列｛%｝是等差数列.等差数列的性质:⑴等差数列｛。”｝中，若m+H=p+q(m、〃、p、qeN十),则％+4=%+%，m+n=2p,Mam+an=2ap；(2)若数列｛%｝和｛如｝均为等差数列，则数列0±々｝也为等差数列;等差数列｛?｝的公差为d,则刁＞0。｛《｝为递增数列，刁＜0。0｝为递减数列，d=0o｛%｝为常数列.等差数列的前n项和凯：数列｛%｝的前n项和5"=0+%+。3+・・・+知+白”,(〃脇+)；(2)数列｛《｝的通项与前n项和楫的关系：《二«(3)设等差数列｛an｝的首项为0,公差为d,则前n项等差数列前n和的性质:⑴等差数列｛%｝中，连续m项的和仍组成等差数列，+%+…++°m+2+・・・+。2巾，%利+%“+•••+*，仍为等差数列(即SmrS2m-Sm,S3m-S2m,-^等差数列)；等差数列｛%｝的前n项和是=〃％+业必#=?〃2+［劣—?］〃，当go时，£可看作关于n的二次函数，且不含常数项;（3）若等差数列｛舄共有2n+l（奇数）项，则S奇—S偶=皿（中间项）且*=皿，若等差数列0｝共有2n（偶数）项，则S偶项奇=汨且手=金.'奇％（4）等差数列｛%｝也｝的前n项和为Sn,Tn（n为奇数），则0+%宀"（0+。2”一1）O=2=2=bn4+妇二】咐+皈_l）丁宀（5）在等差数列杞”｝中S=a,Sm=b,则Sn+m=—（a-b）,特别地，当Sn=S.时，5_=0,当S“=m,S^=n时&瑯=—（〃+时（6）若、为等差数列｛为｝的前n项和,则数列｛&｝也为等差数列，等差数列前n项和S”的最值问题：设等差数列｛%｝的首项为％，公差为d,则⑴弓>0且刁<0（即首正递减）时，&有最大值且&的最大值为所有非负数项之和;（2）%<0且d>0（即首负递增）时，S„有最小值且S”的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示由0）。即^=q（q为非零常数），这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据。等比数列的通项公式：设等比数列｛%｝的首项为/,公比为g,则通项公式为：an=axqn'=amqnm>质,〃、meN0

等比中项:⑴若a、48成等比数列,则4叫做q与Z)的等比中项,且A2=ab；⑵若数列｛々“｝为等比数列，则，伸,4*成等比数列，即是％与的等比中项，且a：+m+2；反之若数列｛弓｝满足。；+1="%+2，则数列｛%｝是等比数列。等比数列的性质：⑴若数列"也｝为等比数列，则数列｛』，a，"3,g(k为非零常数)均为等比数列.（2）等比数列｛%｝中,若m+〃=p+q（m、n、p、qwN+）,则％•%=%•%，若m+h=2p,^]am-an=就(3)若数列｛弓｝和也｝均为等比数列,则数列｛诲｝也为等比数列；等比数列*”｝的首项为"公比为0,则0=1—｛（7”｝为常数列.等比数列的前n项和:(1)数列｛%｝的前n项和S”=q+务+务+•,•十%_[(2)数列｛气｝的通项与前n项和規的关系：an设等比数列叵｝的首项为叩公比为戒0工0),则S〃二劣(1—矿)由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，己知a｝,q,n,an,Sn中任意三个，便可建立方程组求出另外两个。6.等比数列的前n项和性质：设等比数列｛%｝中，首项为％,公比为q（q）,则（1）连续m项的和仍组成等比数列，即％+%+",+。巾，％+1+1心2+••,+%也，外如+务“+…+吃，仍为等比数列（即膈-况，膈-陽,…成等差数列）;（2）当g时，腭中丄己・（E"）=宀-二气•宀气，1-ql-q'11-ql-qq-\q-\设———t,则S”=tq"—I.g-1四、递推数列求通项的方法总结递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.两个恒等式：对于任意的数列｛%｝恒有：⑴%二。1+（%-％）+（。3-%）+（。4-％）+…+（%-妇）（2）《,=%x冬x冬xJx...x-^,（4eN、）a、3a〃_j递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知S”（即％+%+•••+%=/'（〃））求气，用作差法：类型二（累加法）：已知：数列｛《｝的首项角，且%-。”=/'侦）,侦叫）,求通项％.给递推公式的-《,=/（〃）,（〃弓虬）中的n依次取1,2,3,……，n-l,可得到下面n-1个式子：务一为二/⑴，％一缶=/⑵，％一％=7.T）利用公式％二¥+（%-/）+（%-％）+（%-%）+•••+（%-。z）可得：an=ai+f（1）+/（2）+/（3）+•••+/（«-!）.类型三（累乘法）：己知：数列｛%｝的首项％,且鱼=/（〃）,（〃£，+）,求通项％."fi给递推公式鱼=中的n一次取1,2,3,……，n-1,可得到下面n-1个式子：色2⑴A=/（2）A=/（3）,..-,^=/（«-l）.%%%%利用公式％=%x%x^x*x...x3_,（4g,,*N,）可得：们％%%%=W⑴X/■⑵"⑶类型四（构造法）:形如%]="%+[、％l=p%+=（软,P,■为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为*的等比数列后，再求4.an+l=pan+q解法：把原递推公式转化为：an+l-/=p（an-/）,其中/=—^―,再利用换元法转化为等比数列求解。ein+l=pan+qn解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以小，得:知卜貝•与+丄引入辅助数列知｝（其中如=癸）,得：bn+y=—bn+丄再应用an+l=pan+g的方法解决。qq

类型五（倒数法）：已知：数列佰”｝的首项如且％I舛,+尸二耕专，则队=土.「4萼•小｝若r=p,则、产如+纟。如h一九=纟，即数列｛如｝是以纟为公差的等差数列.若小p,则bn+x=丄如+釦转换成类型四①），五、数列常用求和方法第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1一等差数列的前〃项和公式_〃（们+4）_*“丄n（n-V）d2.等比数列的前〃项和公式泌10=1)5；=£『=12+22+32+...+/?2二―〃(〃+1)(2〃+1)%=卩+2,+33+...+/=[-«(/?+1)]2第二类：乘公比错项相减（等差X等比）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列0x8“｝或｛手｝的前ri项和,其中｛%｝,｛九｝分别是等差数列和等比数列。例：求数列｛"矿T｝(g为常数)的前〃项和。解：I：若0=0,则s"=oII:若q=l,贝US”=1+2+3+...+〃=：〃(〃+1)III：若时0且拧1,则览=1+20+3/+...+〃矿T①qSn=q+2q2+3qy+...+nqn②①式—②式：(1_q)Sn=l+g+g"+q'+,,,+q"—nq"=>Sn=(l+g+g+g+...+/T—〃q")[简单高中生(ID:jiandanl00cn0)]\-q\-qnnqn(i—g)'I0（q=0）综上所述：S”二<；〃（〃+l）（g=1）[d）-I*第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解（裂项）如:

1.乘积形式，如:（i）4二一1—--—〃（〃+1）n〃+1=-（!--—-1—）22〃+1〃+2、=111、一42〃+22〃+4第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前〃项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到〃个0+4）。例：若函数/'（X）对任意xeR都有/«+/'（I-工）=2.⑴％"（0）+/■（丄）+/■（?）+...+/■（土1）+人1），数列｛%｝是等差数列吗？是证nnn明你的结论；（2）求数列（一［一｝的的前〃项和TnOQ”x%+］

解：⑴％=/（o）+y（丄）+y（2）+...+/（上!）+/⑴（倒序相加）nnnn%=/■⑴+/（—）+/（—）+...+/（-）+/（0）nfitii+o=丄+4=2+旧=..,=innnn则，由条件：对任意xeR都有/(X)+/(l-x)=2o二>2.卩=2+2+2+...+2=2（〃十1）n+1=>an+l=〃+2%=1从而：数列｛%｝是0=2/=1的等差数列。（2）—-anxi"+i（〃+1）（/7+2）n+1〃+2=>7；=丄+丄+丄+...+2x33x44x5（〃+l）x（”+2）T_1111n7=1…二”2334n+\〃+22〃+2故：T-^—2/7+4第五类：分组求和法(等差+等比)例：求数列｛一1一+〃x2n~'｝的前〃项和Sn[简单高中生(ID:jiandanl00cn0)]n+1)解：令丄"x顼S”=01+"1）+（。2+如）+（。3+4）+，•+（%+如），刀=（。1+%+々3+••・+%）+（如+力2+与+•・.+々）n，=（l-!+!T+!+-+!-$）+（1+2x2+3x22+...+〃x2”t）=>Sn=(1——^)+(1+2x2+3x22+...+”2"T)72+1令T”=1+2x2+3x22+...+〃x2”「i①2T„=2+2x22+3x23+...+〃x2”②①式一②式：(1一2)7；=l+2+2?+23+...+2心一〃x2”n7“=-(l+2+22+23+...+2n_1-mx2m)12m=>7；=(〃-1)x2”十1故：S”=(1-—1—)+(/?-!)x2w+1=2-—+(〃-1)x2”〃+1w+1第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例：求数列9,99,999,...的前n项和&分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式%=10〃_1可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：an=10H—1则：Sn=9+99+99+...=>Sn=(10*-l)+(102_1)+(1.3-1)+...+(10”-1)=>Sn=(1(?+1()2+10,+...+10”)—(1+1+1+...+1)10—10"X101-10S=1-+2—+3-+■••+/?——2482”n—二〃+-2阶2餌由于：a$”=（1+2+3+...+〃）+（；+：+!+・・・+土）（等差+等比，利用公式求和）|（1_（2r）=—n（n+1）+——1-1=：〃（〃+1）+1-第三章不等式@简单高中生一、不等式的性质:1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若。>3,c>d,则。+。>力+#(若2-左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除,但不能相乘：a>b>0,c>d>0,贝l]ac>bda>b>0,0<c<d,贝ij—>—）；cd3,左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0,则f>矿或而〉而;例(1)对于实数E中，给出下列命题：①若。>缶则加>be；③若。<b<0,则a?>ab>b2；⑤若Q<b<0,M—>y；⑥若。<b<0,则W>\b\；®^a>b,—>—,贝lj^>0,/><0oab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧)；⑵已知-l<x+y<\,l<x-y<3,则3x-y的取值范围是(答:l<3x-^<7)；不等式大小比较的常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;作商(常用于分数指数幕的代数式)；分析法；4•平方法；5•分子(或分母)有理化；利用函数的单调性；寻找中间量或放缩法；8一图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。[简单高中生(ID:jiandanlOOcnO)]例(1)已知a>b>0,m>0,试比较与」的大小b+mb_ab-\-am-ab-bm_m(a-b)a+maa(a+m)a{a+m):.>0>—a(a+m)a+ma从而得到结论，糖水加糖甜更甜。(2)设Q>0且1>0,比较-|10ga，和log。号■的大小

（答：当〃>1时，^-logfl/<logfl-^-（/=1时取等号）；当Ovg<1时，；log.1>loga号U=1时取等号））；（3）设】>2,p=。+1—,g二2-宀4「2,试比较的大小a-2（答：""〃―⑦+―1—+222+2=4,0=2一/+4宀2<4,故p>q）；a-2（4）比较1+log,3与2log,.2（x>0且x。1）的大小（答：当0<*<1或x>5时，l+logx3>21ogA2；当1vXv§时，1+logx3<2log,2；当x=-时，l+log》3=21ogx2）三、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。例(1)下列命题中正确的是^=x+-的最小值是2y=x+—的最大值是2j=2-3x--(x>0)的最大值是2-糖y=2-3x——（X>0）的最小值是2-4右(答：C)

（2）若x+2y=l,则2,+4,的最小值是（答：提示：2x~2y+22y>2^22V2）；（3）正数x,*满足x+2y=l,则-+-的最小值为（答：3+2^2）；四、常用不等式有：⑴普状202土（根据目标不等式左右的运算结构选用）；'々+方（2）。b、ceR,/+/>'+c'2./）+阮+w（当且仅当々二人二c时，取等号）；（3）若〃>3>0,〃?>0,则-<^-（糖水的浓度问题）。a。+〃7例⑴如果正数48满足沥二。+人+3,则汕的取值范围是（答：提示：a+b>ah=a+b+3,ab>+3[9,+co））五、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。）.常用的放缩技巧有：-=——<4<——=----』k+1—-Jk=]-j=<-j=</jR+1+Jk2yjk\k—\+\k六、不等式的解法不等式的同解原理：原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得

不等式与原不等式是同解不等式;原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。一元二次不等式的解法:一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。注意:⑴一元二次方程ax2+bx+c=0（67丰0）的两根如、2是相应的不等式ax2+bx+c>0（"0）的解集的端点的取值，是抛物线y=ax2+bx+c（a⑦0）与x轴的交点的横坐标;（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决;

(3)解集分<0三种情况，得到一元二次不等式lx?+阪+c>00#0)-^ax2+ZJX+c<0(«^0)的解集。简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；根据曲线显现/(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。例(1)解不等式(X-1)3十2)220。解不等式(X-1)23+1)3-2)3+4)<0解不等式(x+2)("I)。(x-I)3(x-2)<0分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例解不等式<-1x—2x—3(答:(-1,1)U(2,3))；绝对值不等式的解法：(1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集):例(1)解不等式|2--x|>2-|x+-|(答:心);利用绝对值的定义；例解不等式(答：-c<ax+b<c>)；数形结合；例解不等式|x|+|x-l|>3(答：(-吃-l)U(2,+s))；两边平方：例若不等式|3工+2|司2工+.|对恒成立，则实数Q的取值范围为。(答：g})含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.例⑴若iog，2<i,则］的取值范围是(答：a>1或。vq<§)；(2)解不等式車土>雄司)ax-\(答：［=0时，{xIA：<0};Q>。时，{xIJ>—ngX<0};Q<0时，(x|—<X<0)或x<0})；提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。指数、对数不等式的解法：严5(a>l)o/(x)>g(x);/)>/(，)(o<Q<i)o/(x)<g(x)(2)log"(H>logog(x)(<7>1)<=>/(x)>g(x)>。；log"/(x)>log。g(x)(o<<1)<=>0</(JT)<g(x)七、基本不等式基本不等式：若a>0,b>0,则a+>s/ab,当且仅当a-b时，等号成立.生叱称为正数『、人的算术平均数，亦称为正数口、力的几何平均数一变形应用：沥4%[(0>00〉0)，当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式推广形式：如果a,beR+,则,当且仅当a=b时，等号成立.V22-+-3一基本不等式的应用：设x、y都为正数，则有：若x+j=5(和为定值)，则当x=y时，积“取得最大值旦.若x*=p(积为定值)，则当x=*时，和X+J?取得最小值2y[p.注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。4.常用不等式：若。b^R,则/+力2习2沥何2沥；2(a2+b2)>(a+b)2八、含绝对值不等式的性质：。人同号或有。<^>\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b^=\a-b\ia、方异号或有0^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\^a+b\.九、不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)恒成立问题若不等式/(x)>K在区间。上恒成立，则等价于在区间。上/('Lm>刀若不等式/(貿)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上/(》»<B例⑴设实数满足尸+(*_1)2=1,当x+y+cNO时，C的取值范围是(答：提示：设x=sinaj=l+cosa,x+y+c=sin<7+cos。+1+c二很sin(a+45°)+1+cC+1-V2>0[V2-1,+8))；(2)不等式|s4|+|x-3|>〃对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围(答：〃<1)；能成立问题若在区间。上存在实数X使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上若在区间。上存在实数X使不等式成立，则等价于在区间。上的例⑴已知不等式|x-4|+|x-3|<«在实数集R上的解集不是空集，求实数。的取值范围(答：1>1)恰成立问题若不等式/(x)>』在区冋。上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为。；若不等式在区间。上恰成立，则等价于不等式/(x)<B的解集为。十、简单的线性规划问题】.二元一次不等式表示平面区域：在平面直角坐标系中，己知直线4¥+奶<』0,坐标平面内的点尸(xo,yo)，g>o时，①仙o+5>+C>。则点P(X0,比)在直线的上方；®Axo+By0+C<O,则点P(xo,興)在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或V0),无论月为正值还是负值，我们都可以把〉项的系数变形为正数・当占>0时，®Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=O上方的区域；®Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=O下方的区域，线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x，丿)叫做町行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解,生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：根据题意，设出变量X、尹找出线性约束条件;确定线性冃标函数y)；画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；利用线性目标函数作平行直线系Rx,力=心为参数)；观察图形，找到直线犬心力=，在可行域上使，取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.典型解题方法总结线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如z=ox+必+c以40)时，可把目标函数变形为az-c——x+则三可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，b通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解，一般步骤如下：做出可行域；平移目标函