2022衡水高考地理学习资料05焦点三角形（新高考地区用）（原卷版）

专题05焦点三角形

技巧导图

技巧详讲

一.技巧内容

椭圆双曲线

图形P（椭圆上的任意一点）

FiF2

周长2a+2c

㈣画2b22b2

1+cosO1—cosO

s2Q

"APH号S"F1F2=btan-S—上

%PF|F2一0

tan—

2

离心率sin(a+P)八sin(a+|3).八

/nL

e=——-———(0<e<l)e=]-------一r(e>1)

sina+sinp|sina-sinp|

,e,

sin—<e<1

2

--技巧推导过程

1.椭圆中的卢以尸闾

闺用2=阀「+|尸国2一2阀厅闾cos。

=(|P-+|P闾)2-2|PF；||P闾-21PHl|PE|cos。

=(|PE|+|P闻)2-2|P/PK|(1+COS。)

4c2=4/—2|P£||PK|(1+COS9)

2.椭圆中焦点三角形的面积公式

2

S"FF=—IPF]IIPF2卜in6=—•————»sin0=—•----2b°——.2sin—cos--btan—

，22

-21+cosO21+2COS2^_1222

2

3.椭圆中的离心率

...c2c闺sin。sin(a+/?)

(1)e=—=—=——=----------=-----------

a2a归片|+|尸周sina+sin,sin«4-sinJ3

(2)旧国2=归用2+|p周2-2仍用归用cos。

=(|P用+|P段)2—2|P"||P段一2|「用|P周cos。

=(|PFj+|P用了一21P用|P用(l+cos6)

之(|。用+1尸周>—2(归用？尸用)2(1+cos0)

=(|P用+|P段)2[l—g(l+COS。)]

=(|P[]+|PK|)2(g-cos。)(当且仅当|P用=|「段取=,即P在短轴端点处)

1「2]1100

4c2>4/(——cos^)BP—>——cos，=----(l-2sin2—)=sin2—

2a222222

、-e

e>sin—

2

4双曲线中的归耳归阊

闺闯2=|p耳「+陷「―2|尸耳归号cos。

尸用）2+2|尸川尸局-2|PK||P闾cos。

=（|PE|-|P用f+2|P片|P段（1-cos。）

4c2=4/+2归用|尸闾（Leos。）

」.|P用|PE,|=———=2b

〜2（1-cos1-cos^

5.双曲线中焦点三角形的面积公式

4"禹=4户用|Pg|sin0=*sin0=--------~~^-.2sin|cosy=

22

"os。2].(1.2sin2^22tan：

6.双曲线中的离心率

_c_2c_闺_sin®_sin(a+Q)

a2a||Pfj|-|PZ^|||sina-sin/3\|sina-sinJ3\

例题举证

技巧1焦点三角形的周长

【例1】（2020•黑龙江）已知点月,工分别是椭圆1^+5=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则APKB

的周长等于（）

A.20B.16C.18D.14

【举一反三】

2

1.（2020•西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆/餐+qv=1（其中a>6>0）的离心率为3弓，两焦点

a2b-5

分别为E,"为椭圆上一点，且的周长为16,则椭圆,的方程为（）

292222

.x2y21

A.----1-----=1B.工+上=1C.三+匕=1D.三+匕=1

16252599252516

2.（2019•广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆

C:「+4=l（a>b>0）的焦距为46，焦点三角形的周长为4石+12,则椭圆。的方程是,

a'b~

技巧2焦点三角形的面积

22

rv

【例2-1】（2020•安徽省定远中学）已知椭圆C:\+4=l（a>b>0）的左、右焦点分别为士、F2,P

a~b~

为椭圆上一点，且尸耳工刊"若△PKg的面积为9,则8=.

„2

【例2-2X2020•山西大同）已知"、居为双曲线C：女一V=1的左、右焦点，点—在C上，N£P乙=60°,

则宁电的面积为

【举一反三】

1.（2020•云南陆良）已知片、工为双曲线G/-丁=1的左、右焦点，点〃在C上，/耳尸6=60°，

则|列讣伊用卜（）

A.2B.4C.6D.8

22

2（2020•广东汕头）若椭圆二+匕=1上一点一与椭圆的两个焦点耳、工的连线互相垂直，则APK居的

3616

面积为（）

A.36B.16C.20D.24

丫27r

3.（2020•上海普陀•高三三模）设P为双曲2线y2=i（。>。）的上一点，NF\PF?=—,（耳、K

a~3

为左、右焦点），则弱的面积等于（）

A62R62n2g

A.73aB.---ciC.---D.----

333

技巧3焦点三角形的离心率

【例3-1］设椭圆C:之+2r=1（a〉）>0）的左、右焦点分别为£,F,,P是C上的点，

a~b-

NP£K=30°,则C的离心率为（)

上1

A.—B.-C.-L).---

6323

丁+/

【例3-2】（2020•河北衡水中学）已知与，鸟分别是椭圆=1（。>/?>0）的左、右焦点，若椭圆上

存在点P,使NKP居=90,则椭圆的离心率e的取值范围为（）

B.g,l)

【举一反三】

r22

1.（2020•沙坪坝•重庆一中高三月考（理））已知点〃在以耳，弱为左,右焦点的椭圆C:东+v%=1e>0）

上，在△P66中，若/「耳月=。，NPFE=/3,则皿”（）

sina+sinp

AJ_R6'SI历

A.LJ••U•，2

222

2

2.（2020•安徽合肥•高三二模（文））记士，尸2为椭圆C：二+丁=1的两个焦点，若。上存在点用

m

满足砺I.标2=0，则实数加取值范围是（）

B.5，1)"2,+8)

U[2,4-00)

5L2]D.

技巧强化

1.（2020•全国高三单元测试）已知F“J是椭圆工+匕=1的两焦点，过点Fz的直线交椭圆于A,B

169

两点.在△AKB中，若有两边之和是10,则第三边的长度为（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2020•广西钦州一中）设椭圆G=+与=l（a＞0,6〉0）的左、右焦点分别为鸟，F2,离心率为且.一

a2h22

是。上一点，且£P_LKP.若鸟的面积为4,则，（）

A.1B.2C.4D.8

22

3.（2020•河南高三其他（文））椭圆/+5=1（4＞人＞0）的左、右焦点分别为耳，居，椭圆上的点

M满足：N与M玛=60°,且西•说'=2,则人=（）

加D

4.（2020•黑龙江绥化•高三其他（理））已知对任意正实数加n,p,q,有如下结论成立：若一=上,

nq

mpm+px2v2ccr

则有一=人=一乙成立，现已知椭圆二+==1上存在一点户，耳，居为其焦点，在凡中,

〃qn+qa2h2~

NP巴5=15。，N/Y；片=75。，则椭圆的离心率为（）

R

A・115•&Cr•-V---6--Dn.x/3

2232

5.（2020•山西临汾）已知椭圆。:萧+喜=1的左，右焦点分别为£,心，若C上的点A到居的距离为

6,则AAK居的面积为（）

A.48B.25C.24D.12

27

厂+厂

6.（2020•陆川中学）已知耳,鸟分别是椭圆7+F=l（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P,

使得西•%=（）,则该椭圆的离心率的取值范围是（）

J2611「逝疔

A.［苧1）民（0,争C白引D.1T万

22

7.（2020•全国高三一模（文））设椭圆二+二l（a>Z?>0）的两焦点为6入，若椭圆上存在点P，

a2b2

使/耳「入=120。，则椭圆的离心率e的最小值为（）

1V2D..

A.B.C.

223

8.（2019•江西南昌十中））已知点E，A分别是椭圆G和双曲线C的公共焦点，6,a分别是G和C的

离心率，点尸为G和G的一个公共点，且“百尸鸟=$，若e2G（2,g），则e的取值范围是（

Y书B•母竽）

9.（2020•伊美区第二中学）设£,居是双曲线产-工=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且

24

3|尸耳|=4户闾，则△尸6鸟的面积等于（）

A.472B.8月

C.24D.48

10.（2020•四川青羊•树德中学高二月考（文））设耳、鸟分别为双曲线斗一方=1（〃>0/>0）的

左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|产制+归写|=3仇归/讣仔用=\",则该双曲线的离心率为（）

459c

A.—B.—C.—D.3

334

22

11.（2020•吉林松原•高三其他（文））已知点尸是双曲线会-3=1上一点，耳，B分别为双曲线

的左、右焦点，若鸟的外接圆半径为4,且/耳月乙为锐角，则|刊讣归周=（）

A.15B.16C.18D.20

12.（2020•陕西省丹凤中学高三一模（理））设耳，尸2分别是双曲线丁-卷=1的左右焦点♦若点P在双

曲线上，且西•电=0,贝U附+图等于（）

A.2&B.回C.4夜D.25/10

22

13.（2020•陕西高三其他（文））已知双曲线E：马=1（。>0,>>0）的左、右焦点分别为耳，

ab

7C7C-----------------

尸2，点M在双曲线E的右支上，若与e-,y,则玛的取值范围是（）

A.[伤2,2〃]B.[2〃,2（&+1）〃]

c.[（夜-1）吐用1）.w，（3+i）w

14.（2020•河北张家口•高三期末（理））已知双曲线C的焦点为耳，工，点尸为双曲线上一点，若

|桃|=2|「司，〃6鸟=60。，则双曲线的离心率为（）

A.73B.2C.y/5D.♦

2

22

15.（2020•全国高三一模（理））已知£,E是双曲线£：二