2021-2022学年江西省景德镇七年级（下）期末数学试卷

2021-2022学年江西省景德镇一中重点班七年级（下）期末数学

试卷

一、填空题（共17小题，每小题3分，满分51分）

1.（3分）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=.

2.（3分）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°,则这个多边形的边

数是•

3.（3分）一个正三角形各边分别有3个三等分点，从这9个三等分点中任取3个，可以构

成个直角三角形.

4.（3分）如图，RtZ\ABC中，/ACB=90°,ZCAB=20°,NAC8的平分线与外角/4BO

的平分线交于点E,连接AE,则/AEB的度数为____.

CRD

5.（3分）如图，在RtZVIBC中，乙4cB=90°,，ZA<ZB,CM是斜边AB的中线，将4

ACM沿直线CM折叠，点A落在点。处,如果CO恰好与AB垂直，则/A=_______°.

AD

CA

6.（3分）如图，将两个完全相同的含30°的直角三角板叠放在一起，已知每个三角板的面

积为8,贝（JS四边形A8C£>=______.

7.（3分）在钝角△ABC中，若4B=4,8c=8,则AC的取值范围是.

8.（3分）如图，四边形A8C£>中，ZABC=ZCDA=90°,AD=CD=5,AB=1,BC=1,

则BD=_______

9.（3分）在△ABC中，D,E,尸分别是BC,AB,CA上的点，AE=AF,BE=BD,CF=

CD,AB-AC=2BD-DC,48=3,AC=4,则SMBC=.

10.（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AO垂直8c于点£）,BE垂直AC于点E,

AD与BE交于点P,BP=3,PE=1,贝ijSA8DP=.

11.（3分）在△ABC中，AB=10,AC=17,BC边上的高为8,则aABC的面积为.

12.（3分）如图，矩形ABCZ）中，AB=4,BC=6,点P是矩形ABC。内一动点，且必阳B

=XS„PCD,则PC+PD的最小值为.

2

13.（3分）如图，ZDAC=2x,ZACB=4x,ZABC=3x,AD=BC,则

14.（3分）如图，在矩形ABC。中，4B=6,BC=8,点E是BC边上一点，连接AE,把

△ABE沿AE折叠，使点8落在F处，当aCEF为直角三角形时，BE=.

15.（3分）如图，在△ABC中，是边8C边上中线，点M在边AB上，点N在边AC上,

并且/MON=90°,如果BM2+CN2=DM2+DM,AD=4,则以ABC最大为.

16.（3分）如图，过△ABC内一点P作三边垂线，垂足分别为。，E,F,已知AB=5,BC

=7,AC=6,BE-AD=1.则AQ+BE+CF=

17.（3分）如图，正方形ABC。中，AB=2遍,。是BC边的中点，点E是正方形内一动

点，0E=2,连接。E,将线段。E绕点。逆时针旋转90°得。F,连接AE、CF.则线

段。尸长的最小值为

二、解答题.

18.如图，4c与BO交于点E,J@LAC=DB,AB=DC.求证：NA=N。.

20.如图，CE、CB分别是△ABC、△ACC的中线，且48=AC.求证：CD=2CE.

21.如图，已知P是△ABC的角平分线A。上任一点，S.AB>AC,求证：PB-PC<AB-

B

DC

22.如图，三所学校分别记作A,B,C,AB<AC<BC,体育场记作。，它是aABC的内心,

O,A,B,C每两地之间有道路相连，一直长跑队伍从体育场。出发，跑遍各校再回到

。点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由.

23.如图，ZVIBC中，ZA=100°,AB=AC,BE是△ABC的平分线.求证：AE+BE=BC.

角形，试求AABC各内角的度数.

25.如图，ZVIE尸中，ZEAF=45°,AG_LEF于点G,现将△4EG沿AE折叠得到△AEB,

将aAFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接8。分别交AE、A尸于点M、N,将绕点A逆时针旋转，使4B与A。

重合，得到△A。“，试判断线段MN、ND、。”之间的数量关系，并说明理由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3®求AG、MN的长.

26.如图，F为正方形ABC。边CD上一点，连接4C,AF,延长AF交4c的平行线OE于

点E,连接CE,且AC=AE.求证：CE=CF.

2021-2022学年江西省景德镇一中重点班七年级（下）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共17小题，每小题3分，满分51分）

1.（3分）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

A

s^\c

【分析】首先证明NFMC=NA+NB,NMFC=ND+NE；结合△MFC的内角和等于

180°,即可解决问题.

【解答】解：延长BE,交AC于点M；

由三角形外角的性质得：ZFMC-ZA+ZB,NMFC=ND+NE,

ZFMC+ZMFC+ZC=180°,

AZA+ZB+ZC+ZD+Z£=180°.

故答案为：180°.

2.（3分）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°,则这个多边形的边

数是14或15.

【分析】设除去的角为x°,y°,多边形的边数为〃，又0°<x<180°,0°<yV180°,

可得到关于"的不等式.注意〃为自然数的隐含条件.

【解答】解：由题意得2002°<（.n-2）X180°<2002°+360°,

可得一元一次不等式组：［（n-2）X180°>2002°

（n-2）X180°<2002°+360°

解得：13"旦<"<15—）

项90

又因为"是自然数，所以这个多边形的边数是14或15.

故答案是：14或15.

3.（3分）一个正三角形各边分别有3个三等分点，从这9个三等分点中任取3个，可以构

成18个直角三角形.

【分析】以边BC为例，分在边BC上的两点，边BC上取一点，画出图形，找到构成直

角三角形的个数，即可求得三边上的总个数.

【解答】解：如图，在边BC上的两点，有直角三角形K/",直角三角形K/G,直角三角

形EGH,直角三角形EG/；

在边BC上取一点，有直角三角形KEG,直角三角形EK/；

所以可以构成直角三角形3义（4+2）=18（个）.

故答案为：18.

4.（3分）如图，RtZsABC中，ZACB=90a,ZCAB=20°,/ACB的平分线与外角/ABO

的平分线交于点E,连接4E,则NAE8的度数为45°.

【分析】作EFLAC交CA的延长线于F,EGLA8于G,8c交CB的延长线于H,

根据角平分线的性质和判定得到AE平分/R1G,求出/E48的度数，根据角平分线的定

义求出/ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案.

【解答】解：作E4C交C4的延长线于凡EGJ_AB于G,EH,8c交CB的延长线

于H

：CE平分NACB,BE平分NABD,

:.EF=EH,EG=EH,

:.EF=EF,XEFLAC,EGLAB,

平分NMG,

VZCAS=20°,：.ZBAF=l60°,

...NE4B=80°,

VZACB=90°,NC4B=20°,

AZABC=70°,

：.ZABH=liO°,又BE平分NAB。，

ZABE=55°,

：.ZAEB=1800-ZEAB-ZABE=45°,

故答案为：45°.

5.（3分）如图，在Rt/XABC中，/ACB=90°,ZA<ZB,CM是斜边A8的中线，将4

4cM沿直线CM折叠，点4落在点。处，如果CD恰好与AB垂直，则/4=30°.

【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则NO=/A,NMCD=N

MCA,从而求得答案.

【解答】解：法一、在RtZ\ABC中，ZA<ZB

是斜边AB上的中线，

ACM=AM,

，NA=NACM,

将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点。处

设NA=NACM=x度，

・・・ZA+ZACM=NCMB,

:・/CMB=2x,

如果CD恰好与AB垂直

在RtZXCMG中，

NMCG^NCMB=90°

即3元=90°

x=30°

则得到ZMCD=/BCD=ZACM=30°

根据CM=MD,

得到N0=NMCO=3O°=NA

NA等于30°.

法二、・・・CM平分NACO,

,ZACM=ZMCD

•/ZA+ZB=NB+NBCD=90°

：.ZA=ZBCD

：./BCD=ZDCM=NMCA=30°

:.乙4=30°

6.（3分）如图，将两个完全相同的含30°的直角三角板叠放在•起，已知每个三角板的面

积为8,贝1JS四边形A8CD=5.

【分析】如图，过点A作AHLGC于点H.设CD=AE=a,CG=EF=2a,AF=DG=43a,

由题意上可得片=坨应，求出△ABG的面积，可得结论.

23

【解答】解：如图，过点A作A”，GC于点”.

设CD=4E="，CG=EF=2a,AF=DG=Ma,

•.1•CZ>OG=8,

2

.•」XaX愿。=8,

2

•〃2=

3

VZF=30°,ZADF=90Q,

.\AD=AAF=ADG=^3,£/,

222

\'ZDAF=6Q°=NG+/ABG,NG=30°,

，/ABG=/G=30°,

：.AB=AG,

"：AH±BG,

：.AH=lAG=J^-a,

24

：.BH=GH=^-a,

4

：.BG=^.a,

2

.•.&4BG=L.BG・AH=工x&X近=^2^2=3,

222416

・'・S四边形A8CO=SaCQG-5AABG=8-3=5，

故答案为：5.

7.（3分）在钝角△ABC中，若AB=4,BC=8,则4c的取值范围是4\/s<AC<14.

【分析】要求4c的范围，就要确定对应角的范围，当NB=90°时，根据勾股定理计算

4c的长度，根据钝角大于90°和三角形两边之和大于第三边，可以确定4c的范围.

【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以确定AC的

范围为4VAe<14,

22=4

又因为当NB为直角时，AC=^4+8^5）

由于AABC是钝角三角形，所以404遍，

整理得：AC的范围为414.

故答案为：4代<AC<14.

8.（3分）如图，四边形ABCD中，/A8C=NC£）A=90°,AO=CQ=5,AB=7,BC=1,

则BD=4A/2.

【分析】根据四边形的内角和等于360°求出NBA£»+NC=180°,把△88绕点。逆

时针旋转90°可得等腰直角△BQE,求出BE,然后根据等腰直角三角形的性质求解即可.

【解答】解：：/A8C=NCZM=90°,

：.ZBAD+ZC=\S06,

把△BCD绕点D逆时针旋转90°得等腰直角△8DE,

由旋转的性质，BD=BE,NBDE=90°,

是等腰直角三角形，

'：AB=1,BC=1,

1+7=8,

：.BD=亚BE=亚X8=4芯,

22

故答案为：4A/2-

9.（3分）在△ABC中，D,E,尸分别是BC,AB,C4上的点，AE=AF,BE=BD,CF=

CD,AB'AC=2BD'DC,AB=3,AC=4,则SA4BC=6.

【分析】设8E=x,CF=y,则AE=4-x,AF=3-y,BE=BD=x,CF=CD=y,由A2

♦AC=2BD・DC,AB=3,4c=4得BO・DC=6,再由AE=A凡得出关于x,y的一元二

次方程组，解方程组求出x,），，然后由勾股定理的逆定理，可以判断△ABC是Rt4,然

后由三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：D,E,F分别是3C,AB,C4上的点，如图所示：

设8E=x,CF=y,则AE=3-x,AF=4-y,BE=BD=x,CF=CD=y,

\"AB'AC^2BD'DC,AB=3,AC=4,

:.BD・DC=6,

又

.f3-x=4-y

xy=6

解得：卜=2,

Iy=3

：.BC=5,

,：AB2+AC2=42+32=25=52=BC2,

，/XABC是RtA,

S^ABC——,AB*AC

2

FABC-X3X4=6.

2

故答案为：6.

10.（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,A。垂直8c于点。，8E垂直4c于点E,

AD与BE父子点P,BP=3,PE=1,则SMQP=

A

;

BDC

【分析】如图，作辅助线，构建△BCE的中位线,利用三角形中位线定理易求PG、AG

的长度，并得EC=2OG,设。G=x,则EC=2x,利用同角的三角函数列式可求X的值，

最后由三角形面积公式进行解答.

【解答】解：如图，过。作QGLAC于G,

A

BDC

*：AB=AC9AD±BCf

:・BD=CD,即点。是8C的中点，

VBE±AC,DG.LAC,

：.DG//BE,

：・GC=EG,

；.G。是△BCE的中位线,

:.DG=LBE,

2

即BE=2DG,

"：BP=3,PE=1,

；.BE=3+1=4,

：.DG=^BE=2,

2

'：PE//DG,

•PE=AE=1,

"DGAG~2

设EG=x,则EC=2x,AE=EG=x,

VZAPE^ZBPD,/AEP=NBDP=90°,

：.ZPAE^ZDBP,

，tanNDBP=tanNfi4E=£_=E5_,

BEAE

...区”，

4x

，乂=&或彳=-&（舍去），

:.EG=®

：.SABDP=LGE・BP”X&X3=3巨；

222

故答案为：各巨.

2

11.（3分）在△ABC中，A8=10,AC=17,BC边上的高为8,则△ABC的面积为36或

84.

【分析】根据勾股定理分别求出BO和C£>,分A。在三角形的内部和A。在三角形的外

部两种情况，根据三角形面积公式计算.

【解答】解：在RtaAB。中，根据勾股定理得，fiO=^AB2_AD2=6,

在Rtz^AC。中，根据勾股定理得，CD=^/AC2_AD2=15,

如图1,当4）在三角形的内部时，BC=15+6=21,

所以△ABC的面积为：1x21X8=84；

2

如图2,当AO在三角形的外部时，BC=15-6=9,

所以AABC的面积为：1X9X8=36,

2

故答案为：36或84.

12.（3分）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点P是矩形ABC。内一动点，且S△用B

=JLSMCD,则PC+PD的最小值为一粕_.

【分析】如图，作PMLAO于M,作点。关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设

AM=x.由PM垂直平分线段OE,推出PO=PE,PC+PD=PC+PE^EC,利用勾

股定理求出EC的值即可.

【解答】解：如图，作PMLAD于M,作点D关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设

AM=x.

・・•四边形ABC都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=49BC=AD=6,

,*,S^PAB=Z-^S^PCD9

2

.*.AX4XX=AXAX4X(6-X),

222

・'・x=2,

：.AM=2,DM=EM=4,

在RtZXECD中，EC=VCD2+ED2=4V5>

垂直平分线段。E,

:.PD=PE,

PC+PD=PC+PE，EC,

:.PD+PC'4届,

J.PD+PC的最小值为4遥.

13.（3分）如图，/OAC=2x,ZACB=4x,/ABC=3x,AD^BC,则/区4D=18°

【分析1由“SAS”可证△ABCgAA”。，可得NACB=NAO//=4x,由三角形内角和定

理可求解.

【解答】解：如图，作NC4”=工NCAD=x,交8c的延长线于”，

VZACB=4x,ZCAH^x,ZDAC=2x,

：.ZH=3x=ZDAH,

：.AD=DH,

'：AD=BC,

：.AD=BC=DH,

'：ZABC=ZH=3x,

：.AB^AH,

在△A8C和△AHD中，

fAB=AH

-ZABC=ZH>

BC=DH

：./\ABC^^AHD(SAS),

ZACB=ZADH=4x,

VZADC+ZACD+ZDAC=\SO°,

.•.2_r+4x+4x=180°,

；.x=18°,

：.ZABC=3x=54°,N4OC=4x=72°,

：.ZBAD=J2°-54°=18°,

故答案为：18°.

14.（3分）如图，在矩形A8CC中，AB=6,BC=8,点E是BC边上一点，连接AE,把

△ABE沿4E折叠，使点B落在尸处，当△（?£：尸为直角三角形时，BE=3或6.

【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点尸落在矩形内部时，连接AC,

先利用勾股定理计算出AC=10,根据折叠的性质得/4FE=/B=90°,而当△废尸为

直角三角形时，只能得到N£FC=90°,所以点4、F、C共线，即NB沿AE折叠，使

点2落在对角线AC上的点F处，贝ijEgnEF,AB=AF=6,可计算出CF=4,设8E=x,

则EF=x,CE=8-x,然后在RtACEF中运用勾股定理可计算出x.②当点F落在AD

边上时，此时四边形ABEF为正方形.

【解答】解：当ACE尸为直角三角形时，有两种情况:

①当点尸落在矩形内部时，如图所示，

连接AC,

在RtZVLBC中，AB=6,BC=8,

：.AC=yjg2+g2=io,

由折叠的性质得，

:.NAFE=NB=90°,

当aCEF为直角三角形时，只能得到NEFC=90°,

...点A、F、C共线，即沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的点F处，如图,

：.EB=EF,AB=AF=6,

.,.CF=10-6=4,

设BE=x,贝ijEF=x,CE=8-x,

在RtaCEF中，

EF2+CF2=CE1,

即X1+42=(8-x)2,

解得x=3,

.•.BE=3；

②当点尸落在AD边上时，如图所示，

；.BE=AP=6.

综上所述，BE的长为3或6.

故答案为：3或6.

15.(3分)如图，在△ABC中，A。是边8c边上中线，点M在边AB上，点N在边AC上,

并且NMON=90°,如果BM2+CN2=DM2+DN2,AD=4,则SAABC最大为16.

A

M

（分析】过点B作AC的平行线交ND的延长线于E,连ME.证明△BED丝△CNZXSAS）.由

全等三角形的性质得出BE=NC.证明/A4C=90°,由直角三角形的性质可得出答案.

【解答】解：如图，过点B作AC的平行线交NQ的延长线于E,连ME.

•：BD=DC,

：.ED=DN.

在△BED与△CNZ)中，

'BD=CD

<ZBDE=ZCDN)

ED=DN

：./\BED^/\CND(S4S).

：.BE=NC.

■:NMDN=90°,

为EN的中垂线.

:*EM=MN.

：.BIvfi+BEr=BM2+Nd=MD^+DN2=MN2=EM2,

.,.△BEM为直角三角形，NM8E=90°.

ZABC+ZACB=ZABC+ZEBC=90°.

：.ZBAC=90°,

'：AD=4,A。是边BC边上中线，

.\BC=8,

.*.当AO_LBC时，AABC有最大值，最大值为/x8X4=16.

故答案为：16.

16.（3分）如图，过△ABC内一点P作三边垂线，垂足分别为O,E,F,已知A8=5,BC

=7,AC=6,BE-AD=1.则7D+BE+CQ9.

A

mJ

【分析】连接AP,BP,CP,设AZ)=x.BE=y,CF=z.则8Q=5-x,CE=1-y,AF

=6-z.由勾股定理分别建立方程①②③，又BE-AD=y-x=1,即可得AD+BE+CF=

A(55-1)=9.

6

【解答】解：如图，连接AP,BP,CP,

设BE=y,CF=z.则80=5-x,CE=7-y,AF=6-z.

在Rt/\PBD和RtAPBE中，BD2+PD2=PB1=BE^+PE2,

即(5-x)2+PD2=y2+PE2@,

同理可得(7-y)2+尸£2=，+尸卢§),

(6-z)2+PF2^X1+PD2@,

①+②+③，得：(5-x)*+(7-y)2+(6-z)2—x2+Z2+y2)

/.5x+7y+6z=55,

9：BE-AD=y-x=l,

：.AD+BE+CF=x+y+z=l-(5x+7y+6z-(y-x))=A(55-1)=9,

66

故答案为：9.

17.（3分）如图，正方形ABC。中，AB=2娓,。是8c边的中点，点E是正方形内一动

点，0E=2,连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90°得。F,连接AE、CF.则线

段0一长的最小值为5最-2.

【分析】连接Q0,将线段。。绕点。逆时针旋转90°得QM,连接OF,FM,OM,证

明△EDO0AFDM,可得FM=OE=2,由条件可得OM=5加,根据0F+MF20M,

即可得出OF的最小值.

【解答】解：如图，连接。O,将线段。。绕点。逆时针旋转90°得DM,连接。凡FM,

OM,

VZEDF=ZODM=90°,

：.NEDO=NFDM,

"：DE=DF,DO=DM,

:AEDOq4FDM（SAS）,

：.FM=OE=2,

•.,正方形A8CZ）中，AB=2娓,。是BC边的中点,

<?C=V5）

•••。…（菰产+（代）2=5,

OM=^52+52=5&,

：OF+MFNOM,

；.OF25&-2,

...线段OF长的最小值为5&-2.

故答案为：5&-2.

二、解答题.

18.如图，AC与3。交于点E,iLAC=DB,AB=DC.求证：ZA=Z£>.

AD

【分析】首先连接3C,由AC=£)8,AB^DC,利用SSS,即可证得△ABC也△£>口?,继

而可证得：Z4=ZD.

【解答】证明：连接BC,

在△ABC和△OCB中，

AC=BD

<AB=DC>

BC=CB

...△ABCdDCB(555),

ZA=ZD.

【分析】先根据对顶角相等得到NAE8=/CEO,再根据全等三角形的判定方法A4S得

到AABE丝△£)<:£即可得到结论.

【解答】证明：在AABE与△OCE中，

VA=ZD

<AE=DE>

ZAEB=ZDEC

.♦.△ABEg/XOCE(ASA),

：.AB=DC.

20.如图，CE、CB分别是△ABC、△ACC的中线，且A8=AC.求证：CD=2CE.

【分析】延长CE到尸，使CE=E/,连接尸8,由△AEC彩4BE尸得出对应的边角相等,

进而求证△CBFgaCBD,即可得出结论.

【解答】证明：延长CE到F,使EF=CE,连接EB.

是△ABC的中线，

；.AE=EB,

又•:NAEC=NBEF,

：.^AEC^/XBEF,(SAS)

AZA=ZEBF,AC=FB.

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.NCBD=ZA+ZACB=NEBF+NABC=NCBF；

；CB是△AOC的中线，

：.AB=BD,

又；AB=AC,AC=FB,

：.FB=BD,

又CB=CB,

：./\CBF^/\CBD(SAS),

CD=CF=CE+EF=2CE.

:r

f

F

21.如图，已知尸是△ABC的角平分线4。上任一点，BLAB>AC,求证：PB-PC<AB-

AC.

【分析】首先作辅助线，在A8上取一点E,使AE=AC,连接PE.根据边角边定理判

断△4EP四△ACP,得至UPE=PC.根据4E=4C（辅助线）与BE=AB-AE得到BE=

AB-AC.在△P8E中，根据三角形中两边之差小于第三边，得至"BE>PB-PE,即BE

>PB-PC,将BE用A8-AE代入，即可证明.

【解答】证明：在AB上取一点E,使AE=AC,连接PE,

；AP为NBAC的平分线,

：.ZEAP^ZCAP,

在△斗£P和△4CP中，

'AE=AC

<ZEAP=ZCAP，

AP=AP

.♦.△AEP丝Z\ACP(SAS),

：.PE=PC,

,：AE^AC,

：.BE=AB-AE=AB-AC,

在△PBE中，BE>PB-PE,

：.PB-PC<AB-AC.

22.如图，三所学校分别记作A,B,C,AB<AC<BC,体育场记作O,它是aABC的内心,

O,A,B,C每两地之间有道路相连，一直长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到

。点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由.

【分析】先判断出所跑的路线有三条，得出此三种路线所跑的路程，再判断出△。48且

△OAB,OB'=OB,再比较三条路线中，最短的那条路线，即可得出结论.

【解答】解：路线O-A-B-C-0的距离最短；

理由：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：

第一条路线为：OfA-B-CfO（或OfC-O）,

所走的路程为OA+AB+BC+CO,

第二条路线为：OfA—C—Bf。（或。-C-A-0）,

所走的路程为OA+AC+CH+OB,

第三条路线为：OfBfAfC->"。（或C->A-C-*0）,

所走的路程为OB+AB+AC+CO,

如图，由于AC>BC>A8,则在AC上取一点s，使4B'=AB,

...点。是△ABC的三条角平分线的交点，

：.ZOAB'=ZOAB,

在△0A8和△OAB中，

'AB，=AB

<NOAB'=ZOAB-

OA=OA

(SAS),

OB,=OB,

第一条路线的路程-第二条的路线的路程为：

COA+AB+BC+CO)-COA+AC+CB+OB)

=A8+C0-AC-BO

=AB+CO-AB,-B'C-B'O

=C0-(B'C+B'O)<0,

/.第一条路线的路程比第二条路线的路程短，

同理：第一条路线的路程比第三条路线的路程短,

所以，路线OfA-B-Cf。所跑的距离最短.

23.如图，△ABC中，ZA=100°,AB=AC,BE是△ABC的平分线.求证：AE+BE=BC.

【分析】延长BE到F,使8F=BC,连接FC,由A8=AC,ZA=100°,得至Ij/ABC

=/ACB=40°,由于BE平分NABC,于是得到NABE=/EBC=20°,通过△人;£：安

△尸CE,得到EF=EF',NEF'C=/F=80°,证得△ABE会△尸BE,于是得到

AE=EF',于是得到结论.

【解答】解：如图，延长2E到F,使8F=BC,连接FC,

\'AB=AC,NA=100°,

；./A8C=NAC8=40°,

平分NABC,

；./ABE=NEBC=20°,

,:BF=BC,

.*.NF=NBCF=80°,

：.ZFCE=ZACB=40°,

在BC上取CF'=CF,连接EF',

'CF=CF'

在△FCE与CE中，，/F'CE=ZFCE

CE=CE

.•.△FCE丝CE(SAS),

：.EF=EF',NEF'C=ZF=80°,

AABF'E=100°,

AZA=ZBF'E,

'/A=NBF'E

在△ABE与AB尸E中，，ZABE=ZF/BE

BE=BE

.♦.△ABE/BE(A4S),

：.AE=EF',

：.AE=EF,

AE+BE=BE+EF=BC.

24.在△ABC中，已知4B=4C,且过aABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三

角形，试求aABC各内角的度数.

【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况

进行分析，从而求解.

【解答】解：@'：AB=AC,当BD=CD,CD=AD,

：.NB=ZC=NBAD=ACAD,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

.*.4NB=180°,

；.NB=45°,ZC=45°,NBAC=90°.

@'：AB=AC,AD=BD,AC=CD,

:.NB=NC=NBAD,ZCAD^ZCDA,

NC£>4=

：.ZBAC=3ZB,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

・•・5/3=180°,

・・・NB=36°,ZC=36°,ZBAC=108°.

@9：AB=AC,AD=BD=BC,

：.ZB=ZC,ZA=ZABDf/BDC=/C,

ZBDC=ZA+ZABD=2ZAf

：.ZABC=ZC=2ZA1

•・・N4+NABC+NC=180°,

・・・5NA=180°,

/.ZA=36°,ZC=72°,ZABC=12°.

9

@：AB=ACfAD=BD,CD=BC,

：.ZABC=ZC,NA=NA8。，NCDB=NCBD,

*/NBDC=ZA+ZABD=2ZA,

：.ZABC=ZC=3ZAf

VZA+ZABC+ZC=180°,

/.7ZA=180°,

AZA=(1^0)°,ZC=(-512)°,ZABC=(540)o

77"V

②

25.如图，△AEF中，Z£AF=45°,AGLEF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△A£B,

将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和QF相交于点C.

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接分别交AE、A尸于点M、N,将AABM绕点A逆时针旋转，使