现代谱估计课件

第二章 现代谱估计现代谱估计概述AR模型谱估计线性预测Burg算法ARMA模型谱估计扩展Prony方法多重信号分类(MUSIC)法12.1 现代谱估计概述经典谱估计的主要问题基于信号参数模型的谱估计方法2经典谱估计：分辨率低（受窗函数长度的限制）;

方差性能不好；方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模:

用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；也可用于信号的特征提取，预测，编码及数据压缩等。32.1 现代谱估计概述

在第一章中介绍了用参数模型来描述随机信号的方法，如果能确定信号x(n)的信号模型，根据信号观测数据求出模型参数，系统函数用H(z)表示，模型输入白噪声方差为σw2，信号的功率谱用下式求出：按照这种思路，功率谱估计可分成三个步骤：（1）选择合适的信号模型；（2）根据x(n)有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数;

（3）计算模型输出功率谱。4参数模型与模型谱信号测量数据1、基本思路

模型（参数）（MA,AR,ARMA）确定随机w(n)S(n)u(n)

逼近即：信号的当前值是由其过去的值和输入信号现在与过去的值按照模型参数线性加权组合得到。52.自回归－滑动平均模型(ARMA(p,q)）

（Pole-zeromodel）X(n)的功率谱6推导：于是：73.滑动平均模型—MA(q)（Allzeromodel）84.自回归模型—（Allpolesmodel）95.模型参数ModelParameters:10

已知有限长数据或有限长的相关函数，估计的步骤为：①建立参数模型(MA,AR,ARMA,阶次p,q)②

由或估计的参数(解法)

－－参数估计③由的参数估计【注】估计ARMA或MA的参数一般需解一组非线性方程组，估计AR模型参数通常只需解一组线性方程组。6.参数估计与谱估计11例.(白噪声中的AR过程)12故即：白噪声中的AR(P)过程是一个ARMA(p,q)过程，其激励噪声是白的，方差为其中：132.2 AR模型谱估计AR模型的正则方程Levinson-Durbin算法AR谱估计的自相关法AR模型阶次的选择AR模型谱估计的性质14一、AR模型的正则方程AR模型：差分方程：15目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘，求均值未知参数：å=+--=pkknuknxanx1)()()(16一、AR模型的正则方程假定、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为，为服从AR过程的因果信号。由AR模型的差分方程，有将上式两边同乘以，并求均值，得

17一、AR模型的正则方程

(a)式中，为AR模型的单位取样响应。由z变换的性质 ，当时，有。将之代入上式，有

(b)18一、AR模型的正则方程综合式(a)与式(b)，有

在上述推导中，应用了实信号自相关函数的偶对称性，即。由上式可得个方程，写成矩阵形式为19一、AR模型的正则方程上述两式即为AR模型的正则方程，又称Yule-Walker方程。

或20上式不考虑对称性表示为如下形式可简单的表示为其中，

是

阶AR模型的系数向量，

是

维全零列向量，

定义为(6)21AR模型的正则方程也可表示为22式(8)简单地表示为其中，

因矩阵

是非奇异的，有将

代入式(7)中即得到

。23例

已知

满足实

模型，即满足如下差分方程其中，

是均值为零，方差为

的白噪声。

模型阶数

，得到二阶的Yule-Walker方程

取AR24所以，可以解得同样可以用

和

来表示

和

，即2526一、AR模型的正则方程需要指出的是，上式中的自相关矩阵为Toeplitz矩阵；若是复过程，那么，则其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。这类矩阵具有一系列好的性质，利用这些性质，可以找到快速求解AR模型参数的高效算法。

若取估计

则27二、Levinson-Durbin算法

Levinson-Durbin递推算法是求解Yule-Walker方程的快速有效算法，这种算法利用了方程组系数矩阵（自相关矩阵）所具有的一系列好的性，使运算量大大减少。其推导的方法有多种，这里只介绍一种较为简便的推导方法。

在实际应用中，为避免矩阵求逆运算，降低计算量，通常并不直接求解正则方程，而是根据自相关矩阵的Toeplitz性质，利用Levinson-Durbin迭代算法进行求解。28二、Levinson-Durbin算法定义

为的第

个系数；

为

阶AR模型输入白噪声的方差；

阶AR模型思路：利用Toeplitz

矩阵特点，由低阶高阶反射系数29二、Levinson-Durbin算法计算

阶AR模型的参数，由(6)得

对于

，若已知

阶AR模型的参数

和

容易解得，模型的正则方程为30二、Levinson-Durbin算法(a)的参数，要求解的m阶Yule-Walker方程为31二、Levinson-Durbin算法

(b)32二、Levinson-Durbin算法(c)为此，将式(a)的系数矩阵增加一行和增加一列，成为下式：33二、Levinson-Durbin算法式中利用前述的系数矩阵的特点，将式(c)的行倒序，同时列也倒序，得到34二、Levinson-Durbin算法

(d)35二、Levinson-Durbin算法将待求解的m阶Yule-Walker方程表示成式(c)和式(d)的线性组合形式，即

(e)36二、Levinson-Durbin算法或式中，是待定系数，称为反射系数。式(e)两边各右乘以m阶系数矩阵，得到

(f)37二、Levinson-Durbin算法由式(f)可求出由式(c)的第一个方程可求出从上面的推导中可归纳出由m-1阶模型参数求m阶模型参数的计算公式如下：38二、Levinson-Durbin算法对于AR(p)模型，递推计算直到p阶为止。39三、AR谱估计的自相关法已知N点观测数据和AR的阶数p，则AR谱估计可按下述步骤来进行：由已知的估计令

40三、AR谱估计的自相关法用代替L-D递推算法式中的，对于，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即和将这些参数代入下式，得到的功率谱的估计，即41三、AR谱估计的自相关法若在（0，2π）内对进行N点均匀抽样，则得到离散谱式中，。离散谱，用FFT计算42Levinson-Durbin算法流程图43三、AR模型阶次的选择FPE准则（最终预测误差准则）随着m的增加，使达到最小值时的。AIC准则（信息论准则）前者表征将随着m的增加而单调下降，后者表示计算误差将随着m的增加而增长。44五、AR模型谱估计的性质AR模型估计出的功率谱具有一系列好的性质，现分别讨论如下：平滑特性AR模型是一有理分式，估计出的谱平滑，不需要像周期图那样再做平滑或平均，因此，不需要为此去牺牲分辨率。45五、AR模型谱估计的性质

2AR模型功率谱的分辨率BT法的功率谱

的分辨率是随着信号长度N

的增加而提高的。而AR模型法避免了窗函数的影响，因此它可得到高的谱分辨率，同时它所得出的功率谱估计与真实的功率谱偏差很小。AR谱估计的频率分辨率，要优于经典谱估计方法。其原因在于求解AR模型参数的过程，实际上意味着将根据估计的按一定准则进行了外推。462.AR谱的分辨率经典谱估计：假定：分辨率反比于N

，即对间接法：分辨率还要降低47AR模型包含了对的“预测”或“外推”。实际上，这包含着自相关函数的“外推”。令：AR谱AR谱对应的自相关函数可以证明：AR模型自相关函数匹配性质48五、AR模型谱估计的性质3AR模型的稳定性AR模型稳定的充分必要条件是

的极点

必须在单位圆内，

而且这一条件也是保证了

是一

个广义平稳过程。

4AR谱估计与最大熵谱估计的等效性对于高斯随机信号，最大熵谱估计和AR模型谱估计是等效的。49五、AR模型谱估计的性质5AR模型谱估计方法的不足在实际应用时，发现AR模型在谱估计中存在一些缺点。有些缺点和模型本身有关，有些则和采用的求解模型参数的方法有关。AR谱估计的分辨率受到加性观测噪声的影响。求AR模型时所使用信号的信噪比越低，AR谱的分辨率越差。如果待估计信号是含有噪声的正弦信号，谱峰的位

50置易受初相位的影响，且在有的算法中还可能出现“谱线分裂（spectrallinesplitting）”的现象。通过算法的改进和其它一些措施可以较好的克服这些缺点。

谱估计的质量受到阶次p的影响。阶次太低，谱太平滑，反映不出谱峰。阶次选得过大可能会产生虚假的谱峰。512.3 线性预测前向线性预测后向线性预测格形滤波器52一、前向线性预测 已知n时刻以前的m个信号数据，用这m个数据来线性预测n时刻信号的值，如图所示，预测值为式中，上标f表示前向预测。53一、前向线性预测其预测误差为

(a) ——称此预测器为m阶前向线性预测器。

令，由此解得

将式(a)代入上式，得

54一、前向线性预测

(b)由最小均方误差的表达式及正交性原理可知

(c)联立式(b)与式(c)得

55一、前向线性预测

(d)——前向线性预测的Wiener-Hopf方程

解此方程则得m阶线性预测器的最佳参数及。56一、前向线性预测上式与AR模型参数的正则方程式极其相似，若令，则有，成立。这说明，对于同一个p阶的AR随机信号，其AR模型和同阶的最佳线性预测器模型是等价的。所以有

(f)即p阶线性预测器的输出是一个白噪声序列。57应等于AR模型激励白噪声的功率。由LP的含意，因此AR模型也可以看作是在最小平方意义上对数据的拟合；上面等效的含意是：由于LP包含了对数据的外推，因此，对应的谱估计所用数据的范围比实际的应有扩展，因此可以提高分辨率。线性预测器的误差序列等效于激励AR模型的白噪声序列；58一、前向线性预测结论：对于给定的随机信号，若其最佳前向线性预测器的阶次等于的AR模型阶次时，其前向线性预测误差为白噪声序列。所以阶次等于AR模型阶次的最佳前向预测误差滤波器实际上是AR模型的逆系统，即白化滤波器。

59AR模型白化滤波器线性预测器60二、后向线性预测与前向线性预测对应的还有后向线性预测器。即由n时刻以后的p个数据来预测，即式中，上标b代表后向预测。在实际工作中，总是用同一组数据来同时实现前向和后向预测，这样上式可改写为61二、后向线性预测预测误差但习惯上常将写成，即仿照前向预测器的推导方法，同样可导出下列公式：最佳均方误差及

62上述的关系还是集总平均。对实际的信号：单个样本有限长，求均值要简化，对取代

的范围？6364N点数据，前向预测误差序列范围6566上三角+中间块+下三角：上、下加窗；中间块：上、下不加窗；中间块+上三角：下不加窗、上加窗；中间块+下三角：上不加窗、下加窗；67二、后向线性预测对于实序列有及 若为复数序列，则

68三、格形滤波器对于p阶的前、后向预测误差，有如下递推公式成立式中，称为反射系数，。且691.格形滤波器结构702.格型滤波器的性质（1）各阶后向预测误差相互正交。用公式表示如下：各阶后向预测误差相互正交的结果，使滤波器前后级互相解耦，对于系统最小化问题化为一系列独立的对每一级局部最小化问题。用作自适应滤波时，各级可选用不同的自适应步长，使收敛速度提高。另外，为提高线性预测性能，需要增加一节或几节，可以只对新增加的级进行独立的调节，达到输出均方误差最小，无需再调节前面的系数。712.格型滤波器的性质

(2)平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。按照Levinson-Durbin递推公式，已知rxx(0)，k1，k2，…，kp，从一阶开始，可以推出全部的预测系数ap,1，ap,2，…，ap,p和σ2p，把得到的这些数据代入Yule-walker方程，可求得信号的自相关函数rxx(0)，rxx(1)，rxx(2)，…，rxx(p)。以上说明平稳随机序列可由自相关函数表征，也可由rxx(0)，k1，k2，…，kp表征。

(3)前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。722.4 Burg算法Burg算法的基本概念Burg算法存在的问题改进的协方差算法73一、Burg算法的基本概念基本思想 自相关法进行AR谱估计时，是遵循以下思路进行的：由观测的信号数据先估计自相关函数。根据估计的自相关函数，利用Levinson-Durbin递推算法求解模型参数、。由得出的AR模型参数计算信号的功率谱。74一、Burg算法的基本概念1967年提出的Burg算法在一定程度上改善了这种状况。它所遵循的计算思路是：由观测的信号数据先估计反射系数。根据估计出的反射系数，利用Levinson-Durbin算法递推出AR模型参数、。由得出的AR模型参数计算信号的功率谱。75一、Burg算法的基本概念由于在计算中避开了估计自相关函数，而直接从输入数据计算AR模型参数所以减小了计算误差，从而改善了的频率分辨率。Burg算法的另一特点是：使用前向、后向预测误差平方和最小的原则来估计，而不是象自相关法那样只按前向预测误差的方差最小的原则导出其正则方程。762.Burg算法的推导算法推导令应满足在上式中代入格形滤波器公式，可得式1772.Burg算法的推导估计出后，阶次m时的AR模型参数系数仍然由Levinson-Durbin算法递推求出，即有式(3)式(4)式(5)783.Burg算法的计算步骤计算步骤由初始条件，再由式1求出；由得时的参数由及式2求出和，再由式1

估计；依照式(3)~式(5)，求出时的参数、及；重复上述过程，直到，求出所有阶次时的AR参数。793.Burg算法的计算步骤若定义式(1)的分母为那么可以证明，可以由和递推计算，即这样，可以有效地提高计算速度。Burg算法的优点：频率分辨率高；所得的AR模型稳定；计算效率高。80Burg算法流程81二、Burg算法存在的问题

Burg算法由于避免了直接计算自相关函数，所以估计误差、频率分辨率要高于自相关法。但由于它仍然用Levinson-Durbin算法来求AR模型参数，因此，仍存在谱峰分裂与偏移问题。当使用单频正弦信号（周期为T）加白噪声作试验数据时，有如下规律：信噪比高时容易发生。由于此时谱峰突出，因此已不再是AR过程，而是退化的ARMA过程。82二、Burg算法存在的问题当信号长度（为采样周期）时，对任何整数k，任何的初始相位，谱峰无分裂。当信号长度，的初始相位为0或时，谱峰无分裂；当信号长度，的初始相位为的奇数倍时，谱峰分裂严重；N充分大时，分裂现象逐渐减弱。83三、协方差法与修正协方差法

1.协方差法

这种方法和自相关法一样，仍然利用使预测误差功率最小的方法求模型参数，但由观测数据求预测误差功率的公式如下式：将该式对比自相关法中求预测误差功率的公式，不同的是求和限不同。该公式中使用的观测数据均已得到，不需要在数据两端补充零点，因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。为求得模型参数仍然应用复梯度法使式达到最小，公式如下：841、协方差法式中

白噪声的方差为

851、协方差法由观测数据x(n)(n=0,1,2,…,N-1)，利用上面三个公式可以求出模型的参数：{api

(i=1,2,3,…,p)；σ2w}。按照定义，式中的cxx(j,k)可以称作协方差函数，它有两个变量，因此也适合于非平稳随机信号。式中的协方差矩阵是埃尔米特(Hermitian)矩阵，cxx(k,j)=c*xx(j,k)，是半正定的。这种方法近似于自相关法。一些实验结果说明它的分辨率优于自相关法，另外对于纯正弦信号数据，可以有效地估计正弦信号的频率。862、改进的协方差算法基本思想：由观测的数据直接估计，而不需要估计，从而无需使用Levinson-Durbin算法。具体说来，其思路是首先定义：然后，令也就是说，在令为最小时，不是仅令其相对为最小，而是令其相对都为最小（m由1至p）。

87

3.递推算法：由求，由递 推，还是直接由递推各算法之间的主要区别：1.的取值范围，即选择那一个？

2.仅用前向预测，还是前后向都预测？即 令最小，还是最小？？88

例

已知信号的4个观察数据为x(n)={x(0),x(1),x(2),x(3)}={2,4,1,3}，分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。解:（1）自相关法：89

(2)协方差法:902.5 ARMA模型谱估计噪声对AR模型谱估计的影响MA模型谱估计ARMA模型谱估计91一、噪声对AR谱估计的影响设是一个p阶AR过程，它被测量噪声污染后成为。即如果是方差为的白噪声，且与不相关，则有92二、MA谱估计的计算

(2.5.3) (2.5.4) (2.5.5)由式(2.5.3)得

(2.5.6)

93二、MA谱估计的计算将上式两边同乘以，并求均值，得

(2.5.7)

式中，。94二、MA谱估计的计算将x(n)样值响应代入，并注意到是方差为的白噪声，有

(2.5.8)对MA(q)模型，由式(2.5.4)

，得95二、MA谱估计的计算所以，可以求出MA(q)模型的正则方程，即有MA(q)的功率谱为

等效于经典谱估计中的自相关法，即MA谱估计等效为信号长度为q+1的自相关法谱估计。96三、ARMA模型谱估计ARMA(p,q)模型的差分方程式中，。类似地，可导出其正则方程如下：97三、ARMA模型谱估计式中，是系数和的函数，前q+1个方程是高度非线性的。从第q+1个方程开始是线性的，可以解出AR部分的系数，将上式中的第二个方程写成如下展开形式：(2.5.13)98三、ARMA模型谱估计上式虽然可解出AR部分的系数，但存在以下两个问题：由于式中的真实自相关函数是未知的，因此只能使用估计值来代替，且要用到大延迟的估计值（最大延迟是p+q），而对于给定的信号长度，这将造成估计很不准确。因而，也就不能得到AR部分系数的准确估计。

99三、ARMA模型谱估计式中阶次p和q都是未知的，需要事先指定。而p和q的不正确指定有可能导致式(2.5.13)的系数矩阵奇异。因此，在实际应用中，对式(2.5.13)采用更一般的形式，即取L个方程，这里，即式中， 100三、ARMA模型谱估计由此得到的最小二乘解为

求得ARMA(p,q)模型中的AR参数，余下的任务就是求解MA部分的参数。101三、ARMA模型谱估计利用求得的AR系数先得到一个FIR系统为序列经此FIR系统滤波，得到一个输出序列ARMA(p,q)模型与FIR系统级联，近似于模型。

102三、ARMA模型谱估计因此，可以利用输出序列估计自相关序列并按MA(q)模型谱估计公式来得到MA谱，即得到MA谱估计后，利用下式即可求得ARMA谱估计1032.6最大熵谱估计与最大似然谱估计一、最大熵谱估计

1.利用最大熵的原则外推自相关函数

按照Shannon对熵的定义，

当随机变量X取离散值时，熵的定义为

式中，pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为

（a）104一、最大熵谱估计式中，p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列，概率密度函数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性，最大熵代表最大的不确定性，或者说最大的随机性。下面我们研究对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为式中

105按照（a）式，x(n)信号的熵为

（b）

式中，det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式。上式表明，为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。106若已知N+1个自相关函数值rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为107它必须是非负定的矩阵，

即

将行列式展开，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函数，该二次函数系数的符号是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1,且det(Rxx(N+1))对rxx(N+1)的二次导数是-2det［Rxx(N-1)］，它是负值，负值表示det[Rxx(N+1)]对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det[Rxx(N+1)]作为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择rxx(N+1)使det[Rxx(N+1)]最大，解下列方程：108用数学归纳法，得到

上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。继续再将rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det[Rxx(N+2)]中，求det[Rxx(N+2)]对rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2)；以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零，这就是最大熵谱估计的基本思想。(2.6.7)1092.最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性

我们已经知道AR模型信号自相关函数与模型参数服从Yule-Walker方程，即m≥1m=0将m≥1的情况写成矩阵形式：

（2.6.8）110式中，ai=hA(i)，i=1,2,…,N，ai是AR模型系数。解该方程，可以得到模型系数ai，即111112在（2.6.8）式中，令m=N+1，得到

将以上求出的系数a1,a2,…,aN代入上式，求出rxx(N+1)。而最大熵外推自相关函数的公式是(2.6.7)式，按照该公式的最后一行展开，得到（2.6.12）113（2.6.13）上式即是最大熵外推自相关函数的公式，对比（2.6.12）式，两公式完全一样，证明了AR模型功率谱估计和最大熵谱估计的等价性。这里最大熵外推自相关函数等价于已知N+1个自相关函数，匹配一个N阶AR信号模型的系数。一旦通过解Yule-Walker方程，解出模型参数，最大熵谱估计用下式计算信号功率谱：（4.7.14）114

思想：最大似然谱估计是用一个FIR滤波器实现，该滤波器对所关心频率的正弦信号，可以无失真地通过，而对于其它频率的信号，让其频响尽可能地小，亦即将它们尽可能地滤除。此时，滤波器输出的均方值，就作为信号的功率谱估计。

二、最大似然谱估计——最小方差谱估计115MVDR滤波器原理

图M抽头的FIR滤波器FIR滤波器的输入为随机过程

，输出为

定义输入信号向量和权向量分别为

116则输出可表示为输出的平均功率可以表示为

117其中，

假设滤波器输入信号

为

其中，

是加性白噪声，

为复幅度。

118设感兴趣的期望信号是角频率为

的复正弦信号，

则选择滤波器权向量

的原则是

，使复正弦信号

无失真地通过滤波器，而尽量抑制其余频率的信号和噪声。

设信号

通过滤波器的响应为

，则

119定义向量则所以，当满足

时，

无失真地通过

滤波器。同时考虑到要使其它复正弦信号和噪声尽量被抑制，滤波器权向量应满足

(1)

约束

，这是为了使

无失真地通过滤波器；

120(2)

输出平均功率

最小，达到抑制其它频率信号和噪声的目的。考虑更一般的情况，设期望无失真通过系统的信号频率为

，且令

，此时，滤波器权向量

应满足

应用拉格朗日乘子法，构造代价函数为

121令梯度

，得

考虑到相关矩阵

是非奇异的，所以

将上式代入到

中

，得

122最优权向量为

滤波器的最小输出功率为

在工程实际中，常用

自相关矩阵的估计

替换

则最优权向量的估计为

123最大似然谱估计称为最小方差谱估计更为合适，但由于习惯也可以仍称为最大似然谱估计。而MVDR谱估计为应该指出，此时并不是真正意义上的信号功率谱，只是描述了信号功率谱的相对强度。

124算法（MVDR信号频率估计算法）

步骤1

由

个观测样本

相关矩阵

估计样本步骤2

在

内改变

，画出

，峰值位置

就是信号角频率的估计值。

；

1252.7 扩展Prony方法扩展Prony方法对于N点复数序列采用的估计模型是一组p个具有任意幅值、相位、频率与衰减因子的指数函数，即式中，为幅值；为相位（单位：弧度）；为衰减因子；表示振荡频率；代表采样间隔。126为叙述方便起见，先将上式写成如下形式

(a)式中，，。并定义特征多项式

(b)式中，。显然，式(a)中的即为此多项式的根。设实信号用x(n)表示，FIR滤波器系统函数用A(z)表示：

1272.7 扩展Prony方法由（a）式可得两边同乘，并求和，得上式等于零是因为第二个求和项恰好是式(b)位于根处的特征多项式。上式意味着，满足递推差分方程式1282.7 扩展Prony方法令，则该式表明：此过程是一个特殊的ARMA(p,p)过程。1292.7 扩展Prony方法不妨令可得这就将参数估计问题转化为AR模型参数估计问题了。当找到之后，利用特征方程式求出。然后，利用式(b)可构成以下方程：1302.7 扩展Prony方法式中，； ； 。这里Φ是一维Vandermonde矩阵。1312.6 扩展Prony方法使为最小的解为从而，正弦信号的振幅、相位、衰减因子与频率可由以下算法得出：振幅相位衰减因子频率1322.8 多重信号分类(MUSIC)法相关矩阵的特征分解基于信号子空间的频率估计基于噪声子空间的频率估计改进的MUSIC法133一 相关矩阵的特征分解基本思想：将自相关矩阵中的信息空间分解成两个子空间，即信号子空间和噪声子空间。设式中

134一 相关矩阵的特征分解可得自相关函数：式中，是第i个复正弦的功率。

若定义矢量

是由复正弦波的N个取样值构成的矢量，则可写为式中称为信号矢量

135一 相关矩阵的特征分解令是由的N个取样数据构成的矢量，即是由白噪声的N个取样值构成的矢量，即

由前述式可得的自相关矩阵为

136一 相关矩阵的特征分解若再定义信号自相关矩阵及噪声自相关矩阵如下：则、都是N阶方阵，其秩分别为M和N。而可写为

若，显然，是奇异的，但由于的存在而正定

137一 相关矩阵的特征分解现对方阵做特征分解，得：式中，为特征向量所对应的特征值，即并且且特征向量之间是正交的，即

138一 相关矩阵的特征分解由于的秩为M，故其特征值中必有个0。因此，可写成如下形式称为主特征向量。它所张的空间称为信号子空间，其维数为M；而由所张的空间称为噪声子空间，其维数为。显然，这两个子空间互为正交补空间。

139一 相关矩阵的特征分解对于单位阵I，也可表示为特征向量的外积，即因此，可表示为

140二基于信号子空间的频率估计若舍去特征向量，仅保留信号子空间，那么我们将用秩为M的相关阵来近似，这样可大大提高信号的信噪比。基于矩阵，再用前面所介绍的方法来估计的功率谱，将得到好的频率估计和功率谱估计。

141三、基于噪声子空间的频率估计对于的非零特征值所对应的特征矢量，有成立。从而可得因为标量，所以有

142三、基于噪声子空间的频率估计即信号子空间的基底可以表示为另一组正交基的线性组合。所以与