向量共线的条件

向量共线的条件第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二向量共线的条件与轴上向量坐标运算

引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知：平行向量基本定理如果，则；反之，如果()，则存在一个实数，使为什么要求第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二如果则如果则，如果的长度是长的一半，并且方向相反，则

第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二

给定一个非零向量，与

同方向且长度等于1的向量，叫做向量

的单位向量。1或如果向量

的单位向量记作，由数乘向量定义可知

单位向量第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二巩固练习判断下列命题是否正确（√）（×）（×）（1）向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。（2）向量与向量是共线向量则A、B、C、D四点必在一条直线上。（3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。（4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。（√）第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二CABMN证明：M、N分别是AB、AC边上的中点例题讲解（一）例1、如图所示，、是的中位线。求证：,且

第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二例题讲解（二）例2、已知试问向量与向量是否平行并求解：由得，代入得因此，与平行且定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数沟通了两个向量与的联系第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二轴上向量坐标运算

轴的概念规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴取单位向量,使的方向与同方向，根据平行的条件，对于轴上任意向量一定存在唯一数，使反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致。轴和数轴的区别想一想第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二当与同方向时，是正数当与反方向时，是负数

给定一向量能生成与它平行的所有向量的集合

这里的向量叫做轴的基向量。叫做在上的坐标（或数量）（其中）第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设于是，得如果则反之，如果，则

第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二OABC设是轴上的一个基向量,显然，，与绝对值相同，符号相反，即因为所以第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二Ox

设向量平行于轴，以原点为始点作则点的位置被向量所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数使，数值是点的位置向量在轴上的坐标，也就是点在轴上的坐标。Px第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为即数轴上两点距离公式为oA30BP于是得到第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二例题讲解三

例3、已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6，求的坐标和长度。O4-2-6解：第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二基础知识形成性练习1、把下列向量表示为数乘向量的形式（1）（2）（3）（4）第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二得（1）由（2）由得（3）由得（4）由得答案：第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二2、已知：在中，求证：，并且因为所以

AMNCB第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二3、在数轴上，已知求（1）（2）（3）（4）(1)

AB+BC=ACAC=3+5=8(2)AC=AB+BC=5+(-7)=-2(3)AC=AB+BC=(-8)+23=15(4)AC=AB+BC=-7+(-8)=-15第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二4、已知数轴上三点、、的坐标分别为求、、的坐标和长度设、、的坐标分别为第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二

提高练习已知两个非零向量和不共线，如果求证：三点共线向量与向量共线，且有共同起点故三点共线。解：第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二变式引申已知非零向量和不共线，欲使和共线，是确定的值。解：因为和共线所以存在实数，使则由于与不共线，只能有，则第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二开放创新

已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？解：假设存在这样的实数使与共线，要使与共线，则应有实数，使即由得故存在这样的使与共线第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二数学与日常生活

某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来，试问实际风速和风向。解:设表示人以每小时a公里的速度向东行驶的向量。在无风时此人感到的风速为。设实际风速为,那么此人所

感到的风速向量为.设，由于

从而BOPA这就是感到从正北方向吹来得风速。第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二由于，从而于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是由题意，得从而为等腰直角三角形，故即答：实际吹来的风是风速为的西北风。

第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二小结回顾向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数使=

定理内容本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴