探究匀速圆周运动的分运动

探究匀速圆周运动的分运动于正荣（江苏省盐城市伍佑中学224041）摘要高中物理教材教材在研究平抛运动时采用了运动的分解和合成的方法。然而在研究匀速圆周运动时，却避开了的这种方法，这究竟是什么原因？匀速圆周运动否存在分运动？本文拟对这个问题进行了相关探讨，并给出了四种特殊的分解结果。关键词

匀速圆周运动

运动的分解

等时性

平行四边形定则众所周知，匀速圆周运动是一种十分简单的运动形式，能否如果再对它进行运动分解呢？若能，其分运动会不会像分解平抛运动的那样简单？另外，高中物理教材《曲线运动》一章，在处理平抛运动时，强调将复杂的运动分解成几个（通常是两个）简单的运动，以使问题简化，然而，在紧接着研究匀速圆周运动时，却另砌炉灶，采用线速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了运动分解的处理方法，这又究竟是基于什么原因？带着这些问题，笔者对匀速圆周运动的分运动进了的有益探讨，供大家教学中参考。1分运动是两个周期相同、相互正交的简谐运动yAOxPα图1如图1所示，质点以O点为圆心、R为半径，沿逆时针方向做匀速圆周运动，从经过x轴上的A点开始计时，经时间t，相对圆心O转过α角运动到图1中的yAOxPα图1（1）（2）不难看出，如将该圆周运动分别沿x、y方向分解，则质点在x、y方向的运动就应分别满足（1）、（2）两式。再设匀速圆周运动的角速度为，有，则，，这正是简谐运动的方程。所以匀速圆周运动可以分解为两个相互正交、周期和振幅都相同、位相相差的简谐运动。yAOxPαMNθv1v2vθ图2实际上，高中教材在研究简谐运动时，曾提到了所谓的参考圆，即匀速圆周运动在yAOxPαMNθv1v2vθ图22分运动是两个周期相同、方向成任一角度的简谐运动设质点以原点O为圆心从x轴上的A点开始沿逆时针方向做匀速圆周运动，经时间t转过转过α角度运动到图2中的P点。将速度v分别沿平行于x方向、平行于MN方向（设MN与x轴成θ角度）分解，得到两分速度和，如图2所示。由于速度v与半径OP垂直、与x轴平行、与MN平行，所以v与成（）角，与图2中上方的水平虚线成θ角，v与成（）角。在由速度矢量v、以及图2上方虚线所构成的三角形中，根据正弦定理有：，解得：（3）（4）其中为定值，因此两分速度、都随时间t按余弦规律变化，对应的运动显然也是简谐运动，两运动分别沿平行于x轴方向、平行于MN方向，并且它们的振幅、周期也相同，位相相差θ角。所以匀速圆周运动可以分解为两个方向成任意角度θ的简谐运动。不难看出，前述的第一种分解实际上就是这里时的一种特殊情形。3分运动是两个周期相同、速度相互正交的匀速圆周运动yORα-θθvv1v2QPα图3Mθ设质点以速度v从O点出发，沿顺时针方向做匀速圆周运动，质点在O点时速度方向与x轴成θ角，将速度yORα-θθvv1v2QPα图3Mθ设质点的运动半径为R、圆心为P，由于PO与v垂直，所以OP与PM（PM与y轴平行）成θ角。再设质点从O点开始经时间t转过角到达Q点，则由几何关系可知PQ与PM成（）角，因此Q点的坐标为：（5）图4yOxv1图4yOxv1P1Q1αR1甲Ov2αP2R2Q2xy乙假设质点以速度从O点出发沿x轴正方向顺时针做圆周运动，如图4（甲）所示。设其半径为，经时间t转过角到达Q1点，因此Q1点的坐标为（7）（8）同理，再假设质点以速度从O点出发沿顺时针做圆周运动，如图4（乙）所示。设其半径为，也经时间t转过角到达Q2点，则Q2点的坐标为：（9）（10）将（7）、（9）两式相加有：（11）将（8）、（10）两式相加有：（12）由于分别以v、、各自做圆周运动的周期相同，所以有：，并且根据图3有：，，由以上两式得：、，代入（11）、（12）两式可得：，与（6）式比较有：（13）同理，不难计算，可得：（14）（13）、（14）两式说明任一时刻以速度v做圆周运动的位移，总等于分别以其分速度、各自做圆周运动的位移之和，所以匀速圆周运动可解为两个周期相同、速度相互正交的匀速圆周运动。4分运动是两个周期相同、速度成任意角度的匀速圆周运动本结论的证明采用前面的方法完全可行，但运算过程更加复杂，这里不作推导。为此，我们换一种方法予以证明：如图5所示，设质点从坐标原点O出发，以速度v（沿x轴正方向）做匀速圆周运动，将速度v分解，得到两分速度、，且、分别与v成、角。设质点再经任意时间t运动到Q点，这时我们仍可将此刻的瞬时速度v分解，使它的两个分量大小仍为、，且仍与v分别成、角。假设质点从O到Q相对圆心P转过角，不难看出，此过程合速度v以及两个分速度、也都同时转过了角，这说明匀速圆周运动的线速度v始终存在着这样的两个分速度：它们的大小以及与合速度v的夹角始终保持不变，并以相同的周期和旋转方向随着合速度v变化而变化。显然，这两个分速度、所对应的运动也是匀速圆周运动。α图5yvOQxv2vα图5yvOQxv2v1θ1θ2vv1v2θ1θ2P综上所述，匀速圆周运动尽管本身已经非常简单，但我们仍可对它进行分解。并随着分解方式的不同，分运动的复杂程度也不同，但结果都不如平抛的分运动那样简单、直观。正是基于这样的原因，在高中力学部分学习匀速圆周运动时，鉴于学生的认知水平和解决问题的烦难程度，教材采取了回避的态度，而不采用分解的方法处理匀速圆周运动，但由此也就产生了匀速圆周运动是一种最简单的运动而不能再进行分解的误会。其实，任何一种运动，原则上都可以对它的速度进行分解，分速度所对应运动就是它的分运动，不过如果分运动过于复杂，就失去了分解的意义。这一点，在学习圆周运动时，为消除学生的困惑，应该向学生作简要说明。