2023届广东省揭阳市高三下学期数学教学质量测试试卷及答案

高三下学期数学教学质量测试试卷一、单项选择题1.设集合，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

2.复数，那么的虚部为〔

〕A.

2

B.

-2

C.

D.

3.某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园〔不分先后顺序〕，请问进入校园的方式共有〔

〕A.

6种

B.

12种

C.

24种

D.

32种4.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为，，，如图2以为底向外作等边三角形，并去掉线段.在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段的长度为1，那么图3曲线的长度为〔

〕A.

2

B.

C.

D.

35.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原那么，总结临床经验，用假设干药物配制组成的药方，以到达取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤〞是由补气名方“四君子汤〞〔由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成〕和补血名方“四物汤〞〔由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成〕两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤〞的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤〞或“四物汤〞的概率是〔

〕A.

B.

C.

D.

6.在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量〔单位：毫克〕随时间〔单位：小时〕的变化情况如下列图.在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为〔为常数〕.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在〔

〕〔参考数值〕A.

42分钟后

B.

48分钟后

C.

50分钟后

D.

60分钟后7.在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，那么的最小值为〔

〕A.

48

B.

49

C.

50

D.

518.函数定义域为，满足，且对任意均有成立，那么满足的的取值范围是〔

〕A.

B.

C.

D.

二、多项选择题9.一组直线为，那么以该组直线为渐近线的双曲线有〔

〕A.

B.

C.

D.

10.等比数列的公比为，且，那么以下选项正确的选项是〔

〕A.

B.

C.

D.

11.设函数，在上有且仅有1个极大值点，那么以下四个结论中正确的有〔

〕A.

在内有5个零点

B.

在有2个极小值点

C.

在上单调递增

D.

可以取12.如图，设正方体的棱长为2，为的中点，为上的一个动点，设由点，，构成的平面为，那么〔

〕A.

平面截正方体的截面可能是三角形

B.

当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为

C.

点到平面的距离的最大值为

D.

当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形三、填空题13.抛物线的焦点坐标为________．14.数列满足：，那么的前100项和为________.15.长为的圆柱形木材有一局部镶嵌在墙体中，截面如下列图〔阴影为镶嵌在墙体内的局部〕.弦，弓形高，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为________.16.的内角，，所对的边分别为，，，且满足，，那么的面积的最大值为________.四、解答题17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，

▲

？18.数列的前项和为，且满足.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记，求数列的前项和.19.太阳能热水器因节能环保而深受广阔消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排〞的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时日照缺乏耗电5千瓦时耗电10千瓦时日照严重缺乏耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照缺乏的概率为，日照严重缺乏的概率为.2021年这一年的日均气温的频率分布直方图如下列图，区间分组为，，，，，.〔1〕求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；〔2〕用频率估计概率，该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？〔一年以365天计算〕20.如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.21.函数，.〔1〕假设直线是函数的切线，求的值；〔2〕判断函数的单调性，并证明.22.椭圆的离心率为，且经过点.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点〔异于椭圆的左、右端点〕.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值.

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】.因为，所以.故答案为：A【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求出集合A，再由交集的定义即可求出答案。2.【解析】【解答】因为，所以的虚部为-2.故答案为：B.【分析】由复数的运算性质整理再由复数的定义即可得出答案。3.【解析】【解答】因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有种情况.故答案为：D【分析】根据题意由乘法计数原理结合条件计算出结果即可。4.【解析】【解答】据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列的前4项，依题意得，，，.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度.故答案为：C.

【分析】结合题意由条件即可得出曲线长度组成的数列的项，再由数列项的性质求出结果即可。5.【解析】【解答】记取到的四味药刚好组成“四君子汤〞或“四物汤〞为事件.依题意得.故答案为：A

【分析】根据题意由概率公式代入数据计算出结果即可。6.【解析】【解答】把点代入中，，解得.所以当时，因为当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室所以，解得.至少需要经过分钟后，学生才能回到教室.故答案为：B.【分析】根据题意结合指数函数的解析式代入数据求出a的值由此得到函数的解析式，代入数值计算出t的值即可。7.【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，那么，，，，设，，因为，所以，，.因为，所以，，所以.当且仅当，即，时取等号.故答案为：B.

【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点的坐标，再由向量的线性运算结合根本不等式求出最小值即可。8.【解析】【解答】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故答案为：D.

【分析】根据题意由条件即可得出函数的对称性，再由函数单调性的定义即可得出函数的单调性，结合对称性以及单调性即可得到关于x的不等式求解出x的取值范围即可得到答案。二、多项选择题9.【解析】【解答】对于A：由可得的渐近线方程为，即，A符合题意；对于B：由可得的渐近线方程为，即，B符合题意；对于C：的渐近线方程为，即，C不符合题意；对于D：的渐近线方程为，即，D符合题意，故答案为：ABD.

【分析】由条件结合双曲线的简单性质对选项逐一判断即可得出答案。10.【解析】【解答】因为等比数列的公比为，且所以，，，，因为，A符合题意；因为，当时式子为负数，B不符合题意；因为，C符合题意；因为，存在使得，D不符合题意.故答案为：AC

【分析】由等比数列的通项公式以及定义整理即可判断出选项A正确B错误，再结合等比数列法人通项公式整理即可判断出选项C正确D错误，由此即可得出答案。11.【解析】【解答】因为函数的最小正周期，又因为在上有且仅有1个极大值点，所以函数的图象如下列图.所以在内有4个零点，在有2个极小值点，在上单调递减，由解得，.所以BD符合题意，AC不符合题意.故答案为：BD.

【分析】首先由条件结合正弦函数的图象即可求出周期，结合周期公式计算出的值，由图所示即可求出零点的个数再结合条件即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出最值以及所对应的角的大小，由此得到答案。12.【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系，延长与轴交于点，连接与轴交于点，那么平面由平面扩展为平面.由此模型可知A不符合题意，B，D符合题意.设点的坐标为，，，那么可知点到直线的距离为，那么可得的面积.，设点到平面的距离为，利用等体积法，即可得.那么，由在单调递增所以当时，取到最大值为.故答案为：BCD

【分析】根据题意以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于P点，连接PF与y轴交于点M,那么平面α由平面AEF扩展为平面APM,考虑F的位置，可判断AD；当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面为边长为的菱形，计算面积可判断B；由等积法VD-APM=VM-PAD,结合体积公式，计算可判断C，由此即可得出答案。

三、填空题13.【解析】【解答】

焦点坐标为.【分析】由抛物线的简单性质即可求出结果。14.【解析】【解答】解：因为，所以，，，，，，……可知数列是以3为周期的周期数列，且，所以故答案为：1.

【分析】根据题意对n赋值求出数列的项结合周期的定义即可得出，由此整理化简，计算出结果即可。15.【解析】【解答】设截面圆的半径为，点在线段上，，，根据垂径定理可得，解得，所以，那么有，故可得弧，结合木材长，可得答案为.故答案为：

【分析】首先根据题意由圆的几何性质计算出边的大小再由垂径定理计算出圆的半径，再由圆心角的个数代入数值计算出结果即可。16.【解析】【解答】由余弦定理可得，化简得，那么，那么的面积.故答案为：

【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出cosA，再由同角三角函数的平方关系计算出sinA的值，并把数值代入到三角形的面积公式，结合根本不等式即可求出最大值。四、解答题17.【解析】【分析】根据题意首先化简〔3c-2b〕cosA=2acosB可得cosA的值，条件①，利用辅助角公式可求得C，再利用正弦定理解题，条件②，可以利用二倍角公式计算sinC的值，再利用正弦定理解题．

条件③，可借助余弦定理构建一元二次方程，利用判别式△＜0判断三角形不存在．18.【解析】【分析】(1)由数列的前n项和公式以及定义即可得出数列的通项公式由此判断出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式代入数值即可得出答案。

(2)由(1)的结论整理即可得出数列的通项公式，再由错位相减法即可得出答案。19.【解析】【分析】(1)由条件的图表中的数据结合平均数的公式计算出结果即可。

(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。20.【解析】【分析】(1)根据题意由三角形中的几何关系即可得到线