《正态分布》的教学设计

《正态分布》的教学设计

今日我说课的内容是《正态分布》。下面我从教材分析、目标分析、教学方法、学法指导、教学程序等几个方面来汇报对教材的钻研状况和本节课的教学设想。

一、教材分析

正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的其次章《随机变量及其分布》的最终一节内容，前面学习了离散型随机变量，离散型随机变量的取值是可列的。今日我们会学习连续型随机变量，连续型随机变量是在某个区间内可取任何值。其重要的代表——正态分布。《正态分布》该节内容通过讨论频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念，然后，分析正态曲线的特点和性质，最终讨论了它的应用——随机变量落在某个区间的概率。

教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线。更直观，更易于解释曲线的来源。正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有特别广泛的应用。

二、目标分析

本节课是一节概念课教学，应当让学生参加争论、发觉规律、探究并总结出性质和特点。

教学目标：

1、理解并把握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并会画正态曲线。

2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

3、会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题。

力量目标：能用正态分布、正态曲线讨论有关随机变量分布的规律，引导学生通过观看并探究规律，提高分析问题，解决问题的力量；培育学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。

教学重点：归纳正态分布曲线的性质特点，把握3σ原则。

教学难点：正态分布的意义的理解和性质的应用。

三、教法分析

1.教学手段：运用多媒体帮助教学，增加教学的直观性，激发学生的学习兴趣。

2.教学方法：本节课主要采纳“引导发觉”与“争论探究”等方法组织教学。

3.学法指导:指导学生学会类比、观看、分析、归纳。

4．教学方法：探究式教学法

四、教学过程

（一）复习引入：

1、总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。

2、它反映了总体在各个范围内取值的概率．依据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

【设计意图】本节用到总体密度曲线的概念，因此先复习概念，便利引入新课。

（二）讲解新课：

1、由高尔顿板试验（教材P70面的图）导出正态分布密度曲线（正态曲线）。

2、观看总体密度曲线的外形，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。

3、正态分布

一般地，假如对于任何实数，随机变量X满意，

则称X的分布为正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2)。假如随机变量X听从正态分布，则记为X～N(μ,σ2)。

【设计意图】利用多媒体演示高尔顿板试验，引导学生观看、分析、类比、归纳，让学生亲身感受学问的发生过程，并探究得出正态曲线和正态分布的概念。

例1、给出以下四个正态分布的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（1）（2）

（3）（4）

答案：(1)0，1；(2)1，2；（3）-4，0.5；(4)1，

【设计意图】进展实例演练，稳固概念，进一步加深对定义、概念的熟悉。

4、阅历说明，一个随机变量假如是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就听从或近似听从正态分布．在现实生活中，许多随机变量都听从或近似地听从正态分布．例如

（1）长度测量误差；

（2）某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；

（3）肯定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；

（4）正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；

（5）某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都听从正态分布．

【设计意图】让学生了解到正态分布在实际生活中占有的重要地位。同时加深学生对正态分布的印象。

5、正态分布N(μ,σ2)是由均值μ和标准差σ唯一打算的分布。通过固定其中一个值，争论均值与标准差对于正态曲线的影响。

归纳出正态曲线的性质：

（1）曲线位于x轴的上方，与x轴不相交。

（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称。

（3）曲线在x=μ处到达峰值。

（4）曲线与x轴之间的面积为1。

（5）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）。并且当曲线向左、右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。

（6）μ肯定时，曲线的外形由σ确定。σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散。

进一步，若X～，则对于任何实数a>0，概率为区间内的面积。如图。

思索：对于固定的u和a，当σ变化时，P(u－a＜X≤u＋a)的大小如何变化？

当固定μ和a后，P(u－a＜X≤u＋a)随着σ的减小而变大。即X落在区间的概率变大，X集中在μ四周概率越大。

【设计意图】引导学生争论探究正态曲线的性质，探究过程中，指导学生明确图象性质主要包括“位置u”与“外形σ”两大内容，在推导曲线性质的过程中，可以熬炼学生观看、猜想、归纳的力量。

练习1：右图是当分别取值，，的三种正态曲线N(0,)的图象，那么xxx的大小关系是（D）

A．＞1＞＞＞0B．0＜＜＜1＜

C．＞＞1＞＞0D．0＜＜=1＜

练习2、某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求正态密度函数。（即标准正态曲线）

解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，

【设计意图】加深对性质、公式的`理解。

6、小概率大事的含义（3σ原则）

对于正态总体N(μ,σ2)，随机变量X取如下区间内的值时的概率为：

P(u－σ＜X≤u＋σ)＝0.6826，

P(u－2σ＜X≤u＋2σ)＝0.9544，

P(u－3σ＜X≤u＋3σ)＝0.9974，

因此可以看到，正态总体几乎总取值于区间（μ-3σ，μ+3σ）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种状况在一次试验中几乎不行能发生。在实际应用中，常认为听从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，这称之为3σ原则。

【设计意图】引导学生理解3σ原则，小概率大事。把握常见的计算问题。

例2、工厂制造的某零件尺寸X～N(4,)，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5）这个尺寸的零件大约有多少个？

分析：不属于区间（3，5）的概率为：

P(X3)＋P(X5)＝1-P(3<X<5)

＝1-P(4-1<X<4+1)

＝1-P(u－3σ＜X≤u＋3σ)

＝0.00260.003

即不属于区间（3，5）的有10000.003=3个

练习3、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~N(100，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（A）

A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]

练习4、已知X~N(0,1)，则X在区间（-∞，-2）内取值的概率等于（D）

A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.0228

【设计意图】实现讲练结合。常见的计算题都3σ区间有关，该例题和练习题体现了3σ知识的重要性，也加深了学生对公式的理解。

小结：1、离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述.

2、经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.

3、对于求正态分布在某区间内取值的概率，一般转化为在σ邻域内取值的概率求解.

练习作业：书本第74页1、3

课后作业：书本第75页习题2.4A组1,2B组2