2021-2022学年安徽省宣城市高二年级下册学期期末模拟数学试题含答案

2021-2022学年安徽省宣城市第二中学高二下学期期末模拟

数学试题

一、单选题

“祥，4=打2/+5工<0），=卜&<4.一D

1.已知集合Tl>,〔理J,则478=（）

A.-X/9B,«-2<x<0}c{x|x>-2}D.

卜一2T

【答案】A

【分析】先化简集合“、B,再去求/U8即可

A=^c|2x2+5x<o}=<x<o!

'==部>一2},

ZuB={x—/<x<0}口{x|，>-2}={x卜>—

故选：A.

2.已知a，6eR，a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（

Aci=\yb=—3BQ=-1/=3ca=-1,6==-3D.。=1,6=3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求

［详解］a+3i=-l+bi,而为实数，故。=T，6=3,

故选：B.

X

=y_

3.设1（XJ）,3=（内〃）,且£,右均为非零向量，则“京n"是的()

条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非

必要

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

2=上

【详解】若获一履则内=叼，则a〃兀满足充分性；反之，若。〃则〃、=叼，

不能推出加n,

x_y%=.

比如m=x=O,显然满足〃、=叼，但京=：无意义，不满足必要性：故“短一片”是“

£〃。’的充分非必要条件.

故选：A.

4.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量

的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱

和度一般不低于95%,在95%以下为供氧不足.当人体长时间处于高原、高空或深海

环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量.在

环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：义/）=$卢"描述血氧饱和度

S"）（单位：%）随给氧时间/（单位：时）的变化规律，其中*为初始血氧饱和度，

K为参数.己知$。=57,给氧1小时后，血氧饱和度为76.若使得血氧饱和度达到正

常值，则给氧时间至少还需要（）（结果精确到0.1,In4al.4,

In5«1.6）

A.0.4小时B.0.5小时C.0.6小时D.0.7小时

【答案】D

【分析】依据题给条件列出关于时间，的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的

小时数

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要"1小时，

由题意可得57砂=76,57eK'=95,两边同时取自然对数并整理，

764955

A：=ln—=ln-=ln4-ln3^=ln—=ln-=ln5-ln3

得573,573,

t=——x——句7

则In4-ln31.4-1.1,则给氧时间至少还需要0.7小时

故选：D

5.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛4｝：

14=1+-----—

1b2=\+----j-+-----「

4=1H---4---%4---

,,%,依此类推，其中

&eN，6=1,2,…）,则（）

A4<々B.4<4c.瓦<"2D.”<4

【答案】D

【分析】根据《€“(％=1,2,...),再利用数列也｝与%的关系判断包｝中各项的大小,

即可求解.

【详解】解：因为%©N*("=1,2,…)，

11

——>------

1al1

6Z1<6Z]H---14---

所以%、%,得到仇>为,

11

%H--->6H--------

%«2+-…

同理&3,可得仇<”,耳>"

1111

%>------L,%+—T<%+--------

2%%+—%+1

a34---。3H-----

又因为4%,

故

以此类推，可得4>4>与>">・••,4>4,故A错误；

4>打>4,故B错误;

11

%/+____*____

七十1

。6,得与<绿，故C错误;

11

%+-------i->/+----------—

CC->+—

%,得均＜&,故D正确.

故选：D.

6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，

后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大

若前=用或=瓦屉=3而

正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中则防=()

A

$+2

C.2525D.2525

【答案】D

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

BF=BC+CF=BC+-EA=BC+-（EB+BA'}

【详解】由题意4八,

—313—

=BC+-\——BF+

44

-BF=BC+-BABF=-BC+-BA

所以1642525

赤』+与

2525

故选：D.

5

m

x+—

7.已知X的展开式中常数项为20,则〃?=）

1

A.一3B.3C.3D.3

【答案】B

【分析】先求（T展开式中含x和久，然后可得卜的展开式中常数

项，根据已知解方程可得.

（X--）5小=qx5-r（--）r=（-1）'C-j

【详解】x展开式中第r+1项一,x

2T=-C3x=--

当、=2时，73=C5x=10x^=3时，45,1,

（wV1]io

x+—x——mxlOx---x%=1Ow-10

所以IX八xj的展开式中常数项为XX

所以10加—10=20,得机=3.

故选：B

8.已知各项都为正数的等比数列｛%｝满足%=4+2%,存在两项金，%使得

_____］n+2

Ji"=4《,则R+一厂的最小值为（）

11+2&26728

A.8B.15C.4D.15

【答案】B

1n+2

-----1-----

【分析】根据等比数列的知识求得机，〃的关系式，结合基本不等式求得〃，+2〃的

最小值.

［详解］因为四=“6+2%,所以4=2或q=T,

又4>°,所以4=2.

由用花=4%可知：击：2呀7=4%,所以加+〃=6,

则3+2）+〃=8,

1n+212,（m+2）+n（12、，

m+2nm+2n8\m+2n）

1222

+〃

〃

相+

-+++-+

8机22

+?+〃

112+2

〃

-3+++->-3+2+

8+282

114-2V2

=~8~,

n_2（加+2）

由一—一n—可得取等号时"=&（加+2）,但叫"WN*,无解；

26

又机+〃=6,经检验机=1且〃=5时有最小值15.

故选:B

9.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技

术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和

馆「的关系，其中7表示温度，单位是K；尸表示压强，单位是bar.下列结论中正确

的是（）

Igp

A.当7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,尸=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据了与电尸的关系图可得正确的选项.

【详解】当7=22°,尸=1026时，怆0>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当7=270,尸=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当7=300,P=9987时，他尸与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，7=30。时对应的是非超临界状态，故C错误.

当7=360,尸=729时，因2<吆尸<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

10.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3W/436,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

；8以][27811F2764'

，T

A.[qJB.HUjC.HJD.08,27]

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为3由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高

的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•••球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2。，高为

则产=2/+吃32=2a2+(3-h)\

所以6〃=/，2a2=l2-h~

V=-Sh=-x4a2xh=-x(l2——)x—=-/4——

所以正四棱锥的体积33③3669136人

V'=-(4/3--"|=-/3f

所以“6)916上

当3W/W26时，r>0,当26</W3百时，r<0,

64

所以当/=2后时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为不，

27

r=K=81

又，=3时，-4,/=3百时，-4,

27

所以正四棱锥的体积”的最小值为不，

'2764"

所以该正四棱锥体积的取值范围是I4'3_

故选：C.

4£_+/=1

11.已知椭圆253一的左、右焦点分别为片、Fz,第一象限内的点用在椭圆上,

且满足“耳,加耳，点N在线段々、尸2上，设1叫1,将△岫工沿MN翻折，使

得平面加7巧与平面MA的垂直，要使翻折后忻用的长度最小，则2=()

349

A.2B.2C.9D.4

【答案】A

【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得1川制、IS1翻折前，过点耳作

F'ALMN,垂足为点A,过点尸2作尸2&MN,垂足为点B,设NNMFL。，其中

0<0<一IrpI2

2,翻折后，利用勾股定理求出内々I关于夕的表达式，利用正弦型函数的有

界性可求得忻用厂的最小值及6的值，再利用角平分线的性质可求得4的值.

豆+J1"3八/-C="E巫

【详解】在椭圆253中，2,6=力，2,

.•.懈E|=2c=Vi5

\MF\+\MF^=2a=5

2

■MFt+\MF2f=\FtF2f=]3

MF】>\MF2\

因为九阴,岫，且点M为第一象限内的点，则,可得

\MFt=3

<

\MF2=2

过点勺乍垂足为点B,

|^/^|=3sin(y-^j=3cos0

则忸用=2sin6\BM\=2cos0

pA/|=3cos^y-0j=3sin^

所以=忸M|=|3sin6-2cosq

因为平面收明,平面MN耳，平面MA/n平面仆=MN,BF2u平面MN.

BFQMN,.•.8g_1平面的耳，

•.・8耳(=平面"屿，二8居_1瓦1又因为

.•.|耳闻2=|附2+|即『=|因『+同『+忸闾2

=9cos2。+(3sin。-2cos0、+4sin?6=13-12sin夕cos6=13-6sin2。

・:0<6<—20=—0=—\j717\r~

2,则°<29<)，故当2时，即当4时，内为取得最小值”，

则在翻折前，在△岫£中，MN为N耳鸣的角平分线，

Sw_M|阿|=33

所以，S&MNF2加6|阿闾2,即'-2.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为

自变量，将归用的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合三角函数的有界性来求

解.

6Z=O.le°',Z>=-,c=-ln0.9

12.设9,则()

A.a<b<cB.c<b<ac.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=1n(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定“，b，c的大小.

=_1____］=x

［详解］设/(乃二仙(1+幻_*(1>_1),因为'\'1+X1+X,

当xe(-l,0)时，f\x)>0t当xe(0,+a5)时f'(x)vO,

所以函数〃x)=m(l+x)-x在(0,+«)单调递减，在(T，0)上单调递增，

/(-)</(0)=0In--l<0->ln—=-ln0.9

所以9，所以99,故99,即6>c,

1919--1-1

/(一一)</(0)=0In—+—<0—<e10—e,0<-

所以10,,所以1010,故10,所以109,

故”6,

(X2-l)e'+l

设g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),则义")=('+»+7^1

x-1

令"(x)=e%--1)+1,h'(x)=ev(x2+2x-l)

当O<x<&-1时，〃(x)<0,函数心)=3,-1)+1单调递减,

当啦-1<X<1时，"(x)>o,函数依)=*/-1)+1单调递增,

又人(0)=0,

所以当0<x<也-1时，〃(x)<0,

所以当O<x<&-1时，g'(x)>。，函数g(x)=xe，+ln(l-x)单调递增，

所以g(0/)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以a>c

故选：C.

二、填空题

13.已知向量Z,否满足同=2,眄,|*=$则|”*.

【答案】不

【分析】根据向量模的计算公式即可解出.

【详解】由得，@+2屋呼|2=3,即4+2遍+1=3,解得：

ab=-\,所以=J寸一27B+B[=J4+2+l=>/7.

故答案为：力.

-1>0,

<3x-y-1>0,

14.若圆出(x-l)2+(y—4)2=a上至少存在一点尸落在不等式组।“+卜-74°表示

的平面区域内，则实数。的取值范围是.

【答案】&」

-x+-1>0,

<3x-y-\>0,

【分析】圆/与不等式组1x+y-7'°表示的平面区域有交点，作出图象易求得。的

取值范围.

【详解】作出不等式组的图象，如下图,

-x+y-120,

<3x-j/-1>0,

圆z与不等式组-7,°表示的平面区域有交点,

|3xl-4-l|V10

可知圆的圆心为“（L4）到直线3x-y-l=0的距离为：M5

（x+y-7=0Jx=3

由f-x+V-J。，解得：卜=4,所以8（3,4）,同理£>（1,2）,

则圆心A与可行域内的点的距离的最大值为=2,

里匹42[1,4

所以5,即实数。的取值范围是：L5J

1,4

故答案为：L5J.

15.已知。>0,点4,8,C是函数/（x）=c°sQ0x）与g°）-cos（兀s的图象中

连续相邻的三个公共点，若A/IBC是钝角三角形，则。的取值范围是.

[。当

【答案】I

CD=­cos（兀ox）=±—

【分析】画出图象，求出。，根据两函数相等得到2,从而求出

'°=2»/=6，根据"8C为钝角三角形，只需Z.ACB<兀4,从而得到G"<1,求

0<<y<—

出3.

【详解】如图，记48,C为连续三交点（不妨设点8在x轴下方），。为4C的中点.

/C=T=2兀=2CDCD=--

由对称性可得A/5C是以£）B为顶角的等腰三角形，一一兀。一，一。，

cos（兀GX）=COSn（f）x-—/、A./、

由'）13人整理得cos（兀3x）=‘3sin（7uwx）,

COS（兀0X）=±U~

得''2,

G「

贝产f=E,所以如21Mq

ZACB<-XanZACB=—=4i（o<1

要使A/8C为钝角三角形，只需4即可，由DC

y

16.已知〃x)为奇函数，当时，"x)=lnx,且/⑴关于直线x=l对称，设

/3=》+1的正数解依次为*1、*2、X3、一、z、_,则幽)=

【答案】2

【分析】根据题意可得函数/(X)是以4为周期的周期函数，作出函数/(X)的图像，

结合图像可知!吧a"”一%)的儿何意义为函数/a)两条渐近线之间的距离，从而可得

出答案.

【详解】解：因为/⑴为奇函数，所以/(x)=-/(r),且“°)=°,

又“X)关于直线x=l对称，所以/(l+x)="l),

所以7(2+x)=/(-x)=-/(x),

则/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

所以函数/（X）是以4为周期的周期函数，

作出函数y="x）和y=x+i的图像如图所示：

由/（X）=X+l的正数解依次为X】、X?、》3、…、七、…,

则:史”加一匕）的几何意义为函数/（X）两条渐近线之间的距离为2）

所以陋（加一匕）=2.

17.某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参

加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：

男性女性合计

文艺活动1530

体育活动2010

合计

（1）补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动的类型与

性别有关？

（2）在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人

接受采访，记抽到参加文艺活动的人数为X,求X的分布列与期望.

附：

F00000

k356711

K2=______n(ad-bcf______

(a+b)(c+")(a+c)0+4),其中〃=q+b+c+".

【答案】(1)填表见解析；在犯错的概率不超过65%的前提下，可以认为参加活动的类

型与性别有关

9

(2)分布列见解析：期望为7

【分析】(1)先直接补齐联列表，然后计算K?,即可求解；

(2)先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取值为

0,1,2,3,再求出每个值所对应的概率即可求解

【详解】⑴依题意，2x2列联表如下：

男生女生合计

文艺活动153045

体育活动201030

合计354075

75x(15x10-30x20)2

8.036>7.879

45x30x35x4028

故在犯错的概率不超过06%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关.

(2)因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名，用分层抽样方

法抽取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取

值为0,1,2,3,

所以「口号方-A管18

35

生q=t，尸"3)爷

p(X=2)=

35

所以X的分布列为

4

0123

4118cl2”1_9

E(X)=0xF1x1~2xF3x—=一

所以,)353535357.

18.如图，在四棱锥P-N8S中，底面N8CO为矩形，

AD=PD=2,CD=\,PC=45t点E为线段PC上的点，^BCLDE

(1)证明：平面尸COJ•平面48CZ)；

(2)若3屈=方，且在线段8c上存在一点°,使得以〃平面。£。.请确定点。的位置.并

证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

(2)0为8C中点，证明见解析

【分析】(1)先证明8C，面尸。即可证明结论；

(2)取/C三等分点，，使得///=2C4,连接E”,进而得以〃平面再延

长DH交BC于点Q,利用三角形相似求解即可.

【详解】⑴证明：T/BCD为矩形

BC1CD

又・.•BCLDE,CDcDE=D

•*-平面PC。，

BCu平面/BCD

平面PCD,平面/8CD

(2)解：取/C三等分点"，使得""=2。”，

连接EH,EH〃PA,EHu平面EHD,PA<2平面EHD,则PA//平面EHD

延长。“交8c于点0,

CQ=CH_-LCO'AD'BC

・・•△DHASAQHC,：,AD-AH-2,即,一22

为BC中点

19.记A48C的内角4&C的对边分别为a,瓦c,己

知sinCsin（力一B）=sinBsin（C-A）

⑴证明：2a2=b2^c2.

zy-SuAA-_2_5

⑵若一’一31,求“8C的周长.

【答案】⑴见解析

⑵14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从

而即可得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出6c,从而可求得6+c,即可得解.

【详解】⑴证明：因为sinCsin（4-8）=sin8sin（C-Z）,

所以sinCsinZcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCeosJ-sin5sinAcosC,

ac

所以lac2bclab

+C"一b~Z,222\a+/>2—c"

「一-w+j)=-一1一

即

所以2a-2；

a=5,cos/=—

(2)解：因为31,

由(1)得、+C2=50,

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA,

50--he=25

则31

,31

be=—

所以2,

故(He)』—八50+31=81

所以6+c=9,

所以"8C的周长为。+6+c=14.

2_+x

20.记年为数列加"｝的前〃项和，々为数列优｝的前〃项积，已知S”却

（1）证明：数列'J是等差数列；

（2）求｛""｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）

—+—=2S„=-^—b=3

【分析】（1）由已知5，也，得”2勿-1,且勿=0,取〃=1,得「2,由题意得

2b22b„2b川=b“+、

2々-12b「12b„-l”，消积得到项的递推关系2%-1"，进而证明数列也｝是

等差数列；

（2）由（1）可得a的表达式，由此得到5,的表达式,然后利用和与项的关系求得

f3.

5，〃=i

-----1---〃〉2C

〃（〃+1）'―

【详解】（1）［方法一］:

3=2

由已知S，a得2〃,-1,且〃尸0,"2,

_b=3

取〃=1,由£=”得।2,

由于“为数列｛$｝的前〃项积，

所以纥-12&-12b„-\",

2bl2bl2—+、_b

所以VS-l…2加-「””，

2aMA

所以2aM-i",

由于4+尸°

所以2%T»,即b"+'~b"~2，其中neN'

3d--

所以数列｛'｝是以々=5为首项，以一5为公差等差数列;

［方法二］【最优解】：

由已知条件知"=E・S?•S3••…S.T・sn①

于是如=E@S••…S,I（”22）,②

-=s

由①②得%"n.③

21一

----1—=2

又s〃”,④

,,1

D—D।=一

由③④得2.

b=3

令〃=1,由'=4,得「2.

所以数列也，｝是以3为首项，万为公差的等差数列.

［方法三］:

21S

—+—=2b,=",

由S〃bn,得2s〃一2,且S〃*0,b产0,S,产1

b二〃二1

又因为，=SJS,I.......£=S,也T,所以"IS„2S,,-2,所以

bn-bn,=—----------5—=1、=-(n>2)

“"T2S„-22S„-22(5,,-1)2

—+--2b=S=)

在S,b„中，当"=i时，112.

31

故数列自才是以2为首项，5为公差的等差数列.

［方法四］:数学归纳法

_L+J_=2S=2b”_3.2

由已知S”〃,得"2〃，！巧=2,4一5,猜想数列也｝是以，为

1b=-n+\

首项，2为公差的等差数列，且n2.

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时显然成立.

j1.i《+2

h.=—卜+1凡=---

假设当”=%时成立，即2k+\.

bM=4sAi=&+1)A+3左+31/71、1

—=-(i+l)+l

那么当〃=a+1时,k+2

综上，猜想对任意的〃wN都成立.

31

即数列｛〃｝是以2为首项，5为公差的等差数列.

⑵由(I)可得，数列也1｝是以为首项，以一彳为公差的等差数列,

A=—+(72-1)X—=I+—

"2v722,

S二2b“=2+〃

〃2b“一I\+n

a,=Sc.=—3

当M=1时，2,

2+〃l+I

an=Sn-Sn-｝=---------=一一/一\

当后2时，J"""(〃+'显然对于片1不成立，

--7~n,/7-2

•••

【整体点评】

Z+_L=2s“=2

(1)方法一从S〃b"得"2〃-1,然后利用”的定义，得到数列也,｝的递推关

系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论：

-^-=S—+—=2b-b=—

方法二先从"的定义，替换相除得到4T“，再结合S>>得到"a2,从

而证得结论，为最优解；

21cz.S“b1

--1—=2b=------Lb,n=—=-----

方法三由S”b"，得2s"-2,由”的定义得S„2s“-2,进而作差证

bn=—n+1

得结论；方法四利用归纳猜想得到数列2,然后利用数学归纳法证得结论.

(2)由(1)的结论得到2,求得S”的表达式,然后利用和与项的关系求得

｛%｝的通项公式；

21.圆。：f+y2=4与X轴的两个交点分别为4(-2,0),4(2,0),点M为圆。上一

NR=-NM

动点，过“作x轴的垂线，垂足为N,点衣满足2

（1）求点尺的轨迹方程；

（2）设点R的轨迹为曲线C,直线》=叼+1交C于p,。两点，直线4P与40交于点

S,试问：是否存在一个定点T,当胴变化时，47S为等腰三角形

2

X21

—+V=1

【答案】（1）4'

（2）存在，证明见解析

【分析】⑴设点〃（X"。）在圆一+/=4上，故有片+诉=4,设&（X/）,根据题

意得x=x。，'一子’°,再代入圆=4即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况;

再在斜率存在时，设直线/的方程为、=叩+1,与椭圆联立得：

（加+4）y+2吵-3=0,凹+%-病+4,必％-川+4,再根据题意求解判断即可.

【详解】（1）设点在圆/+/=4上，

—•1——•1

故有得标4,设代J）,又顺=5皿，可得xf,1/。，

即x°=x,y0=2y

代入片+或=4可得/+Q垃=4,

X2,X2,,

---y2=1---by=1

化简得：4",故点R的轨迹方程为：4•.

（2）根据题意，可设直线/的方程为》=叩+1,

X+旧_旧X6

可得直线4P的方程为'-_T6%+T,直线42的方程为'一三”