浙江概率论与数理统计第三章习题课件

X

01Y

15/361/36

025/365/36P{X=i}5/61/61P{Y=j}

5/6

1/6X和Y的联合分布律列表如下(2)不放回抽样P{X=0,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=0,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=1,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=1,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)X

01Y

110/661/66

045/6610/66P{X=i}5/61/61P{Y=j}

5/6

1/6(1)(2)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由)16(1)X和Y的边缘分布如下所示解

(1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值(i,j)(i,j=0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立.(2)P{X=1,Y=0}=10/66P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36故不放回抽样X和Y不相互独立.3.设随机变量(X,Y)的概率密度为(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1,5};(4)求P{X+Y4}.解(1)由归一性2x42y故k=1/8.(2)P{X<1,Y<3}(3)P{X<1,5}(4)P{X+Y4}=Dx+y=4G2x42y(1)(2)(3)(4)(5)求分布函数2x42y(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<时,F(x,y)=0.(2)0x<2,2y<4时,2x42y(x,y)(1)(x,y)(2)(3)x2,2y<4时,2x42y(x,y)(3)(4)0x<2,y4时,2x42y(x,y)(4)(5)x2,y4时,2x42y(x,y)(5)总之6.将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.解先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下:样本点eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

X

22111100

Y

32221110

p

1/81/81/81/81/81/81/81/8Y0123X0121000000P{X=i}P{Y=j}由表中可知,X所有可能取的值为0,1,2,Y所有可能取的值为0,1,2,3.X,Y的联合分布律如右表所示.(X,Y)关于X的边缘分布律可用X=i时Y取所有可能取的值的概率相加而得;(X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y=j时X取所有可能取的值的概率相加而得.

pk

0123Y

pk

012X也可以单独列表如下:7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求边缘概率密度.解f(x,y)0的区域G如右图所示xyx=yG019.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.解如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域D(1)由归一性xoy1-1y=x2y=1D故c=21/4.(2)0,其它0,其它10.将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为P{Y=j}1.00P{X=i}0.180.150.35Y

5152535455X

510.060.050.050.010.01

520.070.050.010.010.01

530.050.100.100.050.05

540.050.020.010.010.03

550.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;

(2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.

解

(1)关于X的边缘分布律见表右,0.120.20

pk

5152535455X0.180.150.350.120.20关于Y的边缘分布律见表下,也可以单独列表

pk

5152535455Y0.280.280.220.090.130.280.280.220.090.13(2)

X=i5152535455P{X=i|Y=51}列表如下11.以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为m=0,1,2,…,n;n=0,1,2,….

(1)求边缘分布律;(2)求条件分布律;(3)特别,写出当X=20时,Y的条件分布律.解(1)P{X=n}(n=0,1,2,…)(2)P{Y=m}(m=0,1,2,…,n)k=n-m(2)当Y一定,即m=0,1,2,…时P{X=n|Y=m}(n=m+1,m+2,…)当X一定,即n=0,1,2,…时P{Y=m|X=n}(m=0,1,2,…,n)(3)特别,当X=20时,P{Y=m|X=20}(m=0,1,2,…,20)13.在第9题中(1)求条件概率密度fX|Y(x|y),特别,写出当Y=1/2时X的条件概率密度;(2)求条件概率密度fY|X(y|x),特别,分别写出当X=1/3,X=1/2时Y的条件概率密度;(3)求条件概率P{Y1/4|X=1/2},P{Y3/4|X=1/2}.解第9题已求得(X,Y)的概率密度和分别关于X和Y的边缘概率密度(1)只有当fY(y)0,即当0<y1时才有意义,此时fX|Y(x|y)x2y特别,当Y=1/2时,fX|Y(x|y=1/2)(2)只有当fX(x)0,即当-1<x<1时才有意义,此时fY|X(y|x)当X=1/3时,fY|X(y|x=1/3)当X=1/2时,fY|X(y|x=1/2)(3)P{Y1/4|X=1/2}P{Y3/4|X=1/2}14.16(2)设随机变量(X,Y)的概率密度为求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).解如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域GxyGx=yx=-y11-10先求边缘概率密度当|y|<1时当0<x<1时问第14题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由)解故X和Y不相互独立.18.设X和Y是相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为(1)求X和Y的联合概率密度;(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.解(1)(2)方程a2+2Xa+Y=0中a有实根的的条件是判别式4X2-4Y0,即X2Y.11G故所求概率为=1-0.8555=0.1445标准正态分布函数xyy=x2DO22.设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为求随机变量Z=X+Y的概率密度.解法一:ozx11x=z当0x1时,fX(x)0;当x<z时,fY(z-x)0.总之,只有当0x1且x<z时,即在图示阴影区域中,被积函数才不为零,从而fZ(z)才不为零.显然,z<0时,fZ(z)=0.0z<1时,z1时,法二:只有当z-1yz且y>0时,即在图示阴影区域中,被积函数才不为零,从而fZ(z)才不为零.总之0,其它fZ(z)=ozy1y=zy=z-1显然,z<0时,fZ(z)=0.0z<1时,z1时,28.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布N(0,2).试验证随机变量具有概率密度我们称Z服从参数为(>0)的瑞利(Rayleigh)分布.解由于X,Y相互独立先求Z的分布函数FZ(z)=P{Zz},由于非负,故z<0时,FZ(z)=0;z0时,FZ(z)=P{Zz}xyzG总之zfZ(z)o

31.对某种电子装置的输出测量了5次,得到结果为:X1,X2,X3,X4,X5.设它们是相互独立的随机变量且都服从参数=2的瑞利分布(其密度见28题).(1)求Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数;(2)求P{Z>4}.解由28题参数=2的瑞利分布的概率密度为其分布函数为(1)由于Xi(i=1,2,3,4,5)相互独立且都服从参数=2的瑞利分布.故Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数(2)P{Z>4}=1-P{Z4}=1-FZ(4)=1-(1-e-2)5=0.5167或P{Z>4}=1-P{Z4}=1-P{X14,X24,…,X54}33.35.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,….P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为证由于{Z=i}={X+Y=i}={X=0,Y=i}∪{X=1,Y=i-1}∪…∪{X=i,Y=0}显然,{X=0,Y=i},{X=1,Y=i-1},…,{X=i,Y=0},两两互不相容,由加法定理得到由于X,Y相互独立,P{X=k,Y=i-k}=P{X=k}P{Y=i