2022-2023学年安徽省宿州市泗县高二年级下册学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省宿州市泗县高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1.一个质点运动的位移s（单位：米）与时间1（单位：秒）的关系可用s=3-2f+*表示，那么质

点在，=3秒时的瞬时速度是（）

A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒

【答案】D

【分析】根据导函数的几何意义，对s进行求导代入/=3即可.

【详解】解:因为函数s（'）=3-2f+*,所以”>-2+2/，

当f=3时,s，（3）=-2+2x3=4,

故物体在t=3秒时的瞬时速度为4米/秒.

故选：D

+⑴二］

2.已知函数，=/G）可导，且'％心,则曲线，=/（x）在点a，。））处的切线倾

斜角为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在（L/°））处的切线斜率，结合斜率的定义

即可求解.

,由蚂fl

可得/‘°”】,

则曲线，=/G）在（L/0））处的切线斜率为1,

由tan6=l（，为倾斜角）,匹［0°，180°）,可得。=45。.

故选：A.

3.在等差数列｛""｝中，若的+%=8,、=6,则几=（）

A.40B.50C.60D.70

【答案】B

【分析】先利用等差数列的性质求出色,再继续用等差数列的性质求品）.

【详解】由等差数列性质可得%+%=2%,又如+%=8,

所以2%=8,

故％=4,又0=6,

所以HO=M^^=5Q+4）=5X（4+6）=5O

故选：B.

4.求值：1-3+5—7+9—11H-F2021—2023+2025=（）

A.1013B.-1012C.-1013D.1012

【答案】A

【分析】利用分组求和法求解即可.

【详解】1-3+5—7+9—I1H---+-2021—2023+2025

=（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（2021-2023）+2025

=-2x506+2025=1013.

=1013

故选：A

5.若函数/（"）=/一/'（1）/+3,贝〃（1）=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由条件利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数求ro）,再由解析式求/（1）即可.

【详解】由题意可得（a）=3x2_2/'（1卜，

则以1）=3-2/'0）,解得/'OR,

所以小）=丁-/+3

所以/。）=3.

故选：C.

6.己知递增等比数列｛"J4>0,6。7=64,%+%=20,则S$=（）

3131

A.31或16B.16C.32D.31

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质可得%9=64,解出公比g,进而求出卬，结合等比数列前〃项求

和公式计算即可求解.

【详解】设递增等比数列｛“"｝的公比为公

由等比数列的性质%%=64,

J%=4Ja3=16

...%+。5=20,...［。5=16或［%=4,

2■+1

因为牝=做，...g=±2或2,

因为何｝是递增的等比数列，则《=2,%=4,45T6

由％>0,%=《42=4得4=1,

S$

所以

故选：D.

7.已知£是等差数列｛%｝的前，项和,且％<0,《+阳>0,则下列选项正确的是（）

A.数列｛“"｝为递减数列B.%<°C.S”的最大值为$7D.

儿>0

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质可得%+%>°,则即可判断AB；根据数列的单调性即可判

断C；根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.

【详解】A：“eN*,在数列｛""｝中，%<0,且%+心=%+%。>°,...%>°

...公差d=A-%>0,数列也，｝为递增数列，故A错误;

B：由A选项的分析知，%+%>°,得约故B错误;

C：当1W及7时，当〃次时，所以S”的最小值为S?,故C错误;

14(q+qj

D：5,4=7(d+4)>0

2,故D正确,

故选：D.

8.已知数列｛%｝满足生=1（2""+1）°向=""，令"=\限,则数列也，｝的前2023项和

$2023

()

4046202220234045

A.4047B.4047C.4047D.4047

【答案】C

【分析】由（2°，，+1）《，+尸””变形为久,进而可求“"-五二T,最后用裂项相消法求得结果.

［详解】因为数列｛""｝满足（2%+1）°田=久,

-L-±=21=1

所以2%乜川+。用=。“，即a用4,4,

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列,

••=2"-1a=——!——

所以见,则"2〃-1,

因为".=。〃用，则b„=(-2"--+1J)(-2〃----1)-=-2(2-〃-1---2〃—+11人

slfj_ll_l____1__________11]

数列也｝的前2023项和.一=八丁+丁子+…+2x2023-1-2x2023+1厂丈"2x2023+lJ

2023

-4047.

故选：C

二、多选题

9.下列函数求导运算正确的是()

jx+之]=1+彳(tanx)=—^―

A.IX)xB.cos2x

2

C(e-«)=e-显d(xcosxj=-2xsinx

【答案】BC

【分析】根据求导公式和法则，结合选项依次求导即可求解.

（x+一）'=l--

【详解】A：X厂，故A错误;

/、，sinx.,cos2x+si.n'2x1

(tanx)r=(z——S

B：cosxCOS-Xcosx,故B正确;

(e*_=e*_(x；y=e-x*=e*--\=

c：22jx,故c正确；

D.(x2cosxY=2xcosx-x2sinx故D错误

故选：BC.

10.设公比为g的等比数列｛"”｝的前〃项积为［，，若《为=16,则()

A.%=4B.当4=1时，4=±应

C.唾2园=18D4+端》32

【答案】BCD

【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC,根据基本不等式的应用判断D.

【详解】A选项：因为“；=4%=16,所以牝=±4,所以A不正确；

B选项：因为4=1,《％=16,则4因8=16,所以4*=16,所以g=±&,所以B正确；

C选项：因为勾=卅2……,所以园T蜀=2：所以1%园=18,所以c正确；

D选项：。；+。；22%%=2。4=32,当且仅当的=%时，等号成立.所以D正确.

故选：BCD.

11.已知数列也｝满足q+2/+…+2"a=〃.2"T,则()

A.a<=4B.｛""｝的前8项和为88

C.卜)"J的前12项和为T4D.也一地｝的前16项和为168

【答案】ABD

【分析】根据J与凡的关系求出数列的通项公式为4=2〃+2,结合等差数列的性质、等差数列前

〃项求和公式计算，依次判断选项即可.

【详解】由4+2/+…+2'1。,,=〃2川得：

当“22时，4+2a2+…+,

两式相减得2"%，，=〃.2'川一("1>2"=(〃+1>2",

故4=2〃+2,(〃32),,当〃=i时，4=4也符合，

故4=2〃+2.

对于A,%=4,故A正确;

(4+18)x8

对于B,｛""｝的前8项和为=88

2,故B正确;

对于C,17）/｝的前12项和为（-q+"2）+（-%+%）+…+（-"U+%2）=6X2=12,故c错误:

对于D,当%T0=2〃-8>0,解得〃>4,

10-«,l<«<3^.

|a-T0|=nN

a-10,z?>4

所以n

所以"“-1明的前16项和为

(10-《)+(10-4)+(10-。3)+(«4-10)+(a5-10)---+(a16-10)

=(6+4+2)+(0+2+4+---+24)=12+^^^=168

故D正确.

故选：ABD.

12.已知数列｛%｝是首项为1的正项数列，“向=2%+3,E，是数列｛"J的前”项和，则下列选项

正确的是（）

A.%=13B.数列应+3｝是等比数列

C,«„=4«-3D.S“=2'+2-3〃-4

【答案】ABD

【分析】由已知变形可得0向+3=2（/+3）,根据等比数列定义判断B,结合等比数列通项公式可

求出数列｛"”｝的通项公式判断AC,根据等比数列求和公式和分组求和法求和以及前〃项和判断

D.

【详解】•••^>=2^+3,

..,+1+3=2（。,+3）,又4+3=4,

...数列也,+3｝是等比数列，所以B正确;

...《,+3=4X2"T,

二g=2"”-3,所以c不正确；

.•.“3=13,所以A正确；

...5„=22-3+23-3+24-3+---+2n+'-3,

.5„=22+23+24+---+2,,+I-(3+3+3+---+3)

片一…一3〃一4

所以D不正确.

故选：ABD.

三、填空题

Inx.

y=-----+xex,

13.已知函数x，则卜=.

当+（x+w

【答案】X

【分析】根据求导公式和运算法则对函数进行求导即可求解.

【详解】由题意知,

(lnx)'x-lnx-(x)'

户g+(xe')，=+x'e、+x(e、)'

Xx2

1-Inx1-lnx、*

=——--+ev+xev=——--+(Z1l+x)e

xx

1-lnxx

——+(l+x)ev

故答案为：工

14.已知函数y=/G）的图象如图所示，/'（X）是函数f（x）的导函数，0=2/'（2）,6=2/'（4）,

C=/（4）一/（2）,则关于a，b,C排序正确的是

【分析】根据图象可知/a）在（°，+8）上单调递增，利用两点表示直线斜率公式和导数的几何意义,

结合图形，即可下结论.

【详解】由图象知/a）在（°，+09）上单调递增,

“4）-/（2）

又过点（2J（2））和点（4J（4））的直线的斜率为4-2,

由导数的几何意义，知/'（2）为曲线y=〃x）在（2J（2））处的切线方程的斜率,

/（4）为曲线了=/G）在（4，/（4））处的切线方程的斜率，如图,

/XU</'（4）

即2/,⑵</(4)-〃2)<244)

故答案为：a<c<b

S“2〃+3

15.已知两个等差数列㈤｝和包｝的前〃项和分别为S”和不，，若看"3,则

a.

11e

【答案】6##6

【分析】根据等差数列的性质和应用，结合等差数列前〃项求和公式计算即可求解.

【详解】•••等差数列｛""｝和色｝的前〃项和分别为邑，T，,

S„_2n+3

由T""+3,

4=24=4+/=2(4+阳)

b「2bj；鱼+地)

得

故答案为：6.

16.已知数列伊“满足％=L2+。〃，则下列结论正确的有

1

②｛%｝的通项公式为“"一五工;

①1%J为等比数列;

③包｝为递减数列：④包｝的前〃项和（，<2

【答案】①②③④

【分析】根据题意中的递推公式和构造法可得见，由等比数列的定义即可判断①；结合等

111

Q”=-------W--

比数列的通项公式即可判断②；根据数列的单调性即可判断③；根据2--12"-'结合放缩

法和等比数列前n项求和公式计算即可判断④.

§、an+i=———eN*）

【详解】数列满足q=1,2+勺，

整理可得0"+1<a"）,即an,

1J1,

”一+11—+1=2

所以〔对J是以4为首项，2为公比的等比数列,

1

-+\=2-2"-'=2"a_

故：/，整理得"2"-1,

11

则一F^T>2"”-1一"向，所以数列｛%｝为递减数列，

111

d-----------

由2"-lZ2"T,得"2"-12'-',

所以包｝的前〃项和：

Tn=a]+a2+---+anWl+g+…+击=2-击<2

故答案为：①②③④.

四、解答题

17.已知函数/（x）=x、x-2.

（1）求曲线在点（2J（2））处的切线方程：

（2）求与直线4x-N-2=°平行，且与曲线丁=/G）相切的直线方程.

【答案】⑴113x78

⑵尸4》-4或y=4x

【分析】(1)根据题意和导数的几何意义求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解;

(2)设切点坐标为(“'£+尤°-2),根据导数的几何意义和平行直线斜率相等解出％,结合直线的

点斜式方程即可求解.

【详解】⑴由/'(x)=3x2+l,得/'(2)=13,又“2)=8,

则曲线夕=/6)在点(2,/(2))处的切线方程为

y-8=13(x-2),即y=4x-18；

⑵/‘(》)=3/+1,设切点的坐标为a，x：+x0-2),

则所求切线方程的斜率为了'(X。)=+1,

又切线与直线4x-V-2=°平行，且该直线的斜率为%

所以3x；+l=4,解得/=±1,

当天=T时，切点为(TV),

此时切线方程为)+4=4(x+l),即P=4x；

当/=1时，切点为&°),

此时切线方程为卜=41-1),即y=4x—4；

所以该切线方程为、=4x-4或y=4x.

18.已知是等差数列，其前〃项和为S"，｛4｝是等比数列，且囚=仇=2,Ss=30,打=32.

⑴求数列｛"J与包｝的通项公式;

(2)求数列应+妇的前〃项和兀

【答案】(1严=2","=2"或“=2-(-21

2『小〃+也回

⑵当4=2时，3.当4=一2时，3

【分析】(1)根据等差数列的性质和通项公式求的."=2”,结合等比数列的通项公式即可求解；

(2)由(1)知当夕=2时"，=2"；当夕=-2时”=2-(-2)”［结合分组求和法分别求出对应的值

即可.

【详解】⑴•.•$5=30,

二5%=30,得。3=6,又囚=2,

...q+2d=6,解得d=2,

二数列应｝的通项公式4=2+("l)x2=2〃，〃eN..

..&=2a=32

...44=16,得4=±2,

.•・当4=2时，数列也｝的通项公式“=22'i=2"；

当1=-2时，数列四｝的通项公式“=2•(-2)’]

所以数列例｝的通项公式为2"或2.(一2)“’；

⑵当9=2时，4=2",

.../+a=2〃+2",

北-(2+4+...+2〃)+(2+22+...+2")-"(2+2〃)+2(1-2)

="+〃一2+2向

・•・21-2.

当4=一2时，4=2-(-2)'i,

..&+4=2"+2.(-2)"「'

•,

7；,=(2+4+---+2n)+^-22+---+2-(-2y')=w2+n+iy^J

19.正A/8C的边长为2,C。是N8边上的高，E、尸分别是ZC和8c边的中点，先将△48C沿

8翻折成直二面角力一88.

(1)求二面角E-DF-C的余弦值；

(2)在线段8c上是否存在一点户，使NP1QE?证明你的结论.

叵

【答案】(1)〒：

（2）在线段8c上存在点J人使4P1DE,证明见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面E。下和平面C。/7的法向量，结合向量夹角公式可求二

面角E—OE—C的余弦值；

（2）设PG，y，°）,由条件列方程求点p坐标即可.

【详解】（1）由已知

所以为二面角“一改8的平面角，

又二面角力一X8为直二面角，所以

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则“0,0,1）,20,0,0）,。（0,石,0）,小旺工，

U21

而=己,eo]质=[o,且3

2222

所以\J\J

1G

—Xd---V=

22

DFn=OV31

——y+—z=

设平面EDF的法向量为"=（质MZ），则•斤=0,即12，2

取丫=6,则y=T，z=—,

所以"=LG）为平面尸的一个法向量，

又D4=（O,O,l）为平面CQF的一个法向量，

/F-\DA77GV21

8s（',〃“可问一«_7

721

••・二面角E一。尸一。的余弦值为7.

AP=(x,y,-\),DE=0,—

(2)设尸(“°),则

因为ZPJLOE,

所以APDE=Gy-1=0,

昨T

••，

又丽=(x-lj,0)1=G，6-y,0)

..BP//PC,

.(》-1)伊-了)=-xy

..柩x+y=4

_W>2

y=~Tx=-

把3代入上式得3,

.尸I3化乌3u。］

••，

BP=-BC

3,

p\.o"!

•••在线段BC上存在点133人使4PlDR

20.已知正项等差数列也｝的前〃项和是S“若&=12,且221,%吗+1成等比数列.

⑴求数列｛""｝的通项公式；

⑵记”=3"。的前〃项和是Tn,求T"

【答案】(I)a〃=3n-2.

1(6n-9)x3"-21

(ID"=4+7.

【分析】(I)设正项等差数列｛a〃｝的公差为d,故d>0.由2R，恁，内+1成等比数列，可得

(%+1)2-=2的(R+24+1).又$3=12=3a"'+2-d,联立解出即可.

(II)历i=(3n-2)・3”，利用“错位相减法”、等比数列的前〃项和公式即可得出.

【详解】解：(I)设正项等差数列｛〃〃｝的公差为d,故d>0.

2a/,a2,a3+I成等比数列，

贝!I—2ai(的+1),

即(％+")=2ai(囚+21+1).

、3x2

3alH-------dJ

又Sj=12=2,

4=1ftZ1=8

d=3或jd=-4

解得（舍去）,

an=\+(n-1)X3=3n-2.

(11)加=(3n-2)・3”,

：.Tn=\X3+4X32+…+(3n-2)・3〃,

.•.377J=1X32+4X33+…+(3n-5)・3〃+(3n-2)・3〃+/,

A-27/7=1X3+3(32+33+—+3n)-(3n-2)X3«+/

=3+3-1-(3n-2)X3n+/

q”+i—9

3+3x-(3n-2)x3n+i

2.3〃xr+，

2J-T

n+,

(6n-7)x3+21

T„=

44

【点睛】本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前〃项和公式、“错位相减法”等基

础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题.

21.已知过抛物线产=2px（p>0）的焦点R斜率为血的直线交抛物线于

以孙力）（/<Z）两点,且1阴=6

（1）求抛物线的方程:

⑵抛物线的准线与x轴交于点尸，过点尸的直线/交抛物线C于"，N两点，当F'MF'N=12时,

求直线/的方程.

【答案】（l）『=4x

y=±W(x+i)

⑵2

【分析】(1)由题意和直线的点斜式方程写出直线AB的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理可

得玉+々=20，结合抛物线的定义得“8=%+忆+0,即可求解:

(2)设直线MN方程卜=/6+1),联立抛物线方程，利用韦达定理表示王+欠2户也,必先,结合平

面向量数量积的坐标表示可得发，化简计算即可求解.

y=^2(x-^]

【详解】(1)由题知，直线的方程是I2人

2.2x*—4px+—0

与y=2px联立，消去y,得2,

所以3+土=2'

由抛物线定义得“8=X|+X2+p=2p+p=6,

所以P=2,从而抛物线方程是丁=4x.

（2）由题知，直线A/N的斜率存在且不为0,F（T，°）,设直线MN的方程是y="（x+l）,

y=女（工+1）

联立方程得｝