2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷

2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1.（4分）（2021•怀柔区一模）已知集合人={-1,0,1,2},B={x\0<x<3},则图中阴

影部分的集合为（）

W

A.{-1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1,2}

2.（4分）（2021•怀柔区一模）在复平面内，复数z-z2对应的点的关于实轴对称,若4=2+i,

则z,-z2=()

A.2-iB.5C.石D.3

3.（4分）（2021•怀柔区一模）在（2x-l）5的展开式中，/的系数为（）

A.20B.-20C.-40D.40

2222

4.（4分）（2021•怀柔区一模）曲线弓-与=1与曲线会q=1的（）

A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等

5.（4分）（2021•怀柔区一模）要得到函数y=sin（2x+g）的图象，只需将函数y=sin2x的

图象（）

A.向左平移工个单位B.向左平移巴个单位

36

C.向右平移工个单位D.向右平移工个单位

36

6.（4分）（2021•怀柔区一模）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A.2B.4C.6D.8

7.(4分)(2021•怀柔区一模)"a=0"是直线(a+l)x+(a-l)y+2a=0(aeR)与圆x?+y2=4

相交的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（4分）（2021•怀柔区一模）设等比数列伍“｝的前”项和为5"，若%=8%,则下列式子

中的数值不能确定的是（）

A.%D.2S

S“

警°），且关于X的方程f（x）=-x+a

9.（4分）（2021•怀柔区一模）已知函数f（x）=

3,a,o）

恰有两个互异的实数解，则实数。的取值范围为（）

A.y,i)B.(-00,1JC.(1,2)D.(l,+a>)

10.（4分）（2021•怀柔区一模）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制

的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重

复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每

条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2,称为“一次分形”：用

同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3,称为“二次分形”；依次进行“”

次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则”最小值是（）（取

/g3“0.4771,0.3010)

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

11.（5分）（2021•怀柔区一模）函数y=/+log2（l-x）的定义域为.

12.（5分）（2021•怀柔区一模）若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点（2,1）,则C

的标准方程是

13.(5分)(2021•怀柔区一模)在澳台。中，a=2,/?=!,cosA=-,则。=

14.(5分)(2021•怀柔区一模)若函数/(%)=sinx-cos(x+Q)的一个零点为％=工,则常数

6

(p的一个取值为.

15.(5分)(2021•怀柔区一模)如图，在直角梯形ABC£>中，AB//CD,ABA.BC,AB^2,

CD=\,BC=a(.a>0),P为线段AZ)上一个动点，设AP=xA。，PBPC=y,对于函数

y=,/'(x)给出下列四个结论：

①当a=2时，函数/(x)的值域为［1,4］；

②Vaw(0,y),都有/(1)=1成立；

③Vae(0,+oo),函数/(x)的最大值都等于4；

@3«e(0,+oo),函数〃x))的最小值为负数.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程.

16.(15分)(2021•怀柔区一模)如图，在四棱柱A88-4BC4中，Aq_L平面/WC£),

底面ABCZ)是边长为1的正方形，侧棱AA=2.

(I)求证：q。//平面4844；

(II)求证：AC±BCt；

(III)求二面角G-BO-q的余弦值.

17.(13分)(2021•怀柔区一模)已知函数/z(x)=sin(x+&),g(x)=cos(x+±),再从条件①、

66

条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(I)的单调递增区间；

(II)f(x)在区间［o,g的取值范围.

条件①：f(x)=h(x)+百g(x)；

条件②：/(%)="(X)•g(x);

条件③：/(%)=h(x)-g(x).

18.(13分)(2021•怀柔区一模)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该

流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如表：

分组区间(单(490,495J(495,500J(500,505](505,510J(510,515J

位：克)

产品件数34751

包装质量在(495,510］克的产品为一等品，其余为二等品

(I)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

(II)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

(III)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求丫的分布列；试比较期望

EY与则望"的大小.(结论不要求证明)

19.(14分)(2021•怀柔区一模)已知函数f(x)=e'-d-Mv+a),其中aeR.

X

(I)若曲线y=.f(x)在x=l处的切线与直线旷=纸平行，求。的值；

(H)若函数f(x)在定义域内单调递减，求a的取值范围.

20.(15分)(2021•怀柔区一模)已知椭圆C:j+当=1过点尸(1-)，且a=2c,若直线

a2b-2

/：丫=丘+1与椭圆C交于历，N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线PO,NO交于点A,

B,其中。为原点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若人型=1,求k的值.

\AM|

21.(15分)(2021♦怀柔区一模)定义满足以下两个性质的有穷数列q,%,%，…，/为

n(n=3,4,…)阶“期待数列”:

①q+/+%+…+q=o；

②14I+1%I+QI+...+1a“|=1.

（I）若等比数列｛4｝为4阶“期待数列”，求｛q｝的公比；

（H）若等差数列仅“｝是2A+1阶“期待数列"（〃=1,2,3....2k+l,A是正整数），

求他“｝的通项公式；

（HD记2々阶“期待数列”｛叫的前“项和为""=1,2,3....2k,%是不小于2的

整数），求证：|\|”

2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1.（4分）（2021•怀柔区一模）已知集合4={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则图中阴

影部分的集合为（）

W

A.{-1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1,2}

【解答】解：•集合A={-1,0,1,2）,8={x|0<x<3},

图中阴影部分表示的集合为=2）,

故选：B.

2.（4分）（2021•怀柔区一模）在复平面内，复数4,4对应的点的关于实轴对称，若4=2+i,

则Zj-z2=（）

A.2-zB.5C.&D.3

【解答】解：•.4=2+i,且复数z/％对应的点的关于实轴对称，

:.z2=2-i,则z「Z2=（2+i）（2_i）=22_/=4+l=5.

故选：B.

3.（4分）（2021•怀柔区一模）在（2x-l）5的展开式中，/的系数为（）

A.20B.-20C.-40D.40

【解答】解：（2x-l）5的展开式的通项公式为7；M=G•（2X）5，（-1）"令5-r=2,求得

〃=3,

可得含V的项的系数Y•2?=-40,

故选：C.

,2，2

4.（4分）（2021•怀柔区一模）曲线上—匕=1与曲线上—工=1的（）

5335

A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等

22

【解答】解：双曲线±-±=1的实半轴长为石，虚半轴长为6,焦距为4及，离心率

53

为----;

5

双曲线三-21=1的实半轴长为G，虚半轴长为石，焦距为4及，离心率为巫.

353

所以它们的焦距相等.

故选：A.

5.（4分）（2021•怀柔区一模）要得到函数y=sin（2x+10的图象，只需将函数y=sin2x的

图象（）

A.向左平移工个单位B.向左平移生个单位

36

C.向右平移巴个单位D.向右平移出个单位

36

【解答】解：由于函数y=sin（2x+g）=sin2（x+£）,

.•・将函数y=sin2x的图象向左平移7个单位长度，可得函数y=sin（2x+$的图象，

故选：B.

6.（4分）（2021•怀柔区一模）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2

的直四棱柱；

如图所示：

故：V=1x(l+2)x2x2=6.

故选：C.

7.(4分)(2021•怀柔区一模)"a=O"是直线(«+1)%+(a-l)y+2a=0(«eR)与圆x?+)「=4

相交的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：根据题意，圆/+丁=4的圆心为(0,0),半径为2,

直线(a+l)x+(。-l)y+=0,即a(x+y+2)+x-y=0,

则有+2=解可得卜T,直线恒过点(_「]),

[x-y=0[y=-1

又由点(一1,—1)在圆/+/=4的内部，

故对于任意的实数。，直线与圆相交，

即当a=0时，直线(a+l)x+(a-l)y+2a=0(aeR)与圆人，+/=4相交，反之不一定成立，

故"a=0"是直线(a+l)x+(a-l)y+2a=0(awR)与圆V+V=4相交的充分而不必要条件,

故选：A.

8.(4分)(2021•怀柔区一模)设等比数列｛《,｝的前〃项和为S“，若%=8/，则下列式子

中的数值不能确定的是()

A.区B.邑C.-D.以

«3S?«„S"

【解答】解：根据题意，设等比数列｛〃“｝的公比为q,若。5=8〃,，则/=%=8,变形可

得q=2,

对于A,&=q?=4,可以确定数值，

4(1-q5)

对于s,员=上%=上二£.=①，可以确定数值,

/q(l-g3)>q37

i-q

对于c,S=q=2,可以确定数值，

4,

4(1-〃)

对于。，"q=kl^,不能确定数值，

S.4(1-4")1-4"

"q

故选：D.

9.(4分)(2。2卜怀柔区一模)已知函数小)=林£；］)

且关于x的方程f(x)=-x+a

恰有两个互异的实数解，则实数。的取值范围为()

A.y,i)B.(-00,1JC.(1,2)D.(l,+a>)

logx(x>0)

【解答】解:作出函数/(%)=2的图象以及直线丫=-》的图象,

3*(苍，0)

关于x的方程/(x)=-x+a(aeR)恰有两个互异的实数解，

即为y=/(x)和y=-x+a的图象有两个交点，

平移直线y=-x,

当％1时有两个交点，

故选：B.

10.(4分)(2021•怀柔区一模)形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制

的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重

复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每

条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2,称为“一次分形”；用

同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3,称为“二次分形”；依次进行“〃

次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则“最小值是（）（取

依3之0.4771,/g2a0.3010)

【解答】解：设正三角形的边长为〃，

“一次分形后”变为长为”的折线，

3

“二次分形”后折线长度为

“〃次分形”后折线长度为（?〃，

故得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图,

4

只需满足（~）/?ci..100。，

4

两边同时取对数得：nlg-..lg\00=2,

2

即得：n(2lg2—lg3)..2,解得：，-------------x16.01,

2lg2-lg30.6020-0.4771

故至少需要17次分形,

故选：C.

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

2

11.（5分）（2021•怀柔区一模）函数y=如+log2（l-x）的定义域为_[0j_l）

【解答】解：要使原函数有意义，则：八；

[l-x>0

0„x<1；

・•・原函数的定义域为[0,1）.

故答案为：[0,1）.

12.（5分）（2021•怀柔区一模）若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点（2,1）,则C

的标准方程是_/=4），_.

【解答】解：由题意可设抛物线方程为f=2py(p>0),

把点(2,1)代入,可得2?=2pxl=2p,即p=2.

.•・抛物线方程为f=4)，.

故答案为：x2=4y.

13.(5分)(2021•怀柔区一模)在AA8C中，a=2,b=\,cosA=-,则。=2.

4

【解答】解：因为a=2,b=\,cosA=—,

4

所以由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,

可得4=l+c?—2xlxcx,，整理可得2C2—C—6=0,

4

解得c=2,或(舍去).

2

故答案为：2.

14.(5分)(2021•怀柔区一模)若函数/(x)=sinx-cos(x+Q)的一个零点为工=工，则常数

6

°的一个取值为—?一

【解答】解：1函数/(x)=sinx-cos(x+°)的一个零点为工，

6

二.sin%-cos(^-+0)=0,

.-.COS(-4-0)=-,可得。的一个取值为王.

626

故答案为王.

6

15.(5分)(2021•怀柔区一模)如图，在直角梯形A8C£>中，AB//CD,ABLBC,AB=2,

CD=1,8c=a(a>0),P为线段4)上一个动点，设AP=xA£>,PBPC=y,对于函数

y=/(x)给出下列四个结论：

①当a=2时，函数/(x)的值域为［1,4J；

②Vae(0,一)，都有/(1)=1成立；

(3)V«6(0,+oo),函数/(x)的最大值都等于4；

©3ae(0,+a>),函数/(x))的最小值为负数.

其中所有正确结论的序号是②③④.

【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示,

则A(2,0),8(0,0),C(0,a)>0(1,。)，

所以AO=(-l,a),

贝ijAP=xAD=(-x,ar),0效k1,

故P(2—x,ax),则BP=(2-x,ax),CP=(2-x,ax-a),

所以y=f(x')=PBPC=BPCP=(2-x')2+ax(ax-a)=(l+a2>)x2-(4+a2)x+4,

44

当a=2时，/(X)=5X2-8X+4=5(X--)2+-,0^ijc1,

所以当x=3时，f(x)的最小值为

当x=0时，f(x)的最大值为4,即值域为4］,故选项①错误；

Vae(0,«»)时，f(1)=(l+a2)-(4+a2)+4=l,故选项②正确；

/(>)=(1+/)*2_(4+/)*+4,对称轴为="(］；/)€(；，2)，

当!+——..1,即0<凡血,函数/Xx)在［0,1］上单调递减，

22(1+/)

故当x=0时，f(x)取得最大值为/(0)=4,

当x=l时，〃x)取得最小值为/(1)=1

当时，-<-+―根据抛物线对称性可知，

222(1+a2)

当x=0时，函数/(x)取得最大值/(0)=4,

当》=士叁时，f(x)取得最小值为4—(4+。?.

综上所述，Vae(0,4w)时，函数f(x)的最大值都等于4,故选项③正确；

取a=3>&时，/(X)取得最小值为4-^i^4-=4---=<0,故选项④正确.

4(1+a2)4x1040

故答案为：②③④.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程.

16.(15分)(2021•怀柔区一模)如图，在四棱柱A8CD-A8CA中，平面AfiCZ),

底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA=2.

(I)求证：G。//平面ABB/；

(H)求证：AC±BCt；

(III)求二面角G-BO-R的余弦值.

【解答】解：(I)证明：因为BC//BC、B©=BC,AD//BC,AD=BC,

所以B£=AD,所以四边形BCQA为平行四边形，

所以CQ//AM，481U平面G。仁平面ABBd,

所以G。//平面AB4A；

(H)证明：因为Ag_L平面/WC£),

由(I)知G£)//AB1,所以G£>_L平面ABC£),

又因为ACu平面ABC。，所以ACLCQ,

因为ABC£>是正方形，所以AC_LB£),

又因为G0「8。=。，所以AC_L平面£8力,

因为CRu平面GB。，所以AC_L8G；

(III)因为AB|_L平面48CD,所以ABJAO,AB,±AB,

又因为/WC£＞是正方形，所以AB_LA。，

于是〃＞、AB,两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

平面GBD的法向量为机=AC=(1,1,0),

O8=(-l,I,0),DDt=(0,-1,扬，

设平面BDD｝的法向量为"=(x,y,z),

。8/=_+：0,令k5则〃=(561),

则

DD1n=-y+\/3z=0

2#保

0.不一〒

17.(13分)(2021•怀柔区一模)已知函数力(x)=sin(x+*),g(x)=cos(x+X),再从条件①、

66

条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(I)/(x)的单调递增区间;

(ID〃元)在区间呜］的取值范围.

条件①：/(X)=〃(x)+Gg(x);

条件②：/(X)=人(X)•g(x);

条件③：/(x)=〃(x)-g(x).

【解答】解：函数h(x)=sin(x+—),g(x)=cos(x+J),

66

选条件①时，/(x)=/?(x)+gg(x)=sin(x+—)+V3COS(X+乡)=2sin(x+§+£)=2cosx,

6663

(I)由于/(x)=2cosx,

令一4+2攵战!k2k兀,(攵£Z),

所以函数的单调递增区间为[-万+2%"，2k7r](keZ).

(II)当x£[0,勺时，cosxe[0,1],

2

所以函数/0)的值域为[0,2].

选条件②时，

/(x)=h(x)•g(x)=sin(x+—)cos(x+—)=(—sinx+-cosx)(^cosx一:sinx)=:sin(2x+今

1jr

(I)由于f(x)=—sin(2x+—),

令：---FH—2kjiH—(kGZ),

232

解得：一2+A通上^+―(A：eZ),

1212

所以函数的单调递增区间为[-2+丘,觊+二]伏£Z).

(II)由于xe[0,2],

2

故2x+工£[工，竺"

333

所以sin(2x+—)G[―-^-,1]，

故函数f(x)的值域为

选条件③时，/(x)=力(x)-g(x)=sin(x+为一cos(x+—)=\/2sin(x+=一。=0sin(x-二).

666412

(I)由于/(x)=V2sin(x-,

令一代+2攵刀啜/一22k7r+—(keZ),

2122

解得一也+224领k2^+—(fceZ),

1212

所以函数的单调递增区间为［-包+2壮,2壮+与心Z).

1212

(II)由于xe[0,g]

-Ur./兀、r^2—>/65/2+\［f）

故sm（x---）G［-------、---------.

1244

故/（x）的值域为：［匕立,与叵］.

18.（13分）（2021•怀柔区一模）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该

流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如表：

分组区间（单(490,495J(495,500](500,505](505,510J(510,515J

位：克）

产品件数34751

包装质量在（495,510］克的产品为一等品，其余为二等品

（I）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

（H）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

（ni）从该流水线上任取2件产品，设y为一等品的产品数量，求y的分布列；试比较期望

员与则望"的大小.（结论不要求证明）

【解答】解：（I）样本中一共有3+4+7+5+1=20件产品，包装质量在（495,510］克的

产品有4+7+5=16件，

故从该流水线任取一件产品为一等品的概率产="=±.

205

（II）依题意，X的可能取值为0,1,2,

则P—2）喑啮fix警=||，P（X=。）喂啧

故X的分布列为:

X012

P33212

959519

q19R

(III)由(2)nJWEX=0x—+1X—+2x—=-,

9595195

4

依题意，r-B(2,-),则y的可能取值为0,1,2,

41644X41

则s廿五,P(y=i)=C；(i--)xr-,P(y.0)=(1--)--,

故y的分布列为:

Y012

P1816

252525

所以£T=£X.

19.(14分)(2021•怀柔区一模)已知函数f(x)=e'•d-/nx+o),其中aeR.

X

(I)若曲线y=/(x)在x=l处的切线与直线y="平行，求。的值；

(II)若函数“幻在定义域内单调递减，求。的取值范围.

【解答】解：(I)数/(x)=e*•('-/nx+a)的导数为r(x)=e'(--y-lnx+a),

XX

由切线与直线y=Q平行，可得/'(1)=e,即e(—1+a)=e,解得a=2;

(II)函数/(处在定义域。”)内单调递减，

可得「(X)="(_，■_/nr+a),,0在X€(0,一)恒成立，

厂

所以a,,—-十Inx，

x~

人12112

令g(x)=r+袱，g'(x)=一-^+一=一(1--7)，

x~XXXX"

由g'(x)=o，可得%=及，

所以当0<x<3时，g\x)<0,g(x)递减；当时，g\x)>0,g(x)递增，

可得g(x)而,=g(扬=g+g加2,

故只需@§(%)„„.„，

所以a的取值范围是(-co,g+g/〃2].

20.(15分)(2021•怀柔区一模)已知椭圆C:二+==1过点P(l=),且a=2c,若直线

a'b'2

/:y=fcv+l与椭圆C交于〃，N两点，过点用作x轴的垂线分别与直线PO,NO交于点A,

B,其中O为原点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若且=1,求左的值.

14Ml

【解答】解：(I)因为椭圆c过点尸(1,)，且a=2c,

2

19,

Lh

所以＜片=公2,

a2=b2+c2

22

所以〃2=4,b=3fc=1,

2o

所以椭圆C的方程为三+汇=1.

43

（II）设A/（x，g+1）,N（X2,fci2+1）,

因为P（l,5,

所以直线。尸的方程为y=3x,

2

3

所以A。＞—Xj）,

直线ON的方程为y=^1x,B（x,,刍血士2）,

x2X,

y=kx+\

由4/y，得（3+4公口2+8丘_8=0,

—+—=1

143

所以△=64k2+32（4公+3）＞0,

ma8k-8

所以“"一二京‘

所以上型=1,

\AM|

所以A为5M的中点，

所以M=3+如3L士卫，

X2

所以3K工2=村工2+3工2+X]+W，

rrKI—16kSk24

所以--------------=-------，

3+4&23+4〃3+4公

所以-2必=-24,

所以后=1.

21.（15分）（2021•怀柔区一模）定义满足以下两个性质的有穷数列“，出，由，…，％为

〃（〃=3,4,…）阶“期待数列”：

①q+。2+/+…+。〃=0；

②|+|出|+3I+...+I41=1.

（I）若等比数列仅“｝为4阶“期待数列”，求｛.“｝的公比；

（H）若等差数列｛4｝是殊+1阶“期待数列“（”=1,2,3..........2无+1,%是正整数），

求｛4｝的通项公式；

（III）记2A阶“期待数列”｛4｝的前n项和为S,,5=l,2,3,…，2k,k是不小于2的

整数），求证：