2021-2022学年八年级数学下册训练04运算思维之二次根式的乘除重难点专练（解析版）（苏科版）

专题04运算思维之二次根式的乘除重难点专练（解析版）

错误率：易错题号：

一、单选题

1.下列计算中，正确的是（）

A.上+百=6B.乖,=亚C.（273）2=12D.瓜+乖>=#>

【标准答案】C

【思路指引】

根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断.

【详解详析】

A、原式不能合并，不符合题意；

B、原式=不符合题意；

C、原式=12,符合题意；

D、原式=斤5=6,不符合题意.

故选：C.

【点评】

此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.（202卜江苏海安・八年级期末）下列式子是最简二次根式的是（）

A.41B.V4C.V12口.已

【标准答案】A

【思路指引】

根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【详解详析】

解：A、夜是最简二次根式，A正确，故符合题意；

B、4=2不是最简二次根式，B错误，故不符合题意；

C、厄=26不是最简二次根式，C错误，故不符合题意；

D、、£=也不是最简二次根式，D错误，故不符合题意；

V22

故选：A.

【名师指路】

本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义.

3.（202卜江苏省南京市浦口区第三中学八年级月考）下列关于&的说法，错误的是（）

A.及是无理数

B.面积为2的正方形边长为正

C.正是2的算术平方根

D.血的倒数是-亚

【标准答案】D

【思路指引】

根据无理数的定义，正方形面积的计算公式，算术平方根的定义，倒数的定义依次判断即可得到答案.

【详解详析】

解：A、正是无理数是正确的，不符合题意；

B、面积为2的正方形边长为正是正确的，不符合题意;

C、也是2的算术平方根是正确的，不符合题意；

D、血的倒数是乎，原来的说法是错误的，符合题意.

故选：D.

【名师指路】

此题考查无理数的定义，正方形面积的计算公式，算术平方根的定义，倒数的定义，熟记各定义是解题

的关键.

4.（2021•江苏江阴•二模）下列二次根式中，是最简二次根式的为（）

A.2B.C.5/30D.>/50

【标准答案】c

【思路指引】

根据疵=26，邛，胸=5五，化简判断即可.

【详解详析】

•\[i2~25/3»

・・・尼不是最简二次根式;

・••昌也

V33

•••JI不是最筒二次根式;

V>/50=5A/2,

.•.我不是最简二次根式；

而是最简二次根式；

故选C.

【名师指路】

本题考查了最简二次根式的判断，熟练进行二次根式的化简是判断的关键.

5.（2021•江苏•苏州市振华中学校八年级期末）下列根式中，最简二次根式的是（）

22

A.MB.y]a+fyC.>/0?7D.

【标准答案】B

【思路指引】

根据最简二次根式的概念进行判断即可.

【详解详析】

解：A、强=3不是最简二次根式，不符合题意；

B、77寿是最筒二次根式，符合题意；

C、历=后=噜不是最筒二次根式，不符合题意；

D、"=:①不是最简二次根式，不符合题意，

[0（〃=0）

故选：B.

【名师指路】

本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键.

6.（2021.江苏宿迁.七年级期中）数轴上：原点左边有一点点例对应着数机，有如下说法：①-加表

示的数一定是正数；②若1川=8,则加=-8;③在-匹疝中，最大的数是疗或一叫④式子

tn

加+’的最小值为2.其中正确的个数是（）

m

A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】D

【思路指引】

根据点M在数轴上的位置得到〃?为负数，判断-〃?，苏，M的符号，求出当|刑=8时m的值，从而

对各个选项进行判断，得出答案即可.

【详解详析】

解：数轴上点M对应着数〃?，在原点左边，因此加<0,

-m>Of即-m是正数，因此①正确;

若|训=8,则加=±8；又〃?VO,因此加=-8,故②正确；

・・・"?VO,

V-m>0—<0,m2>0m3<0

9mft

当-IVmVO时、-ni>m2,当〃区-1时，-小加2,因此③正确;

Vzn<0,

•••—iti----N2,

m

.,.，*+—22,因此④正确；

m

故选：D.

【名师指路】

考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，二次根式的乘法运算等知识，理解点M对应着数〃?的

取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提.

7.（2021.江苏淮安.八年级期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A.,32B.C.，49D.yjl5

【标准答案】D

【思路指引】

利用最筒二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，

判断即可.

【详解详析】

解：4、5/32=45/2,不符合题意：

B、£=坐,不符合题意；

C、>/49=7,不符合题意；

。、后是最简二次根式，符合题意.

故选：D.

【名师指路】

此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键.

8.（2022•江苏启东•八年级期末）计算后xjg+夜x石的结果估计在（）

A.10到11之间B.9到10之间

C.8至IJ9之间D.7至IJ8之间

【标准答案】D

【思路指引】

先根据二次根式的乘法计算得到原式为4+师，再估算出质的范围，即可得出答案.

【详解详析】

解：原式=,32X；+>^?=M+V[5=4+M

V3<Vi()<4,

A7<4+Vi0<8,

故选：D.

【名师指路】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然

后合并同类二次根式.

9.（2021.江苏姑苏.九年级期中）如图①，在正方形4BC。中，点E是A8的中点，点P是对角线AC上

一动点，设PC=x,PE+PB^y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标可能是（）

D.(4&,36)

【标准答案】D

【思路指引】

如图，连接PD由8、。关于4c对称，推出推出P8+PE=P3+PE,推出当£>、P、E共线

时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点尸与A重合时，PE+PB=9,推出AE=EB=3,AO=A8=

6,分别求出P8+PE的最小值，PC的长即可解决问题.

【详解详析】

解：如图，连接PD

。关于AC对称，

，PB=PD,

：.PB+PE=PD+PE,

，当。、P、E共线时，PE+PB的值最小，

观察图象可知，当点尸与4重合时，PE+PB=9,

1•点E是A8的中点，

.♦.AE=E8=3,AD=AB=6,

在心中，DE=yl62+^=3y[5，

.♦.PB+PE的最小值为36,

.••点。的纵坐标为3石，

'JAE//CD,

•PCCD

•.-=--=2

PAAE9

VAC=642，

二PC=2x6a=4后，

3

二点。的横坐标为4夜，

AQ（4^,3A/5）.

故选：D

【名师指路】

本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合

的思想解答.

二、填空题

10.（2020•江苏•常熟市第一中学八年级月考）x,y分别为8—而的整数部分和小数部分，则2外一产=

【标准答案】5

【思路指引】

先估算8-而的范围，即可得出x,y的值，再代入即可得出.

【详解详析】

解：v3<Vn<4,

二4<8—而<5,

/.x=4,

•*•>>=8-而-4=4-Vn,

.".2xy-V=y⑵-y）=（4-而）（8-4+V1I）=（4-布）（4+E）=5.

【名师指路】

本题考查代数式求值，涉及无理数的估算.

11.（2020.江苏崇川.八年级期末）若°=近±1,则5a+2020=

2

【标准答案】2024

【思路指引】

03-54+2020=。（片-5）+2020,代入a值，根据乘法法则进行计算即可.

【详解详析】

/—5a+2O20=。（力-5）+2020=-5j+2020

V17+1「18+2折J””

=------x----------5+2020

2[4

=®x®+2020

22

=4+2020

=2024

故答案为：2024

【名师指路】

考核知识点：二次根式运算.掌握运算法则，运用乘法公式是关键.

12.（2020.江苏滨海.八年级期中）若最简二次根式后三与6是同类二次根式，则才=

【标准答案】4

【思路指引】

根据同类二次根式的定义，被开方数相等，由此可得出关于x的方程，进而可求出x的值.

【详解详析】

解：由题意可得：

2x-3=5

解：x=4

当x=4时，行与与逐都是最简二次根式

故答案为：4.

【名师指路】

本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键.

13.（2020•江苏•盐城市初级中学一模）计算瓦.血的结果是.

【标准答案】6

【思路指引】

原式利用二次根式的乘法法则以及二次根式的化简即可求值.

【详解详析】

72=718^2=^=6.

故答案为：6.

【名师指路】

此题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.（2020.江苏.南通市东方中学八年级月考）如果最简二次根式"啦不和拓是同类二次根式，则

ab=.

【标准答案】0

【思路指引】

仿+1=2

根据最简二次根式及同类二次根式的定义得c。力，求出a、b的值代入计算即可.

[2a+3=a+3b

【详解详析】

b+l=2

由题意得

2a+3=a+3b

b=\

4=0

ab=0,

故答案为：0.

【名师指路】

此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是解题的关键.

15.（2021•江苏•苏州市景范中学校八年级月考）府与最简二次根式^/^三是同类二次根式，则。=

【标准答案】3

【思路指引】

首先化简二次根式相=4百，再根据同类二次根式定义可得2〃-3=3,再解即可.

【详解详析】

-^48=J16x3-4#），

V48与最简二次根式三是同类二次根式，

：.2a-3=3,

解得：a—3,

故答案为：3.

【名师指路】

此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称

为同类二次根式.

16.（2021•江苏江阴・八年级期中）已知根是收的小数部分，求Jm?+，-2=.

【标准答案】2

【思路指引】

根据题意知，片&-1,将所求式子进行通分化简，再将〃?的值代入即可求解.

【详解详析】

解：由题意，知，〃=拒-1,

故答案为2.

【名师指路】

本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值.解题的关键是掌握二次根式的性质.

17.（2022•江苏启东•八年级期末）店与最简二次根式-4而［是同类二次根式，则。=.

【标准答案】2.

【思路指引】

先将巫化成最简：次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即

可.

【详解详析】

:近与最筒二次根式-45^71是同类二次根式，且配=26,

a+1=3.解得：a=2.

故答案为2.

【名师指路】

本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次

根式.

18.（2021・江苏・无锡市天一实验学校一模）已知ABC和△AOE均为等腰直角三角形，

NBAC=ND4E=90。，48=6,AD=4,连接CE、BE,点尸和G分别为OE和BE的中点，连接尸G,在

△ACE旋转过程中，当。、E、C三点共线时，线段FG的长为.

【标准答案】近±0

【思路指引】

分两种情况画出图形，如图1,连接80,证明△ADBgZvlEC,求得/8DC=90。，在RdBOC中利用勾

股定理求出8。长度，最后利用三角形中位线性质求解FG长度，如图2,同理可求出的长，则可得

出答案.

【详解详析】

解：如图1,连接BD,

VZBAD=90°-ZBAE,ZCAE=90°-ZBAE,

:.NBAD=NCAE.

在A和△AEC中，

AD=AE

-ZBAD=ZCAE

AB=AC

：./\ADB^^AEC(SAS).

:.BD=CE,NADB=N4EC=I35。，

/.ZBDC=135°-45°=90°.

•.,△ABC和△ACE均为等腰直角三角形，AB=6,AD=4,

：.DE=4y/2,BC=6五.

设8D=x,则。C=4正+x,

在/?/△8OC中，利用勾股定理B»+DC2=BC2,

/.x2+(4&+x)2=72,解得x/=-2夜-2近(舍去)，X2=-2近+2币.

,••点F、G分别为。分8E的中点,

如图2,同理，设8£>=CE=a,

在R/BOC中，BA+CD^BC2,

二4+3-4忘）2=72,

解得a=2应-2近（舍去），a=2及+2",

：.FG=^BD=42+y/l>

故答案为：x/7±\[1-

【名师指路】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的

全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度.

三、解答题

19.（2021.江苏•苏州市平江中学校八年级月考）计算：

（1）施+6-gx而+亚;

（2）（30+2石）x（3及—2石）—（石—0）2

⑶31十（-20.科>0）

【标准答案】（1）4+及；（2）1+276；（3）

2b

【思路指引】

（1）根据二次根式的性质进行化简，然后进行二次根式的加减法计算；

（2）利用完全平方公式和平方差公式将括号去掉，然后再进行加减法计算；

（3）将系数进行乘除作为结果的系数，将被开方数进行乘除作为结果的被开方数.

【详解详析】

解:（1）a-6-gxy/ii+幅

=VT6-J；xl2+V24

=4-+2^6

=4+5/6；

（2）（30+26）x（3&-26）-（G-0）2

二（3V2）2-（273）2-（3-276+2）

=18-12-3+276-2

=1+2^6；

-^^(a>0,Z?>0)

【名师指路】

本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

20.（2021•江苏・如皋市实验初中九年级期末）⑴计算出+卜-制-（%-3）°-唬；

（2）先化简，再求代数式的值一丁一一二一卜——，其中x=2-右.

【标准答案】（1）石-2；（2）7~~不，』

【思路指引】

（1）先计算负指数累，绝对值符号化简，零指数累，立方根，再合并同类项即可；

（2）先因式分解找出最简公分母通分，合并同时把除法转化为乘方，约分化筒为最简分式，再赋值，代

入计算即可.

【详解详析】

解：(1)(g)+卜叫-(7-3)。-我,

=6-2；

01x+2.-11.x-4

\x2-2xx2-4x+4)'x

(4+2)(0-2)山-1)%

x(x-2)2x(x-2)2x-4，

x-4x

=x(x-2pX-4,

]

当x=2-逐时,

11

原式=（2一石_2）2=J

【名师指路】

本题考查实数混合运算，负指数塞，绝对值，零指数累，立方根，分式化简求值，二次根式乘法，掌握

实数混合运算，负指数暴，绝对值，零指数’幕，立方根，分式化简求值，二次根式乘法是解题关键.

21.（2022・江苏如皋•八年级期末）如图，在AABC中，AD1.BC,垂足为£>,ZB=60°,ZC=45°,AB=2

求：（1）4c的长；

（2）三角形A8C的面积（结果保留根号）

【标准答案】（1）瓜；（2）也叵.

2

【思路指引】

（1）先求解夕40=30。,8短=1,再利用勾股定理求解4?=应证明AO=CO,再利用勾股定理求解

AC即可；

（2）由（1）的结论先求解6C,再利用三角形的面积公式进行计算即可.

【详解详析】

解:（1）VADLBC

：.ZADB=ZADC=90°

ZB=60°

/.ZBAD=30°

又・.・A5=2,ZADB=90°

：.BD=^AB=ifAD=JAB2-BD?=6

VZC=45°,ZADC=90°

/.ZC=ZC4D=45°,

；.DC=ADf

AC=ylAD2+DC2=瓜•

(2)BD=1,DC=AD=®

：.BC=BD+DC=6+I.

AD±BC,

■.SABC=^ADXBC=^(^+1)=^-

【名师指路】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，含30。的直角；角形的性质，勾股定理的应用，等腰•:角形的

判定，二次根式的乘法运算，熟练的运用以上基础知识是解本题的关键.

22.(2022・江苏洪泽・八年级期末)如图1,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a.

(1)A。、BE相交于点M.

①求证：AD=BE；

②用含a的式子表示NAM8的度数：

⑵如图2,点尸、Q分别是A。、BE的中点，连接CP、CQ,判断一CP。的形状，并加以证明；

(3)如图3,在,ABC中，ZACB=45°,BC=&,AC=3,以AB为直角边，B为直角顶点作等腰

RtAABD,则CD=(直接写出结果).

【标准答案】(1)①证明见解析；②ZAMB=a

(2)一CPQ为等腰三角形，证明见解析

(3)5

【思路指引】

(1)①先证明/ACD=N8CE,再利用S4S证明△48丝△BCE即可；②利用全等三角形的性质证明

NCAD=NCBE,可得N8AM+N48M=180。-a,再利用三角形的内角和定理可得答案；

(2)先证明△ACPg/\8C。，证明AP=C。，即可得到结论；

(3)如图3,以B为直角顶点作等腰直角三角形CBG,连接AG,可得？BCG45?,

CG=yjBC2+BG2=4,由(1)同理可得：VDBC^VABG,证明。C=AG,?ACG90?,再利用勾股定

理求解4G,从而可得答案.

(1)

解：①•.•NACB=NOCE=a,

：.ZACD=ZBCE,

在△4。和48CE中，

CA=CB

"AACD=NBCE,

CD=CE

.•.△4CO丝△8CE(SAS),

：.BE=AD-

②：A4CD^ABC£,

:.NCAD=NCBE,

•.•△48C中，ZBAC+ZABC=\S00-a,

ZBAM+ZABM^180°-a,

.♦.△ABM中，ZAMB=180°-(180°-a)=a；

(2)

△CP0为等腰三角形.

证明：如图2,由(1)可得，BE=AD,

：A。，BE的中点分别为点尸、Q,

：.AP=BQ,

VAACD^ABCE,

：.ZCAP=ZCBQ,

在△4（7尸和48C。中,

CA=CB

"2CAP=NCBQ,

AP=BQ

：./h.ACP^^BCQ(SAS),

:.CP=CQ

.•.△CPQ为等腰三角形.

(3)

解：如图3,以8为直角顶点作等腰宜角三角形CBG,连接AG,

\BC=BG=78,?BCG45?,

\CG=』BC、BG2=4,

由(1)同理可得：7DBC尔ABG,

\DC=AG,

Q?ACB45?,AC3,

\?ACG45?45?90?,

\AG=VAC2+GC2=5,

\CD=AG=5.

【名师指路】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理，勾股定理的

应用，二次根式的乘方运算，解题的关键是正确寻找或构造全等三角形解决问题.

23.（2021.江苏新吴•八年级期末）如图1,在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边OC、04分别在x

轴、旷轴上，已知3（丸4）（加＞0）,AB上有一点P（〃,4）,将△OAP绕着点。顺时针旋转60。得到

△OA出.

(1)点4的坐标为；连接尸不若尸轴，则”的值为；

(2)如果m-〃=2G.

①当点《落在0C上时，求cq的长；

②请直接写出cq最小值.

【标准答案】(1)(273,2),4白；⑵①C耳的长为芈；②cq最小值为2.

【思路指引】

(1)如图，连接AV过A作A”，OA于证明.404,是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股

定理可得A的坐标，如图，当轴于N时，而p(〃,4),再利用等边三角形的性质与勾股定理求解

ON,从而可得答案；

(2)①如图，当点《落在0C上时，同理可得：P。［为等边三角形，过尸作PQ，。［于。，则

NOPQ=30。，结合P(%4),利用含30°的直角三角形的性质与勾股定理求解〃=竽，再求解办从而可

得答案；②如图，作百线A4，交AB0C于尸,K,过歹作尸GLOC于G,过C作CM_L雁于K先证明

4在直线相上运动，再求解直线FK的解析式，可得FK为y=-J5x+8,则K1空,0)当匕旋转到与

“重合时，"最短，画出图形，再由旋转可得：《K=〃-券，再利用直角三角形的性质可得

KP.=-n-—,CR=—n-\,从而建立方程求解"，从而可得答案.

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