2021-2022学年贵州省黔东南州九年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

202L2022学年贵州省黔东南州九年级（上）期末数学试卷

1.方程/=3久的解为（）

A.0B.3C.-3D.0,3

2.如图，。。的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点，则线

段OM长的最小值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若将函数y=2然的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）

A.y=2(x—I)2—3B.y=2(x—I)2+3C.y=2(%+I)2—3

D.y=2(x+1¥+3

4.如图，将RtzMBC(其中=35。，“=90。)绕点A按顺

时针方向旋转到AABiCi的位置，使得点C、A、Bi在同一条直

线上，那么旋转角等于（）

A.55°B.70°C.125°D.145°

5.若函数y=mx24-2%+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数，〃为（）

A.m=0B.m=-1C.m=1D.?n=0或m=1

6.半径为2CT»的圆内接正六边形的面积等于（）

A.4B.5C.6V3D.6

7.某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1〜10号共10道综合素质测试题供选

手随机抽取作答.在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8

号题的概率是（）

A.1B1c4D-4

8.已知一次函数丫=kx+b（k、%是常数，且k。0）的图象如图所_y

示，则关于x的方程/+x+k-b=0的根的情况是（）y\

A.没有实数根

O

B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

9.二次函数y=-2M-8x+m的图象上有两点A(X[,yi)、S(x2,y2)>若久1<一2<%2，且

%+2|>%+2|,则()

A.为<丫2B.%>%

C.y1=y2D.y]、y2的大小不确定

10.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6根的正三角形A8C,粮堆母线AC的中点P

处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小

猫所经过的最短路程是()

A.3mB.375nlC.3V5mD.4m

11.点P(3,-2)关于原点中心对称的点的坐标是.

12.已知关于x的方程/一卜％-6=0的一个根为工=3,则实数4的值为.

13.若关于x的方程/-6x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是.

14.如图，在RtAABC中，ZC=90°,C2=CB=2.分别以A、B、C

为圆心，以;4C为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面

积是.(保留几)

15.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程一一十

bx+c=3的解是.

16.抛物线y=x2-2x+3关于原点中心对称的抛物线的解析式为.

17.如图，若A3是O。的直径，是。。的弦，乙48。=55。，则

乙BCD=°.

18.已知：如图，等腰三角形A8C中，AB=4C=4,若以AB为直径的O。

与8c相交于点力，DE//AB,DE与AC相交于点£,则。E=.

19.如图，是一个半径为6c/”,面积为127TC7n2的扇形纸片，现需要

一个半径Rem的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则

R=cm.

20.如图，把抛物线y=12/平移得到抛物线/,抛物线/经过点

4(一6,0)和原点。(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=

12/交于点°,则图中阴影部分的面积为.

21.解方程：

(l)x2-7x+12=0；

(2)x(2x-5)=4x—10.

22.如图，两个转盘4、8都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定

指针，同时转动转盘A、B,两个转盘停止后观察两个指针所指的数字(若指针指在扇形的分

界线上时，视为指向分界线左边的扇形).

(1)用列表法(或树状图)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果.

(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表:

转动转盘总次

10203050100150180240330450

数

“和为7”出

27101634505980110150

现的频数

“和为7”出

0.20.350.330.320.340.330.330.330.330.33

现的频率

请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？

(3)根据(1)(2),若0<x<y,试求出x和)，的值.

23.如图，四边形ABC。是正方形，点F是BA延长线上一点，连接OF,AADF绕点A旋转

一定角度后得到^ABE,若4F=3,AB=7.

(1)直接写出旋转角的度数；

(2)求。E的长度；

(3)求证：直线BE1DF.

24.如图，在RtZkABC中，48=90。，484c的平分线交BC于。，£■为AB上一点，0E=0C,

以。为圆心，的长为半径画圆.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若=12,BC=9.求。。的半径.

25.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场

调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少

销售3箱.

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)(x>50)之间的函数关系式.

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价双元/箱)之间的函数关系式.

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

26.已知：如图，抛物线＞=%2+加(；+0与工轴交于4(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形为直角三角形，若

存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：X2-3%=0,

x(x—3)=0,

x=0或x—3=0,

所以=0,x2=3.

故选：D.

先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x=0或x-3=0,然后解一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这

种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了垂线段最短，垂径定理和勾股定理.

根据垂线段最短知，当。MLAB时，有最小值.根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】

解：如图，作0MJ.48于M,根据垂线段最短知，当时，O例有最/一

小直(夕。)

此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，则4M=g4B=4,：Jn

连接。4,则04=5,—

由勾股定理知，OM=y/OA2-AM2=V52-42=3.

故选：B.

3.【答案】D

【解析】解：原抛物线的顶点为(0,0),向左平移I个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线

的顶点为(一1,3)；

可设新抛物线的解析式为y=2(x—/i)2+k,代入得：y=2(x+l)2+3,

故选：D.

易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.

主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是

得到新抛物线的顶点坐标.

4.【答案】C

【解析】解：•••4B=35。，ZC=9O°,

•••4BAC=90°一乙B=90°-35°=55°,

•••点C、A、当在同一条直线上，

Z.BAB'=180"一/.BAC=180°-55°=125°,

••・旋转角等于125°.

故选：C.

根据直角三角形两锐角互余求出484C,然后求出NBABi，再根据旋转的性质对应边的夹角484名

即为旋转角.

本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹

角即为旋转角是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：当m清。时，

•二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，

A=4—4m=0,且m力0,

解得：m=1.

当m=。时y=2x+1与x轴只有一个交点，

综上所述，m=0或m=1,

故选：D.

m-00't,函数是一次函数，与x轴有一个交点；mH0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只

有一个交点，得到根的判别式的值等于0,且机不为0,即可求出〃?的值.

此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定.

6.【答案】C

【解析】解：如图所示：

设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距,

Z.AOB=60°,OA=OB=2cm,

则AOAB是正三角形，

•••AB=OA=2cm,

V3r-

•••OC=0A-sinA=2Xy=再(cm),

2

•••S40AB-"B-OC=1X2XV3=V3(cm),

二正六边形的面积=6xV3=6>/3(cm2).

故选：c.

设。是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，0C是边心距，则AO/IB是正三角形，△04B的

面积的六倍就是正六边形的面积.

本题考查了正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：前两位选手抽走2号、7号题，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10共8位中抽

一个号，共有8种可能，

每个数字被抽到的机会相等，所以抽中8号的概率为

O

故选：B.

先求出题的总号数及8号的个数，再根据概率公式解答即可.

考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述

的影响.

8.【答案】D

【解析】解：由一次函数的图象可知k<0,b>0,

4=I2—4x1x(fc-b)=1-4(k—b)>0,

••・方程/+%+k-b=0有两个不相等的实数根.

故选：D.

先利用一次函数的性质得k<0,b<0,再计算判别式的值得到4=匕2一4(卜-1),于是可判断

4>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程a/+

bx+c=0(aH0)的根与4=-4ac有如下关系：当2>0时，方程有两个不相等的实数根；当

4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.也考查了一次函数图象.

9.【答案】A

【解析】解：函数y=-2x2-8%+nt的对称轴为直线x=-f=-2,

,・,%+2]>\x2+2],

即比一(-2)|>%-(-2)|,

•••点A到直线x=-2的距离大于点B到直线x=—2的距离，

而抛物线的开口向下，

•••yi<y2-

故选：A.

先求出抛物线的对称轴为直线x=-2,然后比较点A、8到对称轴的距离，从而得到乃与的大

小关系.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二

次函数的性质.

10.【答案】C

【解析】［分析］

求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间

的距离的问题.根据圆锥的轴截面是边长为6m的等边三角形可知，展开图是半径是6m的半圆.根

据勾股定理就可求出两点B和尸在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离.

本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解

答此题的关键.

［详解］

解：

•••圆锥的主视图是边长为6m的正三角形ABC,

.,,圆锥底面圆半径r=3m,母线长为：，=6m,

二设展开图的圆心角为〃，贝x2加，

.•.n=180。，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度.如图所示：

在圆锥侧面展开图中AP=3m,AB=6m,Z.BAP=90°.

.•.在Rt△ABP中，BP=y/AB2+AP2=V32+62=3V5m.

.•・小猫经过的最短距离是3花小.

故选：C.

11.【答案】(-3,2)

【解析】解：平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是

.••点P(3,-2)关于原点中心对称的点的坐标是(-3,2).

故答案为：(—32).

平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),记忆方法是结合平面直角坐

标系的图形记忆.

本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题.

12.【答案】1

【解析】解：•••x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32-31一6=0,解此方程

得到k=1.

本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.

本题逆用一元二次方程解的定义易得出k的值.

13.【答案】k<9

【解析】解：••・关于x的方程/—6x+k=0有两个实数根，

4=(-6产-4xlxfc=36-4fc>0,

解得：k<9.

故答案为：fc<9.

由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出4=36-4k20,解不等式即可得出结论.

本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是由方程有实数根得出关于k的一元

一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的个数结合根的判别

式得出不等式(或方程)是关键.

14.【答案】2—1

【解析】解：2x2+2—3祟一竺鬻”=2—今

三条弧与边A3所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积.

本题的关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积.

15.【答案】一2或0

【解析】解：由题意抛物线y=-%2+bx+c与直线y=3的交点坐标为(0,3)或(一2,3),

•••一元一次方程y=-x2+b%+c=3的解为-2或0,

故答案为：—2或0,

求出抛物线y=-x2+bx+c与直线y=3的交点坐标即可.

本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型.

16.【答案】y=-x2-2x-3

【解析】解：抛物线y=x2-2x+3=(x-I)2+2.

所以其顶点(1,2)关于原点对称的点的坐标为

所以，抛物线为y——(x+I)2—2=-x2—2x—3,即y=—x2—2x—3.

故答案为：y=-x2-2%-3.

求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可.

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质.抛物线关于原点成中心对称的抛物

线的开口方向相反.

17.【答案】35

【解析】解：连接4D

是直径，

•••^ADB=90°,

v4ABD=55°,

•••=90°-55°=35°,

•••乙BCD=乙4=35°,

故答案为35。.

连接4D.首先证明=90。，求出即可解决问题.

本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

18.【答案】2

【解析】解：连接A。，

•••AB为直径，

•••AADB=90°,

又TAB=AC,

D为8c的中点，

又•••DE//AB,

：.DE为△4BC的中位线,

11

:.DE==]x4=2.

作出辅助线，根据半圆或直径所对的圆周角为90。,判断出。为BC的中点，进而判断出OE为△ABC

的中位线，根据中位线定理即可解答.

本题重点考查了直径所对的圆周角为直角和中位线定理.

19.【答案】2

【解析】解：设扇形纸片的弧长为/cm,

则夕x6=1271,

解得：I=4兀,

2TTR=4兀，

解得：R=2,

故答案为：2.

根据扇形面积公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案.

本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系

是解决本题的关键.

20.【答案】324

【解析】解：如图，连接OQ、OP,yA

平移后的抛物线解析式为y=12(x+6)，=12(%+3)2-108,.,

所以P点坐标为(一3,—108),V//

抛物线的对称轴为直线％=-3,

当x=-3时，y=12x2=108,则Q点的坐标为(—3,108),A

由于抛物线y=12x2向左平移3个单位，再向下平移108个单位得到

抛物线y=12(x+3)2-108,

所以图中阴影部分的面积=SXOPQ=jx3x(108+108)=324.

故答案为：324.

连接。Q、OP,如图，先利用交点时写出平移后的抛物线的解析式，再用配方得到顶点式y=

12(X+3)2—108,则P点坐标为(一3,-108),抛物线，”的对称轴为直线x=-3,于是可计算出

Q点的坐标为(-3,108),所以点Q与P点关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根

据三角形面积公式计算.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后

的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系

数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

21.【答案】解：⑴•・•/一7%+12=0,

•••(x-3)(%—4)=0,

则x—3=0或尤-4=0,

则；

X]=3,x2=4

(2)vx(2x-5)=4x-10,

:.x(2x—5)—2(2x-5)=0,

则(2x-5)(x-2)=0,

•••2x—5=0或x—2=0,

解得，

X]=Ix2=2.

【解析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进

一步求解即可；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再

进一步求解即可

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

22.【答案】解：(1)列表为:

A

X23

B

y(3)(Zy)(3,y)

4(x，4)(2,4)(3,4)

5Q,5)(2,5)(3,5)

(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故出现“和为7”的概率为去

(3)“和为7”的概率为右表中共九种情况，和为7的情况有9x3=3种，由于2、5；3、4；之

和为7,所以X、5；X、4；x>y；2、y；3、y中有一组为7即可;

又由于0VxVy,所以

①%+5=7,%=2,y=3,6,7,8,9-

②％+4=7,%=3,y=6,7,8,9-

③%+y=7,%=1,y=6；

④2+y=7,y=5,%=4,1;

⑤3+y=7,y=4,%=1.

由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立，

・•・x=1,y=6.

【解析】(1)由于是两步操作，适合用列表法或树状图法；

(2)用“和为7”的频率估计概率；

(3)根据和为7的概率估算出表中和为7的数字的个数，再推出x、y的值.

此题考查了利用频率估计概率；解题的关键是要熟悉列表法；用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.

23.【答案】(1)解：由题意知，旋转角度为NB4D=90。；

(2)解：•・•△4。尸按顺时针方向旋转一定角度后得到^ABE,

・•・AE=AF=3,AD=AB=7,

••DE=AD-AE=7-3=4；

(3)证明：AOF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE,

•••△ABE^^ADF,

：・BE=DF,Z.ABE=Z.ADF,

•・・Z.ADF+Z,F=180°-90°=90°,

・・・44BE+乙尸=90°,

・・・乙BHF=90°,

・•・BE1DF.

【解析】(1)根据旋转角度的定义与正方形的性质便可得解；

(2)根据旋转的性质可得4E=/F,AD=AB,然后根据DE=4。-AE计算即可得解；

(3)根据旋转可得A4BE和△4OF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=。凡全等三角形对

应角相等可得乙4BE=N/WF,然后求出乙4BE+Z_F=90。，判断出BEJLDF.

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形

的形状与大小是解题的关键.

24.【答案】(1)证明：过点。作。尸，4c于尸;

•••48为0。的切线,

，Z.B=90°,

・•・AB1BC,

•••4。平分NB/C,DFLAC,

・•・BD=DF,

•••ac与OD相切；

(2)解：VAB=12,BC=9,

AC=7AB2+BC2=15,

•••AC与。。相切，A8与。。相切，

AB=AF=12,

•••CF=AC-AF=15-12=3,

vDC=BC-BD=9-DF,

在RtZkOCF中，根据勾股定理得：

DF2+FC2=DC2,

。片+32=(9-。中，

ADF=4.

••.OD的半径为4.

【解析】(1)过点。作DF1AC于凡求出BD=D『等于半径，得出AC是的切线.

(2)根据勾股定理求出4C=15,然后根据切线长定理可得4尸=48=12,利用勾股定理即可求出

半径.

本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形

的判断，全等三角形的对应边相等.

25.【答案】解：(1)由题意得:

y=90-3(x-50)

化简得：y=—3x+240；

(2)由题意得:

iv=(%—