《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4 B．3 C．2 D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………3分∴EF＝DE，………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………7分∴四边形CEAF是矩形；……………8分（3）解