第8章-传递函数矩阵的矩阵分式描述课件

第8章

传递函数矩阵的矩阵分式描述第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述矩阵分式描述矩阵分式描述的真性和严真性从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述确定不可简约矩阵分式描述的算法规范矩阵分式描述8.1矩阵分式描述矩阵分式描述（MFD,MatrixFractionDescription）表征线性时不变系统输入输出关系复频域理论实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”p维输入和q维输出的连续线性时不变系统传递函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵传递函数矩阵右MFD右矩阵分式描述：G(s)=Nr(s)Dr-1(s)Dr(s)右分母矩阵：p×p阶方阵Nr(s)右分子矩阵：q×p阶矩阵其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母左MFD左矩阵分式描述：G(s)=Dl-1(s)Nl(s)Dl(s)左分母矩阵：q×q阶方阵Nl(s)左分子矩阵：q×p阶矩阵其中dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。G(s)的右MFDG(s)各列的最小公分母如下：dc1(s)=(s+2)(s+3)2

dc2(s)=(s+3)(s+4)dc3(s)=(s+1)(s+2)传递函数矩阵G(s)为G(s)的左MFDG(s)各行的最小公分母如下：dr1(s)=(s+2)(s+3)2

dr2(s)=(s+1)(s+3)(s+4)传递函数矩阵G(s)为MFD的实质SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示MIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFDG(s)=Nr(s)Dr-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵MFD的特性(2)MFD的次数对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定

Nr(s)Dr-1(s)的次数=degdetDr(s)对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定

Dl-1(s)Nl(s)的次数=degdetDl(s)

注：对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。“分母矩阵”的行列式的次数(3)MFD的不惟一性对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD不惟一，且不同的MFD可能具有不同的次数。例.传递函数矩阵G(s)为解：G(s)的两个MFD为degdetD1r(s)=6degdetD2r(s)=5次数是不等(4)最小阶MFDG(s)=Dl-1(s)Nl(s)为最小阶左MFDG(s)=Nr(s)Dr-1(s)为最小阶右MFDdegdetDr(s)最小degdetDl(s)最小注意：

最小阶MFD也不唯一

通常称最小阶MFD为不可简约MFD(5)

MFD的基本特性

真性严真性

不可简约性8.2矩阵分式描述的真性和严真性p维输入和q维输出的连续线性时不变系统传递函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵严格真有理矩阵有理矩阵G(s)满足G(∞)=0真有理矩阵有理矩阵G(s)满足G(∞)=G0(非零常数)定义1严格真有理矩阵真有理矩阵对i=1,2,…,q,j=1,2,…,p,G(s)满足degnij(s)<degdij(s)对i=1,2,…,q,j=1,2,…,p,至少存在一个G(s)元满足degnαβ(s)=degdαβ(s)其余元满足degnij(s)<degdij(s)定义2设G(s)是r×m

阶真性(严真性)有理矩阵，G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)，则例：真有理矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下

从两个多项式矩阵可知，

δc1Nr(s)

=2≤

δc1Dr(s)=2

δc2Nr(s)

=2<

δc2Dr(s)=3

注意：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。判别准则-分母矩阵为既约的情况

例：矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下

解由两个多项式矩阵可知，

δcjNr(s)

<

δcjDr(s)，j=1,2但是，G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=[-2s–12s2-s+1]却是多项式矩阵，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。设Nr(s)和Dr(s)是r×m和m×m

阶多项式矩阵，且Dr(s)是列既约的，则有理矩阵Nr(s)Dr-1(s)是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是判别准则-分母矩阵为非既约的情况每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵Ur(s)或Ul(s))将其变换成列既约矩阵M(s)Ur(s)或行既约矩阵Ul(s)M(s)。8.4不可简约矩阵分式描述最小阶MFD（祥见上一章）

定理7-4(多项式矩阵除法定理)设Nr(s)和Dr(s)是两个r×m和m×m阶多项式矩阵，且Dr(s)非奇异，则存在唯一的r×m阶多项式矩阵Qr(s)和R(s)使得

Nr(s)=Qr(s)Dr(s)+R(s)(7-31)且R(s)Dr-1(s)是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下

δcj

R(s)<δcj

Dr(s),j=1,2,…,m(7-32)

定理7-4的对偶定理设Nl(s)和Dl(s)是两个r×m和r×r阶多项式矩阵，且Dl(s)非奇异，则存在唯一的r×m阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得

Nl(s)=Dl(s)Ql(s)+L(s)(7-33)

且Dl-1(s)L(s)是严真性有理矩阵，或者说在Dl(s)是行既约的条件下，有

δri

L(s)<δri

Dl(s),i=1,2,…,r(7-34)4既约矩阵分式

定理7-5设r×m

阶真有理矩阵具有右互质矩阵分式G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，则存在非奇异m阶多项式方阵T(s)将其变换成另外一个右矩阵分式⑴右互质矩阵分式设Nr(s)和Dr(s)是右互质的，则r×m阶真性有理矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)为右互质矩阵分式。⑵左互质矩阵分式设Nl(s)和Dl(s)是左互质的，则r×m

阶真有理矩阵G(s)=Dl-1(s)Nl(s)为左互质矩阵分式。

上述定理对于左互质矩阵分式G(s)=Dl-1(s)Nl(s)原则上也是适用的，不过应将变换矩阵T(s)改为左乘。7-2规范矩阵分式描述

传递函数矩阵G(s)的MFD具有不惟一属性，可能给某些问题的分析带来困难。传递函数矩阵的MFD惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范型，从而得到规范MFD。本节简单讨论埃米特（Hermite）型MFD和波波夫（Popov）型MFD。1Hermite型MFD

定义7-1[列Hermite型MFD]对于q×p传递函数矩阵G(s)的右MFD，G(s)=Nrh(s)Drh-1(s)，如果p×p分母矩阵Drh(s)具有列Hermite型：其中，

⑴对角元dii(s)为首1多项式，i=1,2,…,p。

⑵当dii(s)为含s多项式，满足关系式degdii(s)>degdij(s)，j=1,2,…,i-1。

⑶当dii(s)=1，满足关系式dij(s)=0，j=1,2,…,i-1

。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。

定义7-2[行Hermite型MFD]对于q×p传递函数矩阵G(s)的左MFD，G(s)=Dlh-1(s)Nlh(s)，如果q×q分母矩阵Dlh(s)具有行Hermite型：其中，

⑴对角元dii(s)为首1多项式，i=1,2,…,q。

⑵当dii(s)为含s多项式，满足关系式degdii(s)>degdji(s)，j=1,2,…,i-1。

⑶当dii(s)=1，满足关系式dji(s)=0，j=1,2,…,i-1

。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。Hermite型MFD的惟一性对q×p传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同列Hermite型MFD

Nrh(s)Drh-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同行Hermite型MFD

Nlh(s)Dlh-1(s)。

证明略。2Popov型MFD

对q×p传递函数矩阵G(s)，给出Popov型右MFD和Popov型左MFD的定义。

定义7-3[Popov型MFD]对于q×p传递函数矩阵G(s)的MFD，G(s)=NrE(s)DrE-1(s)=DlE-1(s)NlE(s)。如果p×p分母矩阵DrE(s)具有Popov型，则称NrE(s)DrE-1(s)为G(s)的Popov型右MFD；如果q×q分母矩阵DlE(s)具有Popov型，则称NlE(s)DlE-1(s)为G(s)的Popov型左MFD

。Popov型MFD的惟一性对q×p传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同Popov型右MFDNrE(s)DrE-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同Popov型左MFD

NlE(s)DlE-1(s)。

证明略。

在中,若N(s),D(s)是右互质的,则它是最小阶的.反之亦成立.

若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶MFD.对N(s),D(s)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵,其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次.

也是最小阶的,故最小阶MFD也不唯一,但次数不变.

对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣.要着重研究.

只有正则的G(s)是物理可实现的,因而着重研究正则有理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述.

对非正则的情形,即二.不可简约矩阵分式描述G(s)的右互质和左互质MFD,统称为G(s)的不可简约MFD.1.性质(1)不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD之间通过单模矩阵联系