信号与系统课件 9-6 离散时间系统状态方程的求解

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离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。

一、矢量差分方程的时域求解二、An的计算三、离散系统状态方程的z变换解§9.6

离散时间系统状态方程的求解返回一．矢量差分方程的时域求解

离散系统的状态方程表示为此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在n=n0，l(n0)则按式(1)有以下用迭代法，求(n0+2),(n0+3),…,n时刻的值：l(n+1)=Al(n)+Bx(n)

（1）l(n0+1)=Al(n0)+Bx(n0)

l(n0+1)=Al(n0)+Bx(n0)

l(n0+2)=Al(n0+1)+Bx(n0+1)

=A2l(n0)+ABx(n0)

+Bx(n0+1)对于任意n

值，当n>n0

可归结为

上式中，当n=n0时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即l(n0)本身，只有当n>n0时，式(2)才可给出完整的l(n)之结果。(2)l(n0+3)=Al(n0+2)+Bx(n0+2)

=A3l(n0)+A2Bx(n0)+ABx(n0+1)+Bx(n0+2)

如果起始时刻选n0=0，并将上述对n值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有还可解得输出为由两部分组成：一是起始状态经转移后在n时刻得到的响应分量；另一是对(n-1)时刻以前的输入量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。其中An

称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的eAt含义类似，也用符号j表示，写作j(n)它决定了系统的自由运动情况。

可以看出，零状态解中，若令x(n)=d(n)，则系统的单位样值响应为

可见，零状态解正是h(n)与x(n)的卷积和，也可写作h(n)*x(n)返回关键：计算状态转移矩阵j(n)，即An

。二．An的计算

利用凯莱一哈密顿定理:(3)设ai(i=1,2,…n)为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数c0,c1,…,ck-1将c0,c1,…,ck-1分别代入（3），即可。

若A的特征根为重根的情况，例如a1为A的m

阶重根，则对重根部分计算为返回例9-6-1三．离散系统状态方程的z变换解

和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的z变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。

由离散系统的状态方程和输出方程两边取z变换整理,得到取其逆变换即得时域表示式为:状态转移矩阵即为

或返回例9-6-2矩阵A的特征方程例9-6-1已知矩阵，求矩阵函数。特征根为根据关系式可得联立求解可得所以返回例9-6-2某离散系统的状态方程和输出方程分别为求描述该系统输入、

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