高考数学一轮复习选修系列141坐标系与参数方程第1课课件

§14.1

坐标系与参数方程第1课时坐标系基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.1.平面直角坐标系知识梳理2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的

，θ称为点M的

.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆______________圆心为(r,0)，半径为r的圆________________圆心为(r，)，半径为r的圆_______________ρ＝r(0≤θ<2π)ρ＝2rcosθ(－≤θ<)ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线____________过点(a，

)，与极轴平行的直线______________ρsin

θ＝a(0<θ<π)1.(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，

)且与极轴平行的直线方程.考点自测解答∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.即为ρsin

θ＝2.解答3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsin

θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.解答由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsin

θ＝a可得y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.题型分类深度剖析题型一极坐标与直角坐标的互化例1

(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程.解答∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos

θ＋ρsin

θ＝1，∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos

θ和ρsin

θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.解答因为x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，由ρsin2θ＝cos

θ，得ρ2sin2θ＝ρcos

θ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsin

θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos

θ及y＝ρsin

θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos

θ，ρsin

θ，ρ2的形式，进行整体代换.跟踪训练1

(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.解答将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos

θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程.解答由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，题型二求曲线的极坐标方程例2

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；解答设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解答化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.跟踪训练2

在极坐标系中，已知圆C经过点P(

)，圆心为直线

与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解答令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).如图所示，因为圆C经过点于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.题型三极坐标方程的应用例3

(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；解答因为x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，所以C1的极坐标方程为ρcos

θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，解答思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.跟踪训练3

(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋

)＝2被圆ρ＝4截得的弦长.解答课时作业解答123456789102.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos

θ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cos

θ)＝1的交点的极坐标.解答曲线ρ(cos

θ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cos

θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.123456789103.在极坐标系中，已知圆ρ＝3cosθ与直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值.解答圆ρ＝3cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.12345678910以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1,0).因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.解答12345678910解答12345678910对曲线C1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.对曲线C2的极坐标方程进行转化：12345678910解答OA＝4，OB＝5，123456789107.已知P(5，

)，O为极点，求使△POP′为正三角形的点P′的坐标.解答设P′点的极坐标为(ρ，θ).∵△POP′为正三角形，如图所示，123456789108.在极坐标系中，判断直线ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的位置关系.直线ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sinθ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.解答故直线与圆相交.12345678910解答(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；12345678910解答(2)判断M、N