高考数学大一轮复习课件第一篇-集合与常用逻辑用语-第3节-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善

把散落的知识连起来【教材导读】1.一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗?提示:不是,一个命题的否命题是既否定该命题的条件,又否定该命题的结论,而这个命题的否定仅是否定它的结论.2.判断全称命题真假用什么方法?提示:(1)判断全称命题为真时要用定义法,对给定集合内每一个元素x,p(x)都为真.(2)判断全称命题为假时要用代入法,在给定集合内找出一个x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.3.判断特称命题真假用什么方法?提示:代入法.在给定集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真,则特称命题为真,否则为假.4.命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”格式正确吗?提示:不正确,“菱形的对角线相等”是全称命题,否定时应改为特称命题,即“有的菱形的对角线不相等”.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“

”“非”.或(2)命题p∧q,p∨q,﹁p的真假判断pqp∧qp∨q﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量词与含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

.存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等

.∀∃(2)全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立

.特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立

.∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)(3)全称命题和特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)

.∃x0∈M,p(x0)

.∃x0∈M,﹁p(x0)∀x∈M,﹁p(x)对点自测C1.命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为(

)(A)∀x∈R,x2-2x+4≥0(B)∀x∈R,x2-2x+4≤0(C)∃x∈R,x2-2x+4>0(D)∃x∈R,x2-2x+4≤0解析:命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”是全称命题,则其否定形式为特称命题,为∃x∈R,x2-2x+4>0,故选C.2.下列命题中的假命题是(

)(A)∀x∈R,2x-1>0(B)∃x∈R,tanx=2(C)∃x∈R,lgx<1(D)∀x∈N*,(x-1)2>0D解析:对于A,根据指数函数的性质可知,选项A为真命题,对于B,根据正切函数的性质可知,选项B为真命题,对于C,根据对数函数的性质可知,选项C为真命题,对于D,当x=1时,(x-1)2=0,选项D为假命题.故选D.3.(2016·广西柳州模拟)已知命题p:∀x∈(0,+∞),3x>2x,命题q:∃x∈(-∞,0),3x>2x,则下列命题为真命题的是(

)(A)p∧q (B)p∧(﹁q)(C)(﹁p)∧q (D)(﹁p)∧(﹁q)B解析:由题意可知命题p:∀x∈(0,+∞),3x>2x,为真命题;而命题q:∃x∈(-∞,0),3x>2x,为假命题,即﹁q为真命题,由复合命题的真假可知p∧(﹁q)为真命题.故选B.4.(2016·河北石家庄一模)已知命题p:“∃x0∈R,|x0|+<0”,则﹁p为

.

解析:命题p:“∃x0∈R,|x0|+<0”,则﹁p为∀x∈R,|x|+x2≥0.答案:∀x∈R,|x|+x2≥05.导学号49612012

命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是

.

考点专项突破在讲练中理解知识

含有逻辑联结词的命题的真假判断考点一(A)p为真 (B)﹁q为假(C)p∧q为真 (D)p∨q为假(2)(2016·河南商丘二模)命题p:函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1),下列命题是真命题的为(

)(A)p∧q (B)p∨q(C)p∧(﹁q) (D)﹁q解析:(2)令t=x2-2x,则函数y=log2(x2-2x)化为y=log2t,由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以,函数y=log2(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).函数t=x2-2x的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=1,所以,函数t=x2-2x在定义域内的增区间为(2,+∞).又因为函数为y=log2t是增函数,所以,复合函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是(2,+∞).所以,命题p为假命题;再由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,所以,函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(﹁q)为假命题,﹁q为假命题.故选B.反思归纳判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,作出判断即可.【即时训练】(1)(2016·江西新余二模)命题p:若a<b,则ac2<bc2;命题q:∃x0>0,使得x0-1-lnx0=0,则下列命题为真命题的是(

)(A)p∧q (B)p∨(﹁q)(C)(﹁p)∧q (D)(﹁p)∧(﹁q)(2)(2016·江西南昌一模)已知命题p:函数f(x)=|cosx|的最小正周期为2π;命题q:函数y=x3+sinx的图象关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是(

)(A)p∧q (B)p∨q(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q)解析:(1)命题p:若a<b,则ac2<bc2,c=0时不成立,因此是假命题;命题q:取x0=1,满足x0-1-lnx0=0,因此是真命题.则真命题是(﹁p)∧q,故选C.(2)命题p:函数f(x)=|cosx|的最小正周期为π,故命题p是假命题;命题q:函数y=x3+sinx的图象关于原点中心对称,是真命题.故p∧q是假命题,p∨q是真命题,(﹁p)∧(﹁q)是假命题,p∨(﹁q)是假命题,故选B.全称命题、特称命题(高频考点)考点二考查角度1:全称命题、特称命题的否定高考扫描:2015高考新课标全国Ⅰ卷.【例2】(1)(2016·天津河西区模拟)命题“∀x∈R,x2-2x-3≥0”的否定是(

)(A)∃x∈R,x2-2x-3≥0(B)∀x∈R,x2-2x-3<0(C)∃x∈R,x2-2x-3<0(D)∀x∈R,x2-2x-3≤0(2)(2016·河南洛阳四模)命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是(

)(A)存在x∈Z使x2+2x+m>0(B)不存在x∈Z使x2+2x+m>0(C)对任意x∈Z使x2+2x+m≤0(D)对任意x∈Z使x2+2x+m>0解析:(1)命题p:∀x∈A,p(x)是个全称命题.它的否定是﹁p:∃x∈A,﹁p(x),故选C.(2)因为命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题,所以否定命题为“对任意x∈Z使x2+2x+m>0”.故选D.反思归纳全称命题与特称命题的否定(1)改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改变.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.考查角度2:全称命题、特称命题的真假判断【例3】

(2016·山西太原二模)下列命题中假命题的是(

)(A)∃x0∈R,lnx0<0(B)∀x∈(-∞,0),ex>x+1(C)∀x>0,5x>3x(D)∃x0∈(0,+∞),x0<sinx0反思归纳

全称命题、特称命题的真假都需要给予严格的证明,其中常用的方法为反证法.根据命题的真假求参数的取值范围考点三【例4】

(2016·江西新余期末)已知命题p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.反思归纳根据命题的真假求参数取值范围的求解策略(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.(2)全称命题可转化为恒成立问题.【即时训练】

(2016·江西南昌模拟)已知命题p:对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q:不等式x2+ax+2<0有解.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.备选例题【例1】

(2016·河南许昌三模)下列命题中,真命题是(

)(A)∃x0∈R,使<x0+1成立(B)a,b,c∈R,a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=c(C)对∀x∈R,使2x<x2成立(D)a,b∈R,a>b是a|a|>b|b|的充要条件解析:设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,当f′(x)>0时,x>0,当f′(x)<0时,x<0,即当x=0时,函数f(x)取得极小值同时也是最小值f(0)=1-0-1=0,即f(x)≥f(0)=0,即ex-x-1≥0,则ex≥x+1恒成立,A错误;a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0,则a+b+c=0,或a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,则2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,所以(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,因为(a-b)2≥0,(a-c)2≥0,(b-c)2≥0,所以只有(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0,所以a=b=c.故a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=c或a+b+c=0,B错误;C.当x=0时,2x<x2不成立,C错误;D.设f(x)=x|x|=则函数f(x)为增函数,则a>b是a|a|>b|b|的充要条件,D正确,故选D.【例2】

(2016·东阳市模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax-2(a>0),若∀x∈[-1,2],恒有f(x)>g(x)成立,则a的取值范围是

;若∀x1∈[-1,2],∃x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是

.

易混易错辨析用心练就一双慧眼易忽略分类讨论而致误【典例】

(2016·湖南衡阳一模)已知命题P:关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x<0};命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题,求实数a的取值范围.解:因为ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x<0},所以0<a<1.因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立,所以a=2或即-2<a≤2,因为P∨Q是真命题,所以a的取值范围是(0,1)∪(1,2].易错提醒:(1)命题Q中易忘记a-2=0的情况;(2)易忽略ax>1中对底数a的要求是a>0且a≠1;(3)“P∨Q”为真,则P,Q至少有一个为真,可从正面分三种情况解决,也可从反面求解.点击进入应用能力提升团Tiffany，a16­year­oldgirl，wasveryshy.LastSeptember，herbestfrien“IwasreallysadthemomentIheardthebadnewsandIdidn'tknowwhattodo，”Tiffanyrecalled.“Ishutmyselfinmyroomforawholeweek.ItwasthenthatmyaunttookmetoasportscluboneSaturdayandIsawsomanyyoungpeopleplayingdifferentkindsofsportsthere.Isignedupforabeginner'scourseinvolleyballandsincethenIhavebeenplayingthissport.NowIpracticetwiceaweekthere.ItiswonderfulplayingsportsinthisclubandIhavemadelotsoffriendsaswell.2”Themostbasicaimofplayingsportsisthatyoucanimproveyourhealthevenifyouarenotverygoodatsports.Besides，youcangettoknowacircleofpeopleatyouragewhileplayingsports.3Sinceshejoinedthesportsclub，sIgotusedtothelifehere.AndnowIknowlotsof(5)______