《量子力学》练习题一

《量子力学》练习题一、基本概念及简要回答1.∣-P：和-|P是否相等？为什么?答：不相等。因为|-P；是动量(-P)的本证态，而一|P；,是动量P的本证态，实际上-∣P；与IP)代表同一个态。2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ψ则；Ψ(t)∣Φ(t)')； Nuμv∖w'-； U∖F∖w.:。八答：W：@|是算符，V(t)仲(t)；，；UIFlw’;是数，Nu(v∖w)是矢量。.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在X=0和a点不连续。.为什么既不能把Ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’，也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样.所以不能‘把波看作由粒子构成的’。八八 八八5.设A+=AB+=B

，ʌA,B≠0。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。八 八八(1)1F=_(AB-BA)2i(2)^^^；(3)C=A+IB；(4)解：(1)(AB—BA)—2i1(B+A+—A+B+)=一2i.・・F+=F，即F尸为厄米算符。(2)八 八八G=AB八八 八八 八八 八=B+A+=BA≠AB=G。，ʌ八八八;^ 八八G=AB八 八 八D=A-BF=i八八八人，八，八F+1人人 人人(AB-BA)^I^^1G+=AB+(3)八.G・ 不是厄米算符。∕∖ ∕∖ ∕∖ ∕∖ ∕∖ 八C=A+iB C+=A-iB，(4).∙.C+≠C

,

^^^^人即C不是厄米算符。人 人 人 人D=A—B D+=A+-B+=A—B/X/X.∙.D+=D,人即d为厄米算符。八八,.质量为m的粒子处于一维谐振子势场匕Q)=2丘，(k>°)的基态，k 2k若弹性系数A突然变成4A发现粒子处于新势场V2(X)VQ)=kX，即势场变成2 ，随即测量粒子的能量，求基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)解：粒子的波函数W(X,t)随时间的变化满足方程.∂ 方2∂2侑况ψ=-占即ψ+VW对时间区间tTt+ɛ积分得t+ɛdψdt=ψ(t+Q-ψ(t)t∂t方2022m∂X2Jt+ɛdtw+ʃt+ɛVwdtttnɛ{μ(t+ɛ)+V(t+ɛ)ψ(t+ɛ)}=0,£T0111t≤ɛ≤t+ɛo1VTV可见，当V发生突变(由12)、但变化量有限时,匕变。以ψ0(X)和φ0(X)VlV∣Q"-q ^l…AI_V+qV分别表示1场和2场的基态波函数，当势场突然由1变成2后，粒子的波函数仍为ψ(X)»V*,V…‘V……・□Φ≠ψ □七0。由于1已变为2，新势场2中的基态是0 0。于是随即测量粒子的能量，则测得粒子处于φ0态的概率为l(ψ0lφ0)∣2,即粒子能量为新基态能量EO的概率为1σ0ιφ0>2tz,V^V将1和2写成标准形式：…、17 1V(X)=κkx2=m32X2ι2 2ι1V(X)=kx2=_m32x22 ^2 2ω=∕2ω可得2 1，又有:ψ°(X)=e-a2X2∕2,a2=mω/力φ(X)=(^=J2e-β2X2/2,B2=mωIfI其中β2/a2=ω2lω1=y[2因此Mlφ0)=aβfe-2(a2+β2)X2dX=f2aβJ&兀 Ia2+β2J-∞…所求概率为IΨ*0〉12aβa2+β2H=P+1μoX2+y2三.已知二维谐振子的哈密顿算符为o2μ2在对其施加微扰八WΛ 八 八=一人Xy H=HJ后，利用微扰论求1八+Wi+ 第一激发态能量至一级修正。0提示:na.2m,n-1In+(+;δ2—2Γm,n+1其中，,Xφn,而IQ）为线谐振子的第n个本征矢。解：若选1H=一

0 2μI八 .p2+P2xy2μω2(χ2+y2)则/X已知H/XW=-λxy人 人H=H0人+W(2)0(1)E0n,nxy本征解为 、Z+n+1万3χyψ0 (x,y)=φ(x)φ(y),n,nxynxnyn,n=0,1,2,…χy(3)令n=n+n,χyn=0,1,2,・・・(4)则零级近似能量本征值可写成E0=Q+1》①n(5)第一激发态n=1，简并度为fI=2。在简并子空间中，相应的零级近似解为E0=2力CDψψ(0)(X,y)=φ(X)φ(y)1 0 1(0)(X,y)=φ(x)φ(y)

2 1 0(8)能量一级修正满足的本征方程为XW-EG)δαβ1 _0β=11=01β(9)相应的久期方程为W-EG)11 1W21W12W-EG)=0(10)由2211Xmn=^m∣x∣n=_nδ2m,n-1+n+δ2 m,n+1(11)可以求出微扰矩阵元W=W=011 22叫2=λ(1∣xy12而λfdxφ*(x)即(x)fdyφ*(y)yφ(y)0-∞1 1-∞0(12)λ力 =W,(13)2μ① 21将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10）,得到E(1)11λ力E(1)122μ①λ力（14）2μ①显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。得到E（1）为了求出近似本征矢，将EIII代回本征方程λ力(0D(α∖λ力（a、酒I1 0JIb)酒(bJ（15）a=-b（16）由归一化条件可知1a=不（17）于是，得到相应的零级本征矢为Ψ[0)(X,y)=1（J（0）-ψ（0））,O12（18）同理可得，En相应的零级本征矢为ψ(0)(%,y)=1_(μ(0)+ψ(0))12 R1 2 (19)\o"CurrentDocument" 八 八 八 八四.已知[Mβ]=1，求证邮〃—βn&=nβn-1证明：用数学归纳法证明。八 八 八当n=1时，邺-βɑ=[弧β]=1八 八 八 八假设当指数为n=k时，也成立。即：aβk-βka=[%βk]=nβk-1,则当指数八 八 八 八八de(3k+1-βk+1dc=[a,βk+1]=[a,βkβ]为n+1时，=[d,βk]β+βk[d,β]=nβk+βk=(n+1)βk八 八 八成立，所以 dβn-βnd=nβn-1五.一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。解：定态波函数的一般形式为ψ(r,t)=ψ(r)eTEt力E为能量。由题可知ψ*(r)=ψ(r)。由于是束缚态，必定有ψ(r)→0(当∣r∣→∞)。于是可按下式计算动量平均值，如 八P=Jdτψ*(r.t}pψgt)1 %a.、=Jdxdydzψ(产)2ψ(r)iax=-i初dydzjdx1:ψ2(r)2ax1.=-2ItIJdydz[ψ2(r)∣X=∞X=-∞=0.对Py、Pz也有同样结果。六.质量为m的粒子作一维自由运动，如果粒子处于ψQ)=Asin2kx的状态PjB上，求其动量"与动能的几率分布及平均值。解：做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为八.dP=-ihdx八；T=要2m显然两者相互对易，有共同完备本征函数1φ(x)= exp(—px)P户砺力分别满足Pφ(x)=Pφ(x)P PTφ(x)=上φ(x)P 2mP将^(x)向φP(x)展开，即ψ(X)=jcφ(x)dPPP-∞展开系数c=jφ*(xψ(x)dxPP-∞=Aj①*(x)[Pexp(ikx)-exp(-ikx)2i]2dx-∞A∞=φ*(x)[exp(2ikx)-2+exp(-2ikx>]d,x—4 P-∞=Ajφ*(x)√2π^[φ(x)-2φ(x)+φ (x)]dx—4 P k力 O -2k力-∞A.=F√2^i位(P-2k力)-2δ(P-0)+δ(P+2k方)]一4只有当P=0,±2