浙教版九年级数学复习课件：微专题十一-切线的辅助线问题

微专题十一切线的辅助线问题一切线的判定 (教材P40作业题第4题)已知：如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC.求证：DC是⊙O的切线．图1证明：如答图，连结OD.∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A，∠ADO＝∠DOC.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠COB＝∠DOC.又∵OC＝OC，OD＝OB，∴△CDO≌△CBO(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴DC是⊙O的切线．教材母题答图【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果已知直线与圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明直线到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．

如图2，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝OB＝4，求弦AE的长．图2解：(1)证明：如答图，连结OE.∵CD与⊙O相切，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，变形1答图 [2017·金东区模拟]如图3，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝6，CB＝4，求PC的长．图3解：(1)PC是⊙O的切线．理由：如答图，连结OC，∵CB∥PO，∴∠POA＝∠B，∠POC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠POA＝∠POC，又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO，∴∠OAP＝∠OCP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切线；变形2答图(2)连结AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由(1)知∠PCO＝90°，∠B＝∠OCB＝∠POC， [2018·临沂]如图4，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；图4

变形3答图解：(1)证明：如答图，过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连结OD，OA.∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，∴OA也是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，又∵OF⊥AC，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；二切线的性质 (教材P44作业题第5题)如图5，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9.求AO的长．图5教材母题答图【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径是常用的辅助线．·如图6，AB是半圆O的直径，P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连结BC.求证：(1)∠PBC＝∠CBD；(2)BC2＝AB·BD.图6

变形1答图证明：(1)如答图，连结OC.∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵BD⊥PC，∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD；(2)如答图，连结AC.∵AB是