连续性定义课件

一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例3证二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8解三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案一、四则运算的连续性定理1例如,二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3证将上两步合起来:意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.例3例4解解§1.3.3闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理介值定理一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证证：∴取当|x|>X时,|f(x)-A|<1又||f(x)|-|A||<|f(x)-A|<1,即:|f(x)|<|A|+1∵

f(x)在(-∞，+∞)上连续，∴f(x)在[-X，X]上连续。由最值定理,M0>0,xX,都有|f(x)|<M0取M=max{|A|+1,M0},例1设f(x)在(-∞,+∞)上连续，且存在,证明f(x)在(-∞,+∞)上有界。有渐近线二、介值定理定义:几何解释:零点定理是介值定理的一个特例。几何解释:MBCAmab证由零点定理,作辅助函数推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,例1’证由零点定理,例2证由零点定理,不动点定理xy0y=xabab例5设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,……xn是(a,b)内任意值，证明存在一点ξ∈(a,b)使证：设∵f(x)在(a,b)内连续，∴f(x)在[xi,xj]上连续。x1,x2……xn∈[xi

,xj]由最值定理：f(x)在[xi

,xj

]上达到最大M=f(ξ1)，

最小值m=f(ξ2)，即据介值定理推论:至少存在使小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足,上