考研数学一二微分中值定理(题)课件

第四讲微分中值定理1°费马定理说明:

可微函数在极值点处有水平切线

设f(x)在x0点的某个邻域N(x0)内有定义,f(x0)是

f(x)的一个极值,如果f(x)在x0处可导,则有拉格朗日中值定理双介质问题

设函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得．设f(x)在[a,b]开区间连续闭区间可导，且ab均大于0，证明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用两次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所证等式。,试证明:至少存在一点,使例1

设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,

f(1)=1,

解因f(x)在[a,b]上连续，由积分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)内取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ为极大值点，据费马定理2°罗尔定理:设f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点,使说明:

2)罗尔定理涉及了方程根的问题1)几何意义y0x例2

若f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,

则在(0,1)内存在点ξ,

使解取辅助函数，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ(0,1),使证明:对任意的λ>0,存在,使例3

若f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,

解取辅助函数,则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ(0,1),使说明：辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子例4

设f(x)可导,λ为任意实数,则

f(x)的任意两个零点之间,必有的零点解设x1<x2是f(x)的任意两个零点，要证：存在

ξ(x1,x2)使取辅助函数,则F(x)在[x1,x2上连续，在(x1,x2)内可导，且F(x1)=F(x2)=0，根据罗尔定理，存在ξ(x1,x2)使例5

若f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,

试证明:存在,使解原问题取辅助函数，则F(x)在a,b

上连续,(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，据罗尔定理，ξ(a,b)使即例6

设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,

证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,

使得(k为正整数)解原等式将ξ换成x,得积分得据罗尔定理，ξ(0,1)使即取辅助函数,则F(x)在0,1

上连续,(0

,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，例7

设函数f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明:在(0,1)内存在点ξ,

使得(找等高点)解利用积分中值定理，存在使又f(x)在0,上连续,在(0,)内可导，据罗尔定理，存在ξ0,(0,1)使例8

设函数f(x)在闭区间0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,

使得,其中0<<1.(找等高点)解原等式设，则F(0)=0又据零值定理，存在使F()=0对F(x)在[0,]上利用罗尔定理,存在ξ(0,)(0,1)使例9

证明:方程的根不超过三个解反证法.假设方程有四个实根设，则有

在上分别利用罗尔定理在[x1,x4]上至少有三个零点在[x1,x4]上至少有两个零点在[x1,x4]上至少有一个零点现矛盾,证明:至少存在一点,使

例10

设f(x)在1,2上有二阶导数,且,又解因为由于F(x)在[1,2]上连续,(1,2)内可导，且据罗尔定理，存在(1,2)使在[1,]上,连续，可导，且利用罗尔定理，存在ξ(1,)(1,2)使3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理设函数f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,则至少至少存在一点ξ(a,b)使说明:1)上式可以写成:或者或者2)几何意义(2)柯西中值定理设函数f(x),g(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,且则至少存在一点ξ(a,b)使说明:几何意义:AB弦的斜率切线的斜率(3)应用举例1)等式的证明证明:对于满足α+

=1的正数α,,在(0,1)内存在设f(x)在0,1上可导,且f(0)=0,f(1)=1,例11相异两点ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得两式相加得且f(0)=0,f(1)=1,证明:已知f(x)在0,1上连续,在

(0,1)内可导,例12(1)存在ξ

(0,1),使(2)存在两个不同的点,使得解（1）原等式设F(x)=f(x)+x

1,则F(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且F(0)=1<0,F(1)=1>0据零值定理，存在ξ(0,1)使F(ξ)=0

(2)由于例13证明:存在ξ(a,b),(0<a<b),使解原等式设，在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

若极限存在,证明:设函数f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,且例14(1)在(a,b)内,f(x)>0(2)在(a,b)内存在点ξ,使(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ

不同的点η,使解(1)因为存在由f(x)在[a,b]上连续又因f(x)在[a,b]上单调增，故有

(2)根据等式，设在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

(3)原等式由结论(2),有利用拉格朗日中值定理，存在(a,ξ)使所以有2)不等式的证明例15

证明不等式:解设,在上利用拉格朗日中值定理存在使设f(x)与g(x)都是可微函数,当xa

时,例16证明:当xa

时

解当x=a时，不等式成立.下设x

>a由g(x)单调增g(x)g(a)>0,x>a

利用柯西中值定理。存在(a,x),使4°泰勒公式(1)定理(带拉格朗日型余项的泰勒公式)设函数f(x)在a,b上连续,(a,b)内有直到存在一点ξ介于x0与x之间,使n+1导数,是任意两点,则至少说明:1)如果泰勒公式中的x0=0,则称该公式为麦克劳林公式2)具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式就是拉格朗日中值公式(2)定理(带皮亚诺余项的泰勒公式)设f(x)在x0处具有n

阶导数,则存在x0点的邻域N(x0),在此邻域内有说明:带皮亚诺型余项的泰勒公式的表达形式是唯一的成立,则必有即若有(3)常用的几个泰勒公式说明:带拉格朗日型余项的泰勒公式只需将以上公式中的皮亚诺型余项改变为拉格朗日型余项即可(4)应用举例1)函数的泰勒展开例17求函数的2n

阶带皮亚诺型的麦克劳林公式解因为