第三章-模糊关系课件

§1模糊关系的定义与性质设U，V是两个论域，在普通集合论中，记做Ｕ与Ｖ的笛卡尔乘积。可能状态集是由Ｕ与Ｖ中任意搭配所构成，笛卡儿乘积集是两集合元素之间的约束搭配。若给搭配以约束便体现了一种特殊关系。是笛卡儿集中的一个子集。

记定义3.1定义(模糊关系)：称的模糊子集为从U到V的一个模糊关系，记作称U到V的模糊关系为U中的（二元）模糊关系。

模糊关系由其隶属函数所刻画。叫做具有关系的模糊程度。例1设身高的论域为

U={140，150，160，170，180}

单位：厘米

设体重的论域为

V={40，50，60，70，80}

单位：公斤表示身高与体重之间的相互关系。标准体重关系：体重（kg）=身高（cm）-100cm。模糊关系的表示：图、表、函数、矩阵上述U与V的关系可用表来表示:40506070801401.00.80.20.10.01500.81.00.80.20.11600.20.81.00.80.21700.10.20.81.00.81800.00.10.20.81.0例：用矩阵表示模糊关系

U，V有限论域，用矩阵R来表示：，显然

R叫模糊矩阵：例：用函数表示关系表示实数域上“远远大于的关系”例：二人博弈具有相同的策略集。

U=V={石头，剪刀，布}

，胜为1，平为0.5，负为0用图表示关系：石剪布布剪石布布剪剪石石对于同一论域上：布剪石

§2模糊矩阵的运算设表示全体n行m列的模糊矩阵。对任意：定义：分别叫做R与S的并，交，R的余矩阵。例：则：若对所有i，j成立，则称R=S。模糊矩阵满足下列性质：性质1交换律：性质2结合律：性质3分配律：性质4幂等律：性质5吸收律：性质6复原律：

记性质7

称S包含R记。如果对任意（i，j）都有。性质8性质9性质10若，则性质11

记若必有即对任意，记其中

称为R的截矩阵。其所对应的关系叫的截关系。例则性质14

证明：①②取性质15

证：§3模糊关系的合成普通关系的合成

U：人群，Q：兄弟，R：父子，S：叔侄三个关系中有这样的联系：

x是z的叔叔至少有一个

，使y是x的哥哥而且y是z的父亲我们称叔侄关系是弟兄关系对父子关系的合成。记：叔侄=弟兄°父子→合成关系

一般地，设若：则称关系S是关系Q对R的合成，记做有

用特征函数来表示，有由此，可以给出模糊关系合成的定义。定义3.2

设所谓对的合成,是指从U到W的一个模糊关系,记做，它具有隶属函数当，记

对于有限论域:

定义模糊矩阵的乘积定义3.3(模糊矩阵乘积)：设，则定义，使有

S叫矩阵Q对R的合成，也称Q对R的模糊乘积。性质16

对模糊矩阵有证：设则①

②

故性质17模糊乘法满足结合律性质18

证：设有性质18a

例：

性质19性质20定义3.4

1）叫自反关系，如果

2）叫作自反矩阵，如果3）包含R而有被任何包含R的自反矩阵所包含的自反矩阵，叫做R的自反闭包。记由自反闭包的定义可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的自反矩阵Q都满足；

性质21§4倒置关系与转置矩阵

定义3.5

设，所谓的倒置是指：兄弟”关系是“弟兄”关系的倒置关系，“信任”是“被信任”的倒置关系。定义3.6

称，是U中的对称关系，如果是对称关系，且仅当“朋友”是对称关系。“差异”是对称关系。“父子”就不是对称关系。定义3.7

设称是R的转置矩阵，如果称R为对称矩阵，如果且有性质22

性质23性质24性质25

性质26

证明：设

故又性质27

对任意必为对称，且被所有包含R的对称矩阵所包含。证：故是对称矩阵；又设Q是任意一个包含R的对称矩阵，故

有：

∵Q对称故故对称闭包包含R而又被任何包含R的对称矩阵所包含的对称矩阵叫做R的对称闭包，记s(R)。其结果为：由对称闭包的定义可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的对称矩阵Q都满足例：

§5模糊关系的传递性普通关系中：R∈P（UU）称为是具有传递性的，若

(u，v)∈R，(v，w)∈R(u，w)∈R定义3.8(模糊关系的传递性):设若对任意的λ∈[0,1]均有称是具有传递性的。传递性的充分必要条件是：证：任给，取显然由定义3.8知从而

显然成立上式定理的右端乃是,故可得或传递关系是指：它包含着它与它自己的合成。定义3.9：设，称R是传递矩阵，如果满足.传递关系的性质：性质1：若和是传递的，则也是传递的。证：和是传递的,

是传递的。性质2：若是传递的，也是传递的。证：∵是传递的∴∴也是传递的。传递闭包：包含R而又被任意包含R的传递矩阵所包含的传递矩阵，叫做R的传递闭包。记t(R)

由传递闭包的定义可知：

a)

；

b)

；

c)

任意包含R的对称矩阵Q都满足性质28：对任意的，总有证：⑴t(R)具有传递性R◦RR

；⑵t(R)基于R产生

传递关系的性质：性质1若和是传递的，则也是传递的。证：是传递的，

性质2若是传递的，也是传递的。证：∵是传递的∴∴也是传递的

2）设Q是任意包含R的传递矩阵又∵Q是传递矩阵由于k的任意性知引理3.1

设则

证明：一般情况下

当m>n时，上式右端的足码必有重复出现；当m>n时，上式足码i,j1,j2,….jm-1k(m+1)个，不同的足码只能有n个。于是

即当m>n

例:已知，求传递闭包。解：

§6相似矩阵相似矩阵：自反、对称的矩阵叫做相似矩阵。定理３.1

设为相似矩阵，则对于任意k≥n均有证明：（需证）

R是自反的，（1≤i≤n）则故有从而当k≥n时

又∵由定义故且相似矩阵求传递闭包的方法：需便可得到传递闭包。

n=30

需要5次便可得到。

例：求相似矩阵的传递闭包

§7模糊等价关系普通的等价关系：同时具备自反、对称、传递三性的关系。普通的等价关系决定一个分类：彼此等价的元素同属一类。所谓U的一个分类是指：可将U分成若干个子集使得定义3.10叫做U上的一个模糊等价关系,如果它是自反、对称、传递的模糊关系，叫做等价矩阵，如果它是自反、对称、传递的模糊矩阵。

定理3.2

是等价矩阵,当且仅当对任意,

都是等价的布尔矩阵。证：⑴R自反自反（显然）⑵R对称对称若，不妨设，取便有

从而。（）显然。

⑶R传递传递（由传递性定义）描述了一个普通等价关系。定理3.3

若0≤λ<μ≤1,则所分出的每一个类必是所分出的某一类的子类。证:

亦即:

若i、j按归为一类，则按亦归为一类。

λ从1降至0，分类由细变粗，逐步归并，形成一个动态的聚类图。设U={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}

1）

2）

3）R是等价矩阵。令λ由1降至0，写出，按分类，i与j

归为同类

相应的分类Ⅰ}，{Ⅱ}，{Ⅲ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。

相应的分类Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。相应的分类Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ，Ⅴ}。

相应的分类Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，{Ⅱ}。相应的分类Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}。

§8聚类分析定义：对事物按一定要求进行分类的数学方法，叫做聚类分析。聚类分析有许多方法，我们采用模糊等价关系进行聚类分析。一、等价聚类步骤1：根据样本集合U中元素的属性，建立模糊关系R。（将详细讨论）步骤2：求R的递归闭包t(R)，它就是R的模糊等价关系(需证明)

步骤3：根据实际问题的要求，选定一个恰当的,求就是普通的等价关系

步骤4：求出商集，它对应着U的一个划分,即是一种分类。定理：若是相似矩阵，则t(R)=e(R),其中e(R)是R的等价闭包。

e(R):包含R,而又被任一包含R的等价矩阵所包含的最小的等价矩阵证明：1．证明t(R)是等价的，

a.

所以t(R)是自反的；

b.利用

即t(R)是对称的。

c.t(R)显然是传递的；所以t(R)是一等价矩阵。

2．证明t(R)被任一Q所包含证：设Q为包含R的任一等价矩阵,

故Q是传递的，

3．t(R)

显然包含R

故t(R)=e(R)为等价闭包。二、模糊关系的建立-----校定设被分类的每一对象由一组数据来表征，则的相似程度可按实际情况，从下列方式中选择一种来确定。

1)数量积

2)夹角余弦

3)相关系数

4)指数相似系数

5)非参数方法

6)最大最小方法

7)算术平均最小方法8)几何平均最小方法

9)绝对值指数方法10)绝对值倒数方法

11)

绝对值减数方法

12)

主观评定法打分

例：A=(5,5,3,2)B=(2,3,4,5)C=(5,5,2,3)D=(1,5,3,1)

E=(2,4,5,1)

取论域U={A,B,C,D,E}

按（11）方法建立相似关系（C=0.1）

R是相似矩阵，不能直接分类，对它进行改造。是等价矩阵

三、聚类分析的其它方法1.直接聚类法由此不需改造R直接根据聚类原则得到聚类图。聚类原则：ui和uj在水平上同类在R图中存在一条权重不低于的路连接uiuj

例：设U=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，表示父、子、女、邻居、母。取Ⅲ和Ⅴ存在一条路{Ⅰ}{Ⅱ}{ⅢⅤ}{Ⅳ}；取（Ⅱ，Ⅴ）（Ⅲ，Ⅴ）（Ⅱ，Ⅲ）存在路，故{Ⅰ}{ⅡⅢⅤ}{Ⅳ}

取