限失真的信源编码

限失真的信源编码第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期二

限失真的信源编码问题允许一定的失真度下，能将信源信息压缩到什么程度？（最少需要多少比特才能在收端描述信源？）一定的信息传输率R下，允许的最大失真是多少？相关问题失真如何度量？率失真函数如何计算？第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.1失真测度7.1.1失真函数假如某一信源X,输出样值xi,xi∈{a1,a2,…an},经信道传输后变成yj,yj∈{b1,b2,…bm},如果:

xi＝yj

没有失真

xi≠yj

产生失真失真的大小,用一个量来表示,即失真函数d(xi,yj),以衡量用yj代替xi所引起的失真程度。失真函数定义为：第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期二将所有的d(xi,yj)排列起来,用矩阵表示为:失真函数d(xi,yj)：描述了某个信源符号通过传输后失真的大小第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期二例：设信源符号序列为X={0,1},接收端收到符号序列为Y={0,1,2},规定失真函数为

d(0,0)＝d(1,1)=0d(0,1)＝d(1,0)=1d(0,2)＝d(1,2)=0.5第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期二失真函数形式可以根据需要任意选取,最常用的有:均方失真:绝对失真:相对失真:误码失真:适于连续信源适于离散信源第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期二假设离散矢量N长符号序列为X=[X1,X2,X3,…,XN](Xi取值为{x1,x2,…,xn}经信道传输后，接收端收到的N长符号序列为Y=[Y1,Y2,Y3,…,YN](Yj取值为{x1,x2,…,xn}则失真函数定义为第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.1.2平均失真设离散信源经信道传输后输出序列为Y=[Y1,Y2,Y3,…,YN]失真矩阵为第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期二xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示将失真函数的数学期望称为平均失真：描述某个信源在某一试验信道传输下的失真大小,它对信源和信道进行了统计平均,是从总体上描述整个系统的失真。第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期二假设离散矢量N长符号序列为X=[X1,X2,X3,…,XN](Xi取值为{x1,x2,…,xn}经信道传输后，接收端收到的N长符号序列为Y=[Y1,Y2,Y3,…,YN](Yj取值为{x1,x2,…,xn}则平均失真度为第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.2信息率失真函数7.2.1D允许信道（试验信道）无论是无噪信道还是有噪信道:

R＜C总能找到一种编码使在信道上能以任意小的错误概率,以任意接近C的传输率来传送信息

R＞C就必须对信源压缩,使其压缩后信息传输率R’小于信道容量C,但同时要保证压缩所引入的失真不超过预先规定的限度。信息压缩问题就是对于给定的信源,在满足平均失真的前提下,使信息率尽可能小。

第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期二若平均失真度不大于我们所允许的失真,即则称此为保真度准则将满足保真度准则的所有信道称为失真度D允许信道（也称D允许的试验信道）记为对于离散无记忆信道，相应地有第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.2.2信息率失真函数的定义在D失真允许的试验信道中寻找一个信道，使给定的信源经过此信道传输时，其信道传输率I(X;Y)达到最小，定义为信息率失真函数R(D),也称为率失真函数，即对于离散无记忆信道第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期二例已知编码器输入的概率分布为p(x)={0.5,0.5}信道矩阵求互信息第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期二编码器输入的概率分布为p(x)={0.5,0.5}信道矩阵求互信息可见当p(x)一定时,I(X,Y)随p(yj|xi)而变。因为p(x)分布一定时,信道受干扰不同所能传递的信息量是不同的。当p(x)一定时,I(X,Y)是关于p(yj|xi)的下凸函数。因此当改变p(yj|xi)时,I(X,Y)有一极小值。第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期二平均互信息I(X;Y)：信源的概率分布p(xi)的上凸函数。信道传递概率p(yj|xi)的下凸函数。信道容量：信息率失真函数：

第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期二信道容量信道容量：假定信道固定的前提下,选择一种试验信源使信息传输率最大。它所反映的是信道传输信息的能力,是信道可靠传送的最大信息传输率。一旦找到了信道容量,它就与信源不再有关,而是信道特性的参量,随信道特性的变化而变化不同的信道其信道容量不同。第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期二信息率失真函数信息率失真函数：假定信源给定的情况下,用户可以容忍的失真度内再现信源消息所必须获得的最小平均信息量。它反映的是信源可以压缩的程度,是在满足一定失真度要求下信源可压缩的最低值。率失真函数一旦找到,就与求极值过程中选择的试验信道不再有关,而只是信源特性的参量不同的信源其R(D)不同。第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期二研究信道容量：充分利用已给信道,使传输的信息量最大,而发生错误的概率任意小。研究信息率失真函数：解决在已知信源和允许失真度D的条件下,使信源必须传送给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽快地传送尽可能多的信源消息,以提高通信的有效性。第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期二例：设信源的符号表为A={al,a2,…,a2n},概率分布为p(ai)=1/2n,i=1,2…2n,失真函数规定为信源熵

如果对信源进行不失真编码,平均每个符号至少需要log2n个二进制码元。现在假定允许有一定失真,假设失真限度为D=1/2设想采用下面的编码方案：

a1→a1，a2→a2，…an→an

an+1→an,an+2→an,…a2n→an即不发生差错时失真为0,出错失真为1研究在一定编码条件下信息压缩的程度。第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期二平均失真

则输出熵H(Y)由该信道模型图4-3看出,它是一个确定信道

pij=1(或0)，H(Y|X)=0

压缩第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.2.3信息率失真函数的性质1、R(D)的定义域率失真的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下,讨论允许平均失真度D的最小和最大取值问题。由于平均失真度是非负实数d(xi,yj)的数学期望,因此也是非负的实数,即的下界是0。允许平均失真度能否达到其下限值0,与单个符号的失真函数有关。第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期二R(D)的定义域Dmin和R(Dmin)信源的最小平均失真度：只有当失真矩阵的每一行至少有一个0元素时,信源的平均失真度才能达到下限值0。当Dmin=0,即信源不允许任何失真时,信息率至少应等于信源输出的平均信息量—信息熵。即R(0)=H(X)第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期二R(D)的定义域因为实际信道总是有干扰的,其容量有限,要无失真地传送连续信息是不可能的。当允许有一定失真时,R(D)将为有限值,传送才是可能的。对于连续信源：第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期二R(D)的定义域R(D)的定义域为[Dmin，Dmax]。通常Dmin=0，R(Dmin)=H(X)当D≥Dmax时,R(D)=0当0≤D≤Dmax时,0＜R(D)＜H(X)第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期二R(D)的定义域Dmax：定义域的上限。Dmax是满足R(D)=0时所有的平均失真度中的最小值。由于I(X,Y)是非负函数,而R(D)是在约束条件下的I(X,Y)的最小值,所以R(D)也是一个非负函数,它的下限值是零。

R(D)≥0第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期二R(D)的定义域由于I(X,Y)=0的充要条件是X与Y统计独立,即：第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期二例4-3:设输入输出符号表为X=Y={0,1},输入概率分布p(x)={1/3,2/3},失真矩阵求：Dmin

和Dmax

失真矩阵的每一行至少有一个0元素时,Dmin=0第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期二例:设输入输出符号表为X=Y={0,1},输入概率分布p(x)={1/3,2/3},失真矩阵

求：Dmin

和Dmax

第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期二信息率失真函数的性质1、R(D)是非负的实数,R(D)≥0。其定义域为0～Dmax,其值为0～H(X)。当D＞Dmax时,R(D)≡02、R(D)是关于D的下凸函数R(D)在定义域内是失真度D的U型下凸函数3、R(D)的单调递减性及连续性容许的失真度越大，所要求的信息率越小。反之亦然。第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期二第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期二离散信源R(D)计算给定信源概率pi和失真函数dij,就可以求得该信源的R(D)函数。它是在保真度准则下求极小值的问题。但要得到它的显式表达式,一般比较困难通常用参量表达式。即使如此,除简单的情况外实际计算还是困难的,只能用迭代逐级逼近的方法。第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期二二元对称信源的R(D)函数设二元对称信源X={0,1},其概率分布p(x)=[p,1-p],接收变量Y={0,1},汉明失真矩阵因而最小允许失真度Dmin=0。并能找到满足该最小失真的试验信道,且是一个无噪无损信道,其信道矩阵为第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期二这个试验信道能正确传送信源符号x=1,而传送信源符号x=0时,接收符号一定为y=1凡发送符号x=0时,一定都错了。而x=0出现的概率为p,所以信道的平均失真度为p

。在这种试验信道条件下，可计算得

R(Dmax)=R(p)=0第三十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期二7.3限失真信源编码定理和逆定理定理7.3.1限失真信源编码定理设离散n长序列无记忆信源为单字符失真函数为d（xik，yjk），给定单字符失真度下的信息率失真函数R(D)，当n足够大