【高中数学】事件的相互独立性课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.复习引入性质1

对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即

P(Ω)=1，P(Ø)=0；性质3

如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4

事件A与事件B互为对立事件，那么

P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；性质5

如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；对于任意事件A，0≤P(A)≤1；性质6

设A，B是一个试验中的两个事件，我们有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．新知探究

我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？试验：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”；分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现?用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为

Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点，

A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．由古典概型概率计算公式，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，于是P(AB)=P(A)P(B)．积事件AB的概率P(AB)等于P(A)，P(B)的乘积.新知探究

设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．

对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．两个事件相互独立

P(AB)=P(A)P(B)事件A与B相互独立.注意：①互斥事件：两个事件不能同时发生.②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.新知探究必然事件与任意事件是否相互独立？必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立不可能事件与任意事件是否相互独立？必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响当然，它们也不影响其他事件的发生.新知探究

若事件A与B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？那么

是否相互独立？AB证明∵事件A与B相互独立∴P(AB)=P(A)P(B)也相互独立新知探究（1）必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

（2）若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:注意：当三个事件A、B、C两两独立时，

等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.相互独立事件的性质新知探究例1

一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独立？解

样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，

A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，所以AB={(1,2)，(2,1)}．所以P(A)=P(B)=6/12=1/2，P(AB)=2/12=1/6，此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与B不独立．新知探究(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.

()(2)必然事件与任何一个事件相互独立.

()(3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.

()(4)一枚硬币掷两次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,则A,B相互独立.(

)练习1判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.√√√提示：一枚硬币掷两次的样本点为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),这时A={(正,反),(反,正)}，B={(正,正),(正,反),(反,正)}，AB={(正,反),(反,正)}，于是P(A)=

,P(B)=

,P(AB)=

.由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互独立.新知探究练习2

判断下列事件是否为相互独立事件.①

篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.

事件B：第二次罚球，球进了.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.新知探究判断两个事件相互独立的方法①定义法：P(AB)=P(A)P(B)②直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.③转化法：判断A与B是否相互独立,转化为判断A与

,

与B,

与

是否具有独立性.新知探究例2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．解

设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于

甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.新知探究例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．(2)“恰好有一人中靶”=AB∪AB,且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(AB∪AB)=P(AB)＋P(AB)=P(A)P(B)＋P(A)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.(3)事件“两人都脱靶”=AB，所以

P(AB)=P(A)P(B)=(1－0.8)×(1－0.9)=0.02.新知探究例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．(4)①事件“至少有一人中靶,②∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”∴事件“至少有一人中把”的概率为“大化小”“正难则反”新知探究例3

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生.解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得

P(A1)=2××=

143438

P(A2)=()2=，34916

P(B1)=2××=；

P(B2)=()2=.1323234949新知探究设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则

A=A1B2

∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，所以P(A)=P(A1B2)＋P(A2B1)；

P(A)=P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)=×＋×=

384949916512例3

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.新知探究归纳：求较为复杂事件的概率的方法已知两个事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”

“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.

(2)A,B中至多有一个发生为事件